1、 1复合函数一， 复合函数的定义：设 y 是 u 的函数，即 y=f(u),u 是 x 的函数，即 u=g(x)，且g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集非空，那么 y 通过 u 的联系成为 x 的函数，这个函数称为由 y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作 y=fg(x),其中 u 称为中间变量。二， 对高中复合函数的通解法综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例 1：指出下列函数的复合过程。（1）y=2-x 2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos1-x 2解：() y=2-x2 是由 y=u,u=2-x2 复合而成的。（2）y=sin3
2、x 是由 y=sinu,u=3x 复合而成的。（3）y=sin3x=(sinx)-3y=sin3x 是由 y=u-3,u=sinx 复合而成的。（4）y=3cos1+x2 是由 y=3cosu,u=r,r=1+x2 复合而成的。2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。看下例题：例：已知 f(x+3)的定义域为1、2,求 f(2x-5) 的定义域。经典误解：解：f(x+3)是由 y=f(u),u=g(x)=x+3 复合而成的。F(2x-5)是由 y=f(u2),u2=g(x)=2x-5 复合而成的。由 g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11f(u1
3、)的定义域为1、2x2-92x-11-6即：y=f(u2)的定义域为-9、-6f(2x-5)的定义域为-9、-6经典误解：解：f(x+3)的定义域为1、21x+32-2x-1-42x-2-92x-5-7f(2x-5)的定义域为-9、-7（下转 2 页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过 u 的联系成为 x 的函数，这个函数称为由 y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作 y=fg(x),其中 u 称为“中间变量” 。从以上误解中找出解题者易将 f(x+3)的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而导致错误。
4、而从定义中可以看出 u 仅仅是中间变量，即 u 既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指 y=f(u),u=g(x)中 u=g(x)中的 x 的取值范围，即：f(x+3)是由 f(u),u=x+3 复合而成的复合函数，其定义域是 x 的取值范围。正确解法：解:f(x+3)是由 y=f(u1),u1=x1+3(1x2)复合而成的。f(2x-5)是由 y=f(u2),u2=2x2-5 复合而成的x124u154u2542x2-5522x25f(2x-5)的定义域为、5结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即 u 为第一层，x 为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是
5、同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解与的情况。三、高中复合函数的题型（不包括抽象函数）题型一：单对单，如：已知 f(x)的定义域为-1,4,求 f(x2)的定义域。题型二：多对多，如：已知 f(x+3)的定义域为、,求 f（2x-5）的定义域。（下转 3 页）题型三：单对多，如：已知 f(x)的定义域为0、1,求 f(2x-1)的定义域。题型四：多对单，如：已知 f(2x-1)的定义域为0、1,求 f(x)的定义域。注：通解法综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母（最为关键）下面用综合分析法解四个题型题型一：单对单：例 3
6、：已知 f(x)的定义域为-1、4,求 f(x2)的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由 y=f(u),u=x22 复合而成的。（由于要同层考虑，且 u 与 x 的取值范围相同，故可这样变形）f(x)是由 y=f(u),u=x1复合而成的。f(x)的定义域为-1、4第 2 步：找出复合函数定义域的真正对应-1x14即-1u4 又u=x22-1x224(x2 是所求 f(x2)的定义域，此点由定义可找出) -2x22f(x2)的定义域为(-2,2)结论：此题中的自变量 x1,x2 通过 u 联系起来，故可求解。题型三：单对多：例 4：已知 f(x)的定义域为0,1,求 f(
