1、1极坐标与参数方程（全国卷高考题）（2007） 坐标系与参数方程： 和 的极坐标方程分别为 1OA2 4cossin、（）把 和 的极坐标方程化为直角坐标方程；1OA2（）求经过 ， 交点的直线的直角坐标方程（2008） 坐标系与参数方程：已知曲线 C1： ，曲线 C2： 。cos()inxy为 参 数 2()xty为 参 数（1 ）指出 C1，C 2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；（2 ）若把 C1，C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， 。写出 ， 的参数方程。 与1C212C1公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由。2
2、（2009） 已知曲线 C1： （t 为参数） ， C2： （ 为参数） 4cos,3inxy 8cos,3inxy（）化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若 C1 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 （t 为t 32,:xCy参数）距离的最小值（2010）坐标系与参数方程：已知直线 C1：Error! (t 为参数)，圆 C2：Error!( 为参数)(1)当 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；3(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点当 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是
3、什么曲线（2011） 坐标系与参数方程：在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，M 是 C1 上2cosinxy3的动点，P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C22OPM()求 C2 的方程()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极3点的交点为 B，求 .A（2012）已知曲线 C1 的参数方程是 Error!( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 =2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、C、D 以逆时针次序排列，点 A 的极
4、坐标为(2， )3()求点 A、B、C、D 的直角坐标；()设 P 为 C1 上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。（2013 课标 1）已知曲线 1C的参数方程为 45cos,inxty（ 为参数） ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 2。4（）把 1C的参数方程化为极坐标方程；（）求 与 2交点的极坐标（ 0,2） 。（2013 课标 2）已知动点 PQ、都在曲线 2cos,:inxtCy（ 为参数）上，对应参数分别为 =t与 2（0） ， M为 的中点。（）求 的轨迹的参数方程；（）将 到坐标原点的
5、距离 d表示为 的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点。（2014 课标 1）已知曲线 194:2yxC，直线 tyxl2:（ 为参数）（1 ） 写出曲线 的参数方程，直线 l的普通方程；（2 ）过曲线 上任意一点 P作与 夹角为 30的直线，交 l于点 A，求 P的最大值与最小值.5（2014 课标 2）在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为 cos,0.（1 ）求 C得参数方程；（2 ）设点 D在 上， 在 处的切线与直线 :32lyx垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 D的坐标.（2015 课标 1）在直角坐标系 中，直线
6、，圆 ，以坐标原点为极点,x 轴xOy1:2Cx222:11xy正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求 的极坐标方程.12,C6（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.3CR423,C,MN2C（2015 课标 2）在直线坐标系 xOy 中，曲线 C1：cosinxty（t 为参数，t 0）其中 0 .在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：p=2 i，C 3：p=2 s。（I） 求 C1 与 C3 交点的直角坐标；（II） 若 C1 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值.9.【2015 高考新课标 1，文 23】选
7、修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建xOy1:2Cx222:11xy立极坐标系.7（I）求 的极坐标方程.12,C（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.3R423,C,MN2C【答案】 （） , （）cos2cos4in012【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 ， 的极坐标方程；（）将将1C2代入 即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出 的面积.=42cos4in0 2CMNA试题解析：（）因为 ，s,ixy8 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .5 分1Ccos2C2co
8、s4in0（）将 代入 ，得 ，解得=424sin03= ， = ，|MN|= = ，12212因为 的半径为 1，则 的面积 = .C2CMNAo1si452（23 ）2014（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 ，直线 （ 为参数）194:2yxCtyxl2:（2 ） 写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；（3 ） 过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.Pl lAP解析 (1)曲线 C 的参数方程为 ( 为参数).直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ,3sin )到 l 的
