1、 人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结一、相关概念及定义1 二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数，2yaxbcabc，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次0a方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的0abc，定义域是全体实数21 教育名师原创作品2 二次函数 的结构特征：2yaxbc（1）等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的xx最高次数是 2（2） 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是abc，abc常数项二、二次函数各种形式之间的变换1 二次函数 用配方法可化成： 的形cbxay2 khxay2式，其中 .kh42，2 二次函数由特殊到一般，可分
2、为以下几种形式：； ； ； ；axyaxy22hxaykhxay2.cb三、二次函数解析式的表示方法1 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2yaxbcabc0a2 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；()hkhk3 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交12x01x2x点的横坐标）.4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可x240bac以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数 图象的画法2yaxbc1 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点2yaxbc式 ，确定
3、其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后2()yaxhk在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的y0c，0c，点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则2hc， x10x2xx取两组关于对称轴对称的点）.【版权所有：21 教育】2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy五、二次函数 的性质2ax六、二次函数 的性质2yaxc七、二次函数 的性质：2yaxh的符a号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上 0，轴y时， 随 的增大而增大；0xyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 00a向下 0，轴
4、y时， 随 的增大而减小；0xyx时， 随 的增大而增大；时， 有最大值 0的符a号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大；0xyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 0xyc0a向下 0c，轴y时， 随 的增大而减小；x时， 随 的增大而增大；0xy时， 有最大值 c的符a开口 顶点 对称性质八、二次函数 的性质2yaxhk九、抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2yaxbc1 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；a 0a当 时，开口向下；0相等，抛物线的开口大小、形状相同.2 对称轴：平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地，y 2bxa轴
5、记作直线 .y0x3 顶点坐标： ），（ abc4224 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次号 方向 坐标 轴0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大；xhyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 xhy00a向下 0h，X=h时， 随 的增大而减小；x时， 随 的增大而增大；xhy时， 有最大值 0的符a号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大；xhyx时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 xhyk0a向下 hk，X=h时， 随 的增大而减小；x时， 随 的增大而增大；xhy时， 有最大值 k项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小
6、完全相同，a只是顶点的位置不同.十、抛物线 中， 与函数图像的关系cbxy2cba,1 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2 0a 当 时，抛物线开口向上， 越大，开口越小，反之0a的值越小，开口越大；a 当 时，抛物线开口向下， 越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负a a决定开口方向， 的大小决定开口的大小2 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；b02by当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；a当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧0
7、b02by 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；a y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0b02b当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧ay总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的b位置总结：3 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物0yx线与 轴交点的纵坐标为正；y 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛c物线与 轴交点的纵坐标为 ；0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物0yx线与 轴交点的纵坐标为负y总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置cy总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定ab，的十一、
8、求抛物线的顶点、对称轴的方法1 公式法： ，顶点是abcxacbaxy4222 ，对称轴是直线 .），（ cab422 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为 ( , )，对称轴是直线 .khxy2 hkhx3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1 一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，cbxay2 xy通常选择一般式.2 顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选k
9、h2择顶点式.3 交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交x1x2点式： .21xay十三、直线与抛物线的交点1 轴与抛物线 得交点为(0, ).cbxc2 与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个yhbxay2交点( , ).hca23 抛物线与 轴的交点:二次函数 的图像与 轴的x c2x两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程12x的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对02cbx x应的一元二次方程的根的判别式判定：21 教育网有两个交点 抛物线与 轴相交；0有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与x0轴相切；x没有交点 抛物线与 轴相离.4 平行于 轴的直线与抛物线的交点
10、x可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标k是 的两个实数根 .kcbxa25 一次函数 的图像 与二次函数0knxyl的图像 的交点，由方程组 的02xyG2ykxnabc解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两lG个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方lG程组无解时 与 没有交点l6 抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与x cbxay2轴两交点为 ，由于 、 是方程 的x021， xBA1x2 0两个根，故 acbx2121, acbacbxxAB 442221212121十四、二次函数图象的对称:
11、二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ；2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是2xhk；ya2 关于 轴对称关于 轴对称后，得到的解析式是 ；2xbcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；2yahk 2hk3 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是2hk；yax4 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxbc；关于顶点对称后，得到的解析式是2yxhka5 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yxhkmn，a
12、总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变求抛物线a的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式21cn jycom十五、二次函数图象的平移1.平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶2yaxhk点坐标 ；hk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到2yax处，具体平移方法如下：， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-
13、h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22 平移规律在原有函数的基础上 “ 值正右移，负左移； 值正上移，hk负下移”概括成八个字 “左加右减，上加下减” 十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。1.三点式。（1）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ ，0），3B（ ，0），C （ 0，-3）三点，求抛物线的解析式。32www.21-cn-（2）已知抛物线 y=a(x-1) +4 ， 经过点 A（2，3），求抛物线的解析式。2.顶点式。（1）已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1），求抛物线的解析式。（1）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的
14、顶点为（ 3，1），求抛物线的解析式。3.交点式。（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。21c njy（2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线 y= a(x-2a)(x-b)的解析式。【来源：21世纪教1育网】4.定点式。（1）在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线经过 x 轴上一定点 Q，直线252axy经过点 Q,求抛物线的解析式。)(a（2）抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。21世纪*教育网（3） 抛物线 y=ax2+
15、ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。5.平移式。（1）把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。www-2-1-cnjy-com（2）抛物线 向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求32xy抛物线的解析式.6.距离式。（1）抛物线 y=ax2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m0)与 x 轴交于 A、B两点，与 轴交于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。2-1-c-n-
16、j-y7.对称轴式。（1）抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。 21*cnjy*com（2）已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA= OC，求此抛物线43的解析式。【来源：21cnj*y.co*m】8.对称式。（1）平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD 交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B 到 B1 的位置，求经过 A,B,E
17、三点的抛物线的解析式。【出处：21 教育名师】（2）求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。9.切点式。（1）已知直线 y=ax-a2(a0) 与抛物线 y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。（2） 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。10.判别式式。（1）已知关于 X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。21 世纪教育网版权所有（2）已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式。