7、2x-1)的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由 y=f(u),u=x1 复合而成的。f(2x-1)是由 y=f(u),u=2x2-1 复合而成.第 2 步：找出复合函数定义域的真正对应：0x110u102x2-11x21f(2x-1)的定义域为，1结论：由此题的解答过程可以推出：已知 f(x)的定义域可求出 y=g(x)的定义域。下转 4 页题型四：多对单：如：例 5：已知 f(2x-1)的定义域为0、1,求 f(x)的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由 f(u),u=2x1-1 复合而成的。f(x)是由 f(u),u=x2 复合而成的。第 2
8、 步：找出复合函数定义域对应的真正值：0x1102x12-12x1-11-1u1-1x213f(x)的定义域为-1、1结论：由此题的解答过程可以推出：已知 y=fg(x)的定义域可求出 f(x)的定义域。小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过 u 这个桥梁将 x1 与 x2 联系起来解题。题型二：多对多：如例 6：已知 f(x+3)的定义域为1、2,求 f(2x-5)的定义域。解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知 f(x)的定义域可求出 y=fg(x)的定义域”已知 y=fg(x)的定义域可求出 f(x)的定义域可以推出f(x)与 y
9、=fg(x)可以互求。若 y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知 y1=f(x+3)的定义域，故这里 f(x)成为了联系 y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中 u 所充当的作用相同。所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出 f(x)，再以 f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由 y=f(u)u=x+3 复合而成的。f(2x-5)是由 y2=f(u)u=2x-5 复合而成的。第二步：求桥梁 f(x)的定义域：1x24x+354u5设：函数 y3=(u),u=
10、x下转 4 页y3=f(x)的定义域为4、5第三步：通过桥梁 f(x)进而求出 y2=f(2x-5):f(x) 是由 y3=f(u),u=x 复合而成的4x54u542x-55 x25f(2x-5)的定义域为：5小结：实际上，此题也可以 u 为桥梁求出 f(2x-5), 详参照例 2 的解法。四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。如：例 7：已知函数 y=f(x)的定义域为0、1，求函数 y=f(x2+1)的定义域。解：函数 f(x2+1)中的 x2+1 相当于 f(x)中的 x(即 u=x2+1,与 u=x)0x2+11-1x20x=0定义域为0小结：本题解答的实质是以 u 为桥梁
11、求解。例 8：已知 y=f(2x-1)的定义域为0、1,求函数 y=f(x)的定义域。解：由题意：0x1（即略去第二步，先找出定义域的真正对象） 。-12x-11(即求出 u,以 u 为桥梁求出 f(x)视 2x-1 为一个整体（即 u 与 u 的交换）则 2x-1 相关于 f(x)中的 x(即 u 与 u 的交换，f(x)由 y=f(u),u=x 复合而成，-1u1, -1x1) 函数 f(x)的定义域为-1、1总结：综合分析法分了个步骤 写出复合函数的复合过程。 找出复合函数定义域所指的代数。 找出解题中的桥梁（u 或 f(x)可为桥梁）浅析复合函数的定义域问题4一、复合函数的构成设 是
12、到 的函数， 是 到 上的函数，且 ，()ugxAB()yfuBCB当 取遍 中的元素时， 取遍 ，那么 就是 到 上的函数。C()fgxA此函数称为由外函数 和内函数 复合而成的复合函数。 ()yfx说明：复合函数的定义域，就是复合函数 中 的取值范围。()yfgx 称为直接变量， 称为中间变量， 的取值范围即为 的值域。xuu()gx 与 表示不同的复合函数。)(gf)(xf例 1设函数 ，求 53)(,2xg)(),(xff若 的定义域为 ，则复合函数 中， )(xfMgM注意： 的值域 g例 2：若函数 的定义域是0，1，求 的定义域；)(xf )21(xf若 的定义域是-1，1，求函
13、数 的定义域；1已知 定义域是 ，求 定义域)3(xf5,4)3(xf要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答： 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的)2(xfxu21)(ufy函数函数 的定义域是0，1，)(fB=0,1，即函数 的值域为0，1xu21 ，210x ，即 ，0函数 的定义域0， )(xf 21 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的1212xu)(ufy函数的定义域是-1，1，)(xf5A=-1,1，即-1 ，1x ,即 的值域是-3，1，23x2u 的定义
