1、函数的对称性与周期性、抽象函数12.27知识归纳：1. 函数图像的变换由函数 的图像变换到以下函数图像的法则)(xfy（1） 法则：关于 y 轴对称（2） 法则：关于 x 轴对称)(xfy（3） 法则：关于原点对称（4） 法则：右边不变，左侧去掉，左边和右边对称)(xfy（5） 法则：上面不变，下面的图像对折上去（6） 法则：)(axfy0右左（7） 法则：b下上（8） 法则：纵坐标不变，横坐标缩短为原来的)(xfy)1 1（9） 法则：横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 A 倍A2、函数的对称性与周期性（1）若函数 的图像关于直线 对称，则对任意使函数有意义的 都有)(xfyaxx，也可表示为
2、等。(af )2()xff（2）若函数 的图像关于点 对称，则对任意使函数有意义的 都有)(xfy,(bx，也可表示为 等。f2( bxafx2)()特别地：若函数 的图像关于点 对称，则 )(xfy0,(若函数 的图像关于点 对称，则 )b（3）对任意的 ，存在非零常数 T,使得 恒成立，则称 是周期函数，x (xfTf)(xf且最小的正数 T 叫函数的最小正周期，简称周期。（4）满足 的函数是周期函数，且周期是)()(xfaxfa2（5）满足 的函数是周期函数，且周期是)(1ff（6）满足 的函数是周期函数，且周期是)(xfaxfa2（7） 的周期为)(1)(ff )(xfyT（8） 的周
3、期为)2(xfafxf)(fa6（9）若函数 有两条对称轴分别为 和 ，则该函数是周期函数)(fyabx)(且周期为 2ab（10）若函数 的对称轴为 ，对称中心为 ，则该函数是周期函)(xfyx)0,(a数且周期为 4（11）若函数 有两个对称中心分别为 和 ，则该函数是周期函)(xfy),(a,b)(数且周期为 2ab例题分析：例 1（1）已知 是定义在实数集 R 上奇函数， 时， ，求)(xfy0x12)(xf的解析式。)(xfy（2）已知 满足 ， 时， ，求 的)(xfy)1()(xff12)(xf )(xfy解析式。（3）已知奇函数 满足 ， 时， ，求)(xfy)1()(xff0
4、212)(xf)18(log2f（4）已知 满足 ， 时， ，求)(xfy0)1()(xff 112)(xf的解析式。)(f例 2（1）已知 ， 求2sin)(xbaxf 1)(f)2(f（2）已知偶函数 )(xfy定义域为 R，且恒满足 )2()(xfxf，若方程0)(xf在 4,上只有三个实根，且一个根是 4，求方程在区间 10,8中的根（3）定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 2(3)logf且对任意 x，yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证 f(x)为奇函数；(2)若 f(k3 x)+f(3 x-9 -2)0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围例 3（）
5、设函数 )(xfy的定义域为 R，若 的图象关于 对称，则函数满)(xfy1x足（ ） A、 B、)1()xff0)2()xfC、 D、ff1(ff（）函数 )1(xfy与函数 )1xfy的图象关于关于_对称（）函数 和函数 的图象关于关于_对称f(f（）设函数 )(xfy的定义域为 R，且满足 )1()(xfxf，则 )1(xfy的图象关于_对称。 的图象关于_对称。)2(xf（）设函数 )(xfy的定义域为 R，则下列命题中，若 )(xfy是偶函数，则)2(xfy图象关于 y 轴对称；若 )2(xfy是偶函数，则 图象关于直线对称；若 )2()(ff，则函数 f图象关于直线 2对称；)(f
6、与 x图象关于直线 对称，其中正确命题序号为 _ _。例 4.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线 x=1 对称，对任意 x1,x20, ，都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且 f(1)=a0。（1）求 f( ) 及 f( ) （2）证明 f(x)是周期函数4巩固练习：1、如果函数 f(x)x 2bxc 对任意实数 t 都有 f(2t)f(2t)，那么 （ ）A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1)2.已知定义在 R 上的函数 满足 ，当 时， ，)(xfy0)4()xf2x0)(xf若 ，
7、且 ，则 的值（ ）421x02(121A.恒正 （B）恒负 （C）可正可负 （D）可能等于 03.F(x)1 f(x)，(x0)是偶函数，且 f(x)不恒等于 0，则 f(x) （ ）12xA.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数4.设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1，f(x)x，则 f(7.5)( ) A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.55.设 f(x)是定义在（ ，+ ）上的函数，对一切 xR 均有 f(x)+f(x+3)=0，且当1x1 时，f(x)=2x 3，求当 2x4 时，f(x) 的解析式。6.
