1、一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点，对于两个（1） 求二次函数表达式时要填写最终的一般式（2） 由一般式变顶点式时，可通过两个方法方法一：通过定点坐标公式直接代入顶点式中，有一点需要注意， （X-h）方法二：可通过配方法解决问题1如图，将抛物线 M1: 向右平移 3 个单位，xay42再向上平移 3 个单位，得到抛物线 M2，直线 与 M1xy的一个交点记为 A，与 M2 的一个交点记为 B，点 A 的横坐标是3.（1）求 的值及 M2 的表达式；a（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.当点C的横坐标为2时，直线 恰好经
2、过nxy正方形CDEF的顶点F，求此时 的值；在点C的运动过程中，若直线 与正方形CDEF始终没有公共点，求 的n取值范围（直接写出结果）.27. 解：（1 ） 点 A 在直线 ，且点 A 的横坐标是3 ，xy A(3 ，3) . 1 分把 A( 3，3)代入 ，a42解得 =1. 2 分aM 1 : ，顶点为 (2，4) .xy42M 2 的顶点为(1，1) .M 2 的表达式为 . 3 分-（2 ） 由题意，C(2 ，2)，F (4，2) . 4 分直线 经过点F，nxy2=4+ .解得 =2. 5 分 3， 6. 7 分一次函数与二次函数图像的结合，一定要多画图像进行观察通常是找临界点进
3、行观察计算27在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于211yaxA，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，且点 A 的横坐标为-1 （1 ）求 a 的值；（2 ）设抛 物线的顶点 P 关于原点的对称点为 ，求点 的坐标；P（3 ）将抛物线在 A，B 两点之间的部分（包括 A， B 两点） ，先向下平移 3 个单位，再向左平移 m（ ）个单位，平移后的图象记为图象 G，若图象 G 与直线0无交点，求 m 的取值范围 P27解：（1 ） A（-1，0）在抛物线 上，211yax ，. 1 分21ax解得 ，. 2 分（2 ） 抛物线表达式为 23yx抛物线 的
4、顶点 P 的坐标为（1，4 ） . 3 分23yx（会配方，套公式给 1 分）点 P 关于原点的对称点为 ， 的坐标为（-1，-4 ） . 4 分（3 ）直线 的表达式为 ，. 5 分 4yx图象向下平移 3 个单位后， 的坐标为（-1，-3） ， 的坐标为（ 3，-3） ，AB若图象 G 与直线 无交点，则 要左移到 及左边，PBMxyO22-2-2xyMA BOPCBAP令 代入 ，则 ， 的坐标为 ， 6 分3yP34xM3,4 ，154BM= 7 分mOyx二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型，判断交点问题27已知：关于 x 的一元二次方程x 2+(m+1)x+(m+2)=0（ m0
5、） （1 ）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2 ）当抛物线 y=x 2+(m+1)x+(m+2)经过点（3 ， 0） ，求该抛物线的表达式；（3 ）在（2 ）的条件下，记抛物线 y=x 2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象 G，如果直线y=k(x+1)+4 与图象 G 有公共点，请结合函数的图象，求直线 y=k(x+1)+4 与 y 轴交点的纵坐标 t 的取值范围 27 （本小题满分 7 分）（1 ）证明： = (m+1)2 4(1)(m+2)=(m+3)2. 1 分 m0， (m+3)20 ，即 0， 原方程有两个不相等的实数根. 2 分（2 ）解： 抛物线抛物线 y=
6、x 2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0） ， 3 2+3(m+1)+(m+2)=0，3 分 m=1. y=x 2+2x+3. 4 分（3 ）解： y=x 2+2x+3=(x 1) 2+4， 该抛物线的顶点为（1，4）. 当直线 y=k(x+1)+4 经过顶点（1 ，4）时， 4=k(1+1)+4， k=0， y=4. 此时直线 y=k(x+1)+4 与 y 轴交点的纵坐标为 4. 5 分 y=x 2+2x+3， 当 x=0 时，y=3， 该抛物线与 y 轴的交点为（0，3 ）. 此时直线 y=k(x+1)+4 与 y 轴交点的纵坐标为 3. 6 分 3t 4. 7 分一次函数与二次函数
7、焦点个数问题27在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2yxmn经过点 A（-1 ，a ） ， B（3，a） ，且最低点的纵坐标为 .-4（1 ）求抛物线的表达式及 a 的值；（2 ）设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点 A，B 之间的部分为图象 G（包含A，B 两点）.如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点 P 纵坐标 t 的取值范围 .27 . 解：（1 ）抛物线 2yxmn过点A（-1，a ） ， B（3 ，a ） ，抛物线的对称轴 x=1. 1 分抛物线最低点的纵坐标为-4 ，抛物线的顶点是（1，-4） .