14、域是-3，1)(fy要点 2：若已知 的定义域为 ，则 的定义域就是不等式 的 的)fA)(xgf Axg)(集合；若已知 的定义域为 ，则 的定义域就是函数 的值域。(xg 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函)3(f 3xu)(ufy数的定义域是-4，5),)(xfA=-4,5)即 ，54x 即 的值域 B=-1，8）8313u又 是由 到 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数，)2(xfAB32xu)(ufy而 ,从而 的值域B2x),1 831x ,2 x 的定义域是1， ） )3(f 21例 3：已知函数 定义域是（a,b），求 的定
15、义域)(xf )13()()xffxF解：由题， ， ，bxa1331bxa当 ，即 时， 不表示函数；ba2)(F当 ，即 时， 表示函数，31ba)(x其定义域为 ),(6说明： 已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：)(xf )(xgf已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知中间变量的 的(ba， u取值范围，即 ， 。通过解不等式 求得 的范)u)(， bxga)(围，即为 的定义域。)(xgf 已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：)(xf若已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知复合函数)(xf ba，直接变量 的取值范围，即 。先利用 求得 的范围
16、，)(xgf )(bxa)(xg则 的范围即是 的定义域,即使函数 的解析式形式所要求定义域真包含)(f xf的值域，也应以 的值域做为所求 的定义域，因为要确保所求外含数)(xg)(与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数 将失去解决问题xf )(xf的有效性。换元法其实质就是求复合函数 的外函数 ，如果外函数 的)(xgf )(f定义域不等于内函数 的值域，那么 就确定不了 的最值或值域。)(xg)(xgf例 4：已知函数 ,f1)(求 的值域。)(xf分析：令 ， ；u)(x则有 ，1)(2ug0复合函数 是由 与 复合而成，而 ，xfx1)(2ug 1)(2ug的值域即 的
17、值域，但 的本身定义域为 ,其值域则不等于复)0(u)( R合函数 的值域了。f例 5：已知函数 ，求函数 的解析式，定义域及奇偶性。6lg)3(22xxf )(xf分析：因为 定义域为 或 l)(22f 6|令 ， ；则 ，且32xu3lg)(uf7所以 ，定义域不关于原点对称，故 是非奇非偶函数。3,lg)(xxf )(xf1在等比数列 中，已知 ，则 n 为 （ ）na321891qan，A2 B 3 C4 D52设 是公差为2 的等差数列，若 ，则 等于 n 09771a 9963aa（ ）A82 B 82 C132 D1323已知数列 中 以后各项由公式 给出，则 （ ）na1)2(
18、11nan 4aA B C D74 74 4774已知 成等差数列， 成等比数列，则 等于（ ）1,92a1,9321b21)(baA B C8 D8885在 3 和 9 之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是 （ ）A B C D94274926等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 = （ ）nanS1073a1SA190 B 95 C170 D857已知 是等比数列，对 恒成立，且 ，n ,nN3624531aa则 等于 （ ）52aA36 B C6 D668已知等差数列 中， ，公差 ； 是数列 的前 n 项和，则（ ）n39a0dnSaA B C D56
19、S56S656S9已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，则这个数列的项数为 （ ）A2 B 4 C8 D1610已知数列 满足： ，定义使 叫做希望na1log(2)n123.kaak为 整 数 的 数 *()N数，则区间1，2010内所有希望数的和 （ ）MA2026 B 2036 C2046 D204811已知数列 、 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 、 ，且 ， ，nb 1b1a+=51b8，则数列 的前 10 项的和等于 （ ）+1abN(n)、 nbaA65 B 75 C85 D9512等差数列 n的前 n 项和为 nS，已知
