1、第三节 差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程 )(.10 nbxaxakknkn （ 8）其中 k,.10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。又称方程 0.10 nkknknxaxa （9）为方程（8）对应的齐次方程。如果（9）有形如 nx的解，带入方程中可得：0.110 kkkk aa （10）称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下：（1） 若（10）有 k 个不同的实根，则（9）有通解：nknnn ccx.21，（2） 若（10）有 m 重根 ，则通解中有构成项：ncnc).(121（3）若（1
2、0）有一对单复根 i，令： ie，arctn,2，则（9）的通解中有构成项：cnnsios21（4） 若有 m 重复根： i， ie，则（9）的通项中有成项： ncncnncc mmm si).(os).( 1221121 综上所述，由于方程（10）恰有 k 个根，从而构成方程（9）的通解中必有 k 个独立的任意常数。通解可记为：nx如果能得到方程（8）的一个特解： *nx，则（8）必有通解：nx+ *n （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。例如：如果 )(,)(npbnm为 n 的多项式，则当 b 不是特征根时，可设成形如 )(qmn形式的特解，其中 )(qm为 m 次多项式；如
3、果 b 是 r 重根时，可设特解： rnb)(qm，将其代入（8）中确定出系数即可。2、差分方程的 z 变换解法对差分方程两边关于 nx取 Z 变换，利用 nx的 Z 变换F（z）来表示出 knx的 Z 变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把 F(z)在 z=0 的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 nx例 1 设差分方程 1,0,2312 xxnnn ，求 nx解：解法 1：特征方程为 2，有根： 2,1故： nnncx)()(21为方程的解。由条件 ,01得： nnnx)2(1解法 2：设 F（z）=Z( n),方程两边取变换可得：0)(2)(3)1.)( 002 zFxz
4、zx由条件 ,10得 3)(2z由 F（z） 在 2z中解析，有 000)21(2)1()1(21)21() kk kkkzzzzzzF所以， nnnx)(3、二阶线性差分方程组设 )(nzyxn，)(dcbaA，形成向量方程组)(1z （12）则 )()(Anzn （13）（13）即为（12）的解。为了具体求出解（13），需要求出 nA，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：（1）如果 A 为正规矩阵，则 A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是 A 的特征值，相似变换矩阵由 A 的特征向量构成：)1()1, 111 zpnzppAnn 。（2）将 A 分解成 ,/为列向量，则有AAn
5、nn .)().( 1/ 从而， )(.()1)(1/zzAznn（3） 或者将 A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论 A 的特征值的性态，找出 n的内在构造规律，进而分析解 )(nz 的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根 ki.2,1满足1i（2）一阶非线性差分方程)(1nnxf （14）（14）的平衡点由方程 )(xf决定，将 )(nxf在点处展开为泰勒形式：)()(/xfxfxfnn（15）故有：1)(/f时，（14）的解是稳定的，1)(/xf时，方程（14）的平衡点x是不稳定的。