8、2 分抛物线的表达式是 ，(1)4yx即 .3 分24yx把 A（-1，a ）代入抛物线表达式，求出 . 4 分a（2 ） 抛物线顶点 关于 y 轴的对称点为点 D， (1,)C(1,)求出直线 的表达式为 . . 5 分D4求出直线 的表达式为 ，当 时， . 6 分B2x0y所以 . 7 分40t4444 12312332 213xOy二次函数与一次函数结合焦点个数问题，多画图进行判断，注意临界点27在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 21yx与 y轴交于点 A，顶点为点 B，点C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称（1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标
9、为 4将抛物线在点 A，D 之间的部分（包含点A，D）记为图象 G，若图象 G 向下平移 t（ 0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点，求 t的取值范围xyO5432112345765432123456727. (本小题满分 7 分)解：（1）抛物线 21yx与 y轴交于点 A，点 A 的坐标为（0，2） 1 分 2(3)x，抛物线的对称轴为直线 1x，顶点 B 的坐标为（1， 32） 2 分又点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，点 C 的坐标为 (2，2)，且点 C 在抛物线上设直线 BC 的解析式为 ykxb直线 BC 经过点 B（1， 32）和点 C(2，2) ， xyO5432
10、1123457654321234567 FEDABC32.，kb解得12.kb，直线 BC 的解析式为12yx3 分（2）抛物线 2中，当 4x时， 6y，点 D 的坐标为(4，6) 4 分直线 12y中，当 0x时， 1y，当 4时， 3，如图，点 E 的坐标为(0，1)，点 F 的坐标为(4，3) 设点 A 平移后的对应点为点 A，点 D 平移后的对应点为点 D当图象 G 向下平移至点 与点 E 重合时，点 在直线 BC 上方，此时 t=1；5 分当图象 G 向下平移至点 与点 F 重合时，点 A在直线 BC 下方，此时 t=36 分结合图象可知，符合题意的 t 的取值范围是 13t 7分
11、27在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2yxmn经过点 A（-1 ，a ） ， B（3，a） ，且最低点的纵坐标为 .-4（1 ）求抛物线的表达式及 a 的值；（2 ）设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点 A，B 之间的部分为图象 G（包含A，B 两点）.如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点 P 纵坐标 t 的取值范围 .27 . 解：（1 ）抛物线 2yxmn过点A（-1，a ） ， B（3 ，a ） ，抛物线的对称轴 x=1. 1 分抛物线最低点的纵坐标为-4 ，抛物线的顶点是（1，-4） . 2 分抛物线
12、的表达式是 ，(1)4yx即 .3 分24yx把 A（-1，a ）代入抛物线表达式，求出 . 4 分a（2 ） 抛物线顶点 关于 y 轴的对称点为点 D， (1,)C(1,)求出直线 的表达式为 . . 5 分D4求出直线 的表达式为 ，当 时， . 6 分B2x0y所以 . 7 分40t4444 12312332 213xOy27在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 21yx与 y轴交于点 A，顶点为点 B，点C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称（1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 4将抛物线在点 A，D 之间的部分（包含点A，D）记为图象 G，若图象
13、 G 向下平移 t（ 0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点，求 t的取值范围xyO5432112345765432123456727. (本小题满分 7 分)解：（1）抛物线 21yx与 y轴交于点 A，点 A 的坐标为（0，2） 1 分 2(3)x，抛物线的对称轴为直线 1x，顶点 B 的坐标为（1， 32） 2 分又点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，点 C 的坐标为 (2，2)，且点 C 在抛物线上设直线 BC 的解析式为 ykxb直线 BC 经过点 B（1， 32）和点 C(2，2) ，32.，kb解得 1.kb， xyO54321123457654321234567 FED