20、210mma， 2138S,则 m（ ）A38 B 20 C10 D9 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在横线上13已知数列前 4 项为 4,6,8,10，则其一个通项公式为 _ .14已知 1, a1, a2, 4 成等差数列，1, b 1, b2, b3, 4 成等比数列，则 _21ba15已知数列 的前 n 项的和 满足 ,则 = nSnn)(log16甲型 h1n1 流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时 2 个，记为 ，它们按以下02a规律进行分裂，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时
21、后分裂成 10 个并死去 1 个，,记 n 小时后细胞的个数为 ，则 =_(用 n 表示) na三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知数列 是一个等差数列，且 ， na21a5（1）求 的通项 ；n（2）求 前 n 项和 的最小值S18 （本小题满分 12 分）已知 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；若数列 满足 ， .na nb112nanb（1）求数列 的通项公式；b（2）求证： .21nn9参考答案一、选择题1C；解析：等比数列 中， ； na321891qan， ，31)2(891nnqa；，31)2(n
22、 4,2B；解析：因为 是公差为 2 的等差数列，n )2()2()()( 977419963 dadadaa ；835037741 3A；解析：因为 ，所以 ，)2(11nan 21)2(12a， ；3)3(23 a 47)4(344D；解析：9，a 1，a 2，1 成等差数列，所以 ；381)9(12a 成等比数列，所以 ； ；,321b )(92b21ba5A；解析：设中间两数为 ，则 ；解得 ，所以 ；yx,32xy479yx45yx6B；解析： ；1931719()()9522aaS7D；解析： ； ， ；0,nN36)(2564531 a652a8D；解析： ， ， ，且 ，d39
23、a90,a390 ， ， ； ；60a5756S9C；解析：设该等比数列的公比为 q，项数为 2n，则有 ，q 2；S偶 奇 17085又 ， ，2n8，故这个数列的项数为212()85170nnaS偶 奇 158；1010A；解析： ，由 为整数得1log(2)na12ka为整数，设为 ，则 ，23()log4log()k mmk2 ；因为 ，mk0481区 内所有希望数为 ，10间 ， 2,21043其和 ；6210432 M11C；解析：应用等差数列的通项公式得 11,;()253;nnbaban数列 也是等差数列，且前 10 项和为 ；n 10(4)85212C；解析：因为 a是等差数
24、列，所以 1mmaa，由 210ma，得：2 ma2ma0，所以 m2，又 2138mS，即 2)(138，即（2m1）238，解得 m10二、填空题 13 ；解析：该数列的前 项分别可写成：()na4，所以数列的通项公式为 ；)1(2),3(,12,2 2(1)na14 ；解析：1, a1, a2, 4 成等差数列， ；1, b1, b2, b3, 4 成等比数列，5 245a，又 ， ； ；24b20bq2b21ba15 ；解析：由 得 ， ，1n nSn)1(log2 nSnS ， ；1aS 111()()2na = ；n16 ；解析：按规律， ， ， ，2143215a319a； ，即
25、 是等比数列，其首项为 2，公比为 2，故1na()nnan， = n2（本题也可由 ， ， ，猜想出 = ）13225133921ana111三、解答题17解：（1）设 的公差为 ，由已知条件， ，解出 ， nad145ad13a2d所以 6 分1()25n（2） 所以 时， 取到最小值 4Sadn2()2nnS412 分18解：（1）由已知得 .从而 ，即 .（2 分）n1nnb1nb 1221()()()nb. （6 分）12n（2）因为 22121()()nnnnnb，2() 0 . （12 分）21nn19解：（1）由已知得 ，当 时， ；32nSa21132nnSa ，即 ，当 时
26、， ；11nnS 3na1n数列 为等比数列，且公比 ； （4 分）aq又当 时， ，即 ， ；1321213 . （6 分）n（2） ， ；33loglnna3311logl()nnnban （9 分） nb的前 项和 .1()()()241nT（12 分）121.已知等比数列 na的公比为正数，且 3a 9=2 25， a=1，则 1= A. 21 B. C. 2 D.2 【解析】设公比为 q,由已知得 28411aqaq,即 ,又因为等比数列 na的公比为正数，所以 2,故 21a,选 B3.公差不为零的等差数列 n的前 项和为 nS.若 4a是 37与 的等比中项, 832S,则 10