9、距离为d=|4cos +3sin -6|,则|PA|=|5sin(+)-6|,其中 为锐角,且 tan =.当 sin(+)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为.当 sin(+)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为.5.(2014 课标,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 =2cos ,.(1)求 C 的参数方程;(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.解析 (1)C 的普通方程为(x-1) 2
10、+y2=1(0y1).可得 C 的参数方程为(t 为参数,0t).(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同.tan t=,t=.故 D 的直角坐标为,即.96.(2014 辽宁,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程;(2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线
11、段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.解析 (1)设(x 1,y1)为圆上的点 ,经变换为 C 上点(x,y), 依题意,得由+=1 得 x2+=1,即曲线 C 的方程为 x2+=1.故 C 的参数方程为(t 为参数).(2)由解得或不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为 k=,于是所求直线方程为 y-1=,化为极坐标方程,并整理得 2cos -4sin =-3,即 =.例 2 (2009辽宁)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系曲线 C 的极坐标方程为cos 1， M、N 分别为 C 与 x 轴，y
12、 轴的交点( 3)(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程2.解 (1)由 cos 1 得( 3) 1.(12cos 32sin )从而 C 的直角坐标方程为 x y1，12 32即 x y2，当 0 时，2，所以 M(2,0)3当 时， ，所以 N .2 233 (233，2)(2)M 点的直角坐标为(2,0)10N 点的直角坐标为(0， )233所以 P 点的直角坐标为 ，(1，33)则 P 点的极坐标为 ，(233，6)所以直线 OP 的极坐标方程为 ，(，)6变式迁移 2 (2010东北三校第一次联考) 在极坐标系
13、下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin( ) ，4 22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标变式迁移 2 解 (1)圆 O：cos sin ，即 2cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为 x2y 2xy，即 x2y 2x y0.直线 l：sin( ) ，即 sin cos 1，4 22则直线 l 的直角坐标方程为 yx1，即 xy10.(2)由Error!得Error!故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1， )29(12 分)(2011江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆Error!( 为参
14、数)的右焦点，且与直线Error!( t 为参数)平行的直线的普通方程9解 由题设知，椭圆的长半 轴长 a5，短半 轴长 b3，从而 c 4，所以右焦点 为(4,0) 将已知直a2 b2线的参数方程化为普通方程：x2y20.(6 分)故所求直线的斜率为 ，因此其方程 为 y (x4) ，(8 分)12 12即 x2y40.(12 分)10(12 分)(2010福建)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 2 sin .5(1)求圆 C 的直角
15、坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.若点 P 的坐标为(3， )，求| PA|PB|.510解 方法一 (1)2 sin ，得 x2y 22 y0，5 511即 x2(y )25.(4 分)5(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得(3 t)2( t)25，即 t23 t40.(6 分)22 22 2由于 (3 )24420，故可 设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以 Error!2又直线 l 过点 P(3， )，5故由上式及 t 的几何意义得|PA| PB| t1| t2|t 1t 23 .(12 分)2方法二 (1)同方法一(2)因为圆 C 的圆心为点(
16、0 ， )，半径 r ，直 线 l 的普通方程为 yx3 .(8 分)5 5 5由Error! 得 x23x 20.解得Error! 或Error!(10 分)不妨设 A(1,2 )，B(2,1 )，又点 P 的坐标为(3 ， )，5 5 5故|PA| |PB| 3 .(12 分)8 2 26.【2015 高考陕西，文 23】选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法 吕，直线 的参数方程为 为参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建xOyl132(xtyx立极坐标系， 的极坐标方程为 .CA23sin(I)写出 的直角坐标方程；(II) 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求
17、点 的坐标.PlPCP【答案】(I ) ； (II) .223xy3,0【解析】试题分析：(I )由 ，得 ，从而有 ，所以sin2sin23xy223xy(II)设 ，又 ，则 ，故当 时，13,2Pt(0,3)C2131Pttt0t取得最小值，此时 点的坐标为 .CP,试题解析：(I )由 ，3sin得 ，2从而有 2xy所以 3(II)设 ，又 ，1,2Pt(0,3)C12则 ，221331PCttt故当 时， 取得最小值，0t此时 点的坐标为 .(3,)11(14 分)(2010课标全国)已知直线 C1：Error!(t 为参数)，圆 C2：Error!( 为参数)(1)当 时，求 C
18、1 与 C2 的交点坐标；3(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线11解 (1)当 时，C 1 的普通方程为 y (x1)，C 2 的普通方程为 x2y 21， 联立方程组Error!解得 C1 与3 3C2 的交点坐标为(1,0)，( ， )(7 分)12 32(2)C1 的普通方程为 xsin ycos sin 0.A 点坐标为(sin 2，cos sin )，故当 变化时，P 点轨迹的参数方程 为Error!( 为参数)(9 分)P 点轨迹的普通方程为(x )2y 2 .(12 分)14 116故 P 点轨迹是圆心为( ，0)，半径为 的圆14 14(14 分)