14、ABC直线 BC 的解析式为12yx3 分（2）抛物线 21yx中，当 4x时， 6，点 D 的坐标为(4，6) 4 分直线 12y中，当 0x时， 1y，当 4时， 3，如图，点 E 的坐标为(0，1)，点 F 的坐标为(4，3) 设点 A 平移后的对应点为点 A，点 D 平移后的对应点为点 D当图象 G 向下平移至点 与点 E 重合时，点 在直线 BC 上方，此时 t=1；5 分当图象 G 向下平移至点 与点 F 重合时，点 A在直线 BC 下方，此时 t=36 分结合图象可知，符合题意的 t 的取值范围是 13t 7分27二次函数 2(0)yaxbc的图象与一次函数 1yxbk 的图象交
15、于)10(，A、 B两点， 1,C为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数 2a的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数 2(0)yaxc的图象和一次函数 1yxbk 的图象；（3）把（1）中的二次函数 2(0)yxbc的图象平移后得到新的二次函数2(0,acma为 常 数的图象, .定义新函数 f：“当自变量 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 1或 2y，如果 1 2y，函数 f 的函数值等于 1y、2y中的较小值;如果 1y= 2，函数 f 的函数值等于 （或 ）.” 当新函数 f 的图象与 x 轴有三个交点时,直接写出 m 的取值范围.x27.解：（1）设抛物线解析式为
16、2)1(xay，由抛物线过点 )10(，A，可得 2(2 分)（2）如图：(5 分)（3）-4 m0(7 分)1注意区间是否含有27.已知二次函数 21yxbc的图象 1C经过 (,0)， (,3)两点（1）求 1C对应的函数表达式；（2）将 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到抛物线 2C，将 2对应的函数表达式记为 2yxmn，求 2C对应的函数表达式；（3）设 3， 在（2）的条件下，如果在 2xa 内存在某一个 x 的值，使得2y 成立，利用函数图象直接写出 a 的取值范围27解：（1）二次函数 21yxbc的图象 1C经过 (,0)， (,3)两点， 0,3.bc1
17、分解得 2,.c2 分抛物线 的函数表达式为 1C31xy3 分（2） 221=()4yxx，抛物线 的顶点为 1,4 分1平移后抛物线 的顶点为 (0,)，它对应的函数表达式为 2yx5 分2C（3）a （见图 7） 7 分图 7-5-4-3-2-112345-2-3-4-5 54321 xOy23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的开口向下，且抛物线与xOy22+ymx轴的交于点 ，与 轴交于 ， 两点， （ 在 左侧）. 点 的纵坐标是 .yABCA3（1）求抛物线的解析式；（2）求直线 的解析式；（3）将抛物线在点 左侧的图形（含点 ）记为 .G若直线 与直线 平行，且与(0)ykxn
18、A图形 恰有一个公共点，结合函数图象写出 的Gn取值范围.23.(1)抛物线 与 y 轴的交点 A 的纵坐标是 322+1ymx解得 ： 1 分203m抛物线开口向下 抛物线的解析式为 2 分2+yx(2) 由（1 ）可知 .设 的解析式为 .(1,0)(3,BCABykxm则 解得: 3mkkAB 的解析式为： .4 分3yx(3)当 经过 点时， .5 分3yxn(,0)9n结合图象可知， 的取值范围是 .7 分27抛物线 与 轴交于点 C(0，3)，其对称轴与 轴交于点 A(2，0)cbxyC21:yx（1）求抛物线 的解析式；（2）将抛物线 适当平移，使平移后的抛物线 的顶点为 D(0
19、， )已知点 B(2，2) ，1 2k若抛物线 与OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图2C象，求 的取值范围k27解：（1）抛物线 与 轴交于点 C(0，3)，cbxy21y ； 1 分3c抛物线 的对称轴为 ，2 2x ，1b解得 ， 2 分2抛物线 的解析式为 3 分1C321xy（2）由题意，抛物线 的解析式为 4 分2k当抛物线经过点 A(2，0)时， ，02解得 5 分kO (0，0)，B(2，2) ，直线 OB 的解析式为 xy1 12 ACO xyB112ACO xyB由 ，kxy21,得 ， （*）02当 0，即 时， 6 分k214)(21抛物线 与直线 OB 只有一个公共点，2C此时方程（*）化为 ，2x解得 ，1x即公共点 P 的横坐标为 1，点 P 在线段 OB 上 的取值范围是 7 分k2k12EO DHB CA