27、等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【解析】由 2437a得 2111()()6dd得 120,再由 81562ad得 178d则 ,所以 09Sa,.故选 C4.设 nS是等差数列 n的前 n 项和，已知 23， 6，则 7S等于( )A13 B35 C49 D 63 【解析】 17267()()7(1)49.aa故选 C.或由 211635d, 723.所以 177()()49.2aS故选 C.5.等差数列 n的前 n 项和为 nS，且 3 =6， 1a=4， 则公差 d 等于A1 B 53 C.- 2 D 3解析 316()2Sa且 311=4d2a.故选 C 6.已知
28、 na为等差数列，且 72 41, 30,则公差 dA.2 B. C. D.2【解析】a 72a 4a 34d2(a 3d)2d1 d 127.（等差数列 n的公差不为零，首项 a1， 是 1和 5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是A. 90 B. 100 C. 145 D. 19013【解析】设公差为 d，则 )41()(2d. 0，解得 d2， 10S100然而只就 解析式而言，定义域是关于原点对称的，且 ，所以3lg)(xf )()(xff是奇函数。就本题而言 就是外函数其定义域决定于内函数 ， 的值域，)(uf 32xu而不是外函数 其解析式本身决定的定义域了。)(f2求有关复合
29、函数的解析式，例 6已知 求 ；,1)(2xf )(xf已知 ，求 2(f例 7已知 ，求 ；xf)()已知 ，求 211(xf要点 3：已知 求复合函数 的解析式，直接把 中的 换成 即可。)(xf)gf )(xf)(xg已知 求 的常用方法有：配凑法和换元法。g(配凑法就是在 中把关于变量 的表达式先凑成 整体的表达式，再直接)fx)(把 换成 而得 。)(x(x换元法就是先设 ，从中解出 （即用 表示 ） ，再把 （关于 的式子）直tg)txt接代入 中消去 得到 ，最后把 中的 直接换成 即得 ，这种代)(f(f)(f )(xf换遵循了同一函数的原则。例 8已知 是一次函数，满足 ，求
30、 ；)(xf 172)()1(3xfxf )(f已知 ，求 f4)1(23要点 4： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知 满足某个等式，这个等式除 是未知量外，还出现其他未知量，如 、)(xf )(xf )(xf等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出 。1二、练习：已知 ，求 和 xxf2)12()12(f )32(f14解：令 ，设 ，12x2x,)( f令 ，设 ，3x1x1223)(2)1()2( f已知 ，求 0,2xxgxf )(xgf分析： 是用 替换 中的 而
31、得到的，问题是用 中的 替)()()(fy )(xg1换呢，还是用 替换呢？所以要按 、 分类；x注： 是用 替换 中的 而得到的，问题是用 替换 中的)(fg)(f)(xg)(f)(呢，还是替换 呢？所以要看 还是 ，故按 、1x2012012x012x分类。02Key: ；034)(2xxgf，注： 。12)(xf，三、总结：复合函数的构成；设函数 ， ，则我们称 是由外函数 和内函)(ufy)(g)(xgfy)(ufy数 复合而成的复合函数。其中 被称为直接变量， 被称为中间变量。复合函xguxu数中直接变量 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量 的取值范围，即是的值域，是外函数 的
32、定义域。)( )(fy有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由 解 ） ；求外函数的bxga)(定义域只要求中间变量的值域范围（由 求 的值域） 。已知一个复合函数求bxa另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例 2（3）反映明显。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法15四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： 当 为整式或奇次根式时， R；)(xf x 当 为偶次根式时，被开方数不小于 0（即0） ； 当 为分式时，分母不为 0；当分
33、母是偶次根式时，被开方数大于 0；)(f 当 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为 0（如 ，x 0)(xf中 ） 。21)(f 当 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有x意义的自变量 的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数 的定义域是各段上自变量 的取值集合的并集。)(fyx 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于 1。 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