8、定义在 上的偶函数 满足 且当 时, .求的单调区间高考题选：1.（2009 全国卷理）函数 ()fx的定义域为 R，若 (1)fx与 ()f都是奇函数，则( D ) (A) (fx是偶函数 (B) ()f是奇函数 (C) )2) (D) 3x是奇函数2. （2009 浙江文）若函数 2()()afR，则下列结论正确的是（ C ）A aR， fx在 0,上是增函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B ， ()在 )上是减函数C ， f是偶函数 D a， ()fx是奇函数3.（2009 北京文）为了得到函数 3lg10xy的图像，只需把函数 lgyx的图像上所有的点（ C ）A向左平移
9、3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度4(2009 山东卷文)函数xey的图像大致为( A ). 5.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1(,log2xfxf ，则f（2009）的值为( C )A.-1 B. 0 C.1 D.26.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足 (4)(fxfx,且在区间0,2上是增函数,则( D ). A. 25)(180)fff
10、 B. (80)1(25)fffC. (25 D. 257（2009 全国卷文）设 lg,(l),lg,aebce则（B ）（A） abc （B） c （C） ab （D） cba8.（ 2009 广 东 卷 理 ） 若函数 ()yfx是函数 (0,1)xy且 的反函数，其图像经过点 (,)，则 ()fx（ B ）A. 2logx B. 12log C. 12x D. 2x9. （2009 江西卷文）已知函数 ()f是 ,)上的偶函数，若对于 0，都有1AxyO11B xyO1 1 C xy1 1 D O(2()fxf） ，且当 0,2)x时， 2()log(1fx） ，则 (208)(9)f
11、f的值为（ ）A B 1 C D答案：C10. （2010 山东文数）（5）设 为定义在 上的奇函数，当 时，()fxR0x（ 为常数），则 （ ）()2xfb1f（A）-3 （B）-1 （C ）1 (D)311. （2010 江西理数）9给出下列三个命题：函数 与 是同一函数；1cosln2xylnta2xy若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数fgyx与 的图像也关于直线 对称；yfx12yx若奇函数 对定义域内任意 x 都有 ，则 为周期函数。f (2)ffxf其中真命题是A. B. C. D. 强化训练1.函数 )(xfy与xg21的图象关于直线 xy对称，则 )4(2xf的单调递增
12、区间是（ ）,0.A0,.B 2,0.C 0,.D2方程 3lo3x的解所在区间是（ ）A（0，2） B。（1，2） C.（2，3） D.（3，4）3设函数 f)(的反函数为 )(xh，又函数 )1(,xhg的图象关于直线xy对称，那么 )(g的值为 ( ）A-1 B.-2 C. 54 D. 524.设偶函数 )(f是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数，当 3,x时， xf)(则当 0,2x时， )(xf的解析式是（ ）f.xfB)(. 13)(C 1D5.函数 y)14(log21x的单调递增区间是:6设定义在 R 上的函数 (f的最小正周期为 2，且在区间 5,3内单调递减，则),()
13、,l(21ff的大小关系是：_.7.已知函数 21,(1axxf（1） 求函数 )(的反函数。（2） 如果 1ff，求 a 的值，并画出 )(1xfy的图象。8给出函数 )1(,4logl)(2xxf（1）对任意的实数 1都有 af，求实数 a 的范围。（2）试判断 )(xf在 ,上的增减性，并给予证明9 .设函数 12()log(0).xbf(1) 求函数 的定义域；(2) 判断函数 ()f的奇偶性，并说明理由；(3) 指出 x在区间 ,)b上的单调性，并予以证明.强化训练答案：1. C 2、C 3B 4.C 5. 32, 6 )4()log(21fff7.（1）反函数 2xay。（2） a。图象略。8 （1） ,a。（2）增函数。9 .证明：（I） ),1(,0,|1|)(xxf故 f(x)在（0，1 上是减函数，而在（1，+）上是增函数，由 0ab 且 f(a)=f(b)得0a1b 和 abababa 221, 即 ， 故 1,ab即（II）0x1 时， 10,)(,|)(0 xxfxfy曲线 y=f(x)在点 P（x 0，y 0）处的切线方程为： 00221(),y即切线与 x 轴、y 轴正向的交点为 )2(1,),(00xx和故所求三角形面积听表达式为： 20000 )(1)2()(21)( xxxA
