【教师版本】2017上海高三数学二模难题的副本.doc

1、12017 年上海市高三二模数学填选难题解析2017-4-251. 虹口11. 在直角 中， ， ， ， 是 内一点，且 ，若 ，ABC21AB2CMABC12AMABC则 的最大值为 2【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，问题可以简化， 、 、 、(0,)(,1)(,0)(cos,in)， ，,2cos,in2AMABC， . (0,1),)(,)122sicosin()2412. 无穷数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 都有 ， 的可能取值最多有nanS12310,nSkk a_ 个【解析】若 ， ；若 ，在 中有序任取 2 个作为 和 ， ，910S91012310,kk 9S10

2、109S有 种取法；所以综上最多有 91 个210P16. 已知点 与点 在直线 的两侧，给出以下结论： ； 当(,)Mab(,)N45xy345xy时， 有最小值，无最大值； ； 当 且 时， 的取值范围是a21ab0a1ba.正确的个数是（ ）93(,)(,)4A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】 将 代入 ，将 代入(0,1)N04(1)50(,)Mab； 取不到点 ，没有最小值；345xy,Mab, 大于点 到直线 的距离 ， ；|O3450xy1d21ab 可看作点 与点 连线的斜率，数形结合可知斜率范围(,)(1,)为 ；正确，选 B9(,42. 黄浦11. 三棱锥 满足

3、： ， ， ， ，则该三棱锥的体积 的取值范围是 PABCAP2A4PCV【解析】 ，1233PCVSS1 ， ，4 42，122APCS 4(0,3V12. 对于数列 ，若存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 是以 为周期的周期naTnnTanaT数列，设 ，对任意正整数 有 ，若数列 是以 5 为周期的周期数列，1bm(01)1,10nnbb则 的值可以是 （只要求填写满足条件的一个 值即可）m【解析】 ， ， . 观察可得 不符123b2（1）当 ， ；（2）当 ， ； (0,)m411(,)4b ， ； ， ； ， ；,353b,m52m1(,)251mba. 当 ， ；

4、 ，解得 ，舍去负值(0,)4614614b5b. 当 ， ，解得 ，舍去,3m0c. 当 ， ，解得 ，舍去负值1,)261bm312d. 当 ， ，解得 ，舍去(,3e. 当 ， ，解得 ，舍去负值,1)m62b31综上， 或 或531m16. 如图所示， ，圆 与 、 分别相切于点 、 ， ，点 是圆 及其内部任意一2BACMABCDE1APM点，且 ，则 取值范围是（ ）PxDyE(,)xRxyA. B. 1,43423,C. D. 2【解析】如图所示，当 点位于右图位置时， 最大，此时 ， ，Pxy2MA3DP， ， ，同理，当 位于线段 与 的交点时，23APHG23xy43MA可

5、得最小值 ，综上，选 B. 4xy3. 杨浦11. 已知 ， ，当 取到最小值时， 0ab21(4)abb3【解析】 ，当 且 时22111(4)68868abababab164abab等号成立，即 ， 412. 设函数 ，当 在实数范围内变化时，在圆盘 内，且不在任一 的图像上的()|afx21xy()afx点的全体组成的图形的面积为 【解析】根据题意， ，即()|afa当 在实数范围内变化时，图像一个分段点为 ，a (,|)a该点轨迹为 ，结合图像可得图像面积为|yx3416. 对于定义在 上的函数 ，若存在正常数 、 ，使得 对一切 均成立，则称R()fxb()(fxafbxR是“控制增

6、长函数” ，在以下四个函数中： ； ； ()fx 2)1)|； .是“控制增长函数”的有（ ）2sin)()sinfA. B. C. D. 【解析】 ，不成立； 存在 ， ，2()(fxafxaR1ab使得不等式 恒成立； 存在 ，使得 恒成立；12b()(2fxf 存在 ， ，使得 恒成立；故选 C. 2b()(sinsini2ffxx4. 奉贤11. 已知实数 、 满足方程 ，当 时，由此方程可以确定一个偶函数xy22(1)()1xay0yb()R，则抛物线 的焦点 到点 的轨迹上点的距离最大值为 ()yf21F,b【解析】根据题意，偶函数， ，是一个函数， ，即点 的轨迹是一条线段，抛物

7、线的焦1a0,1b(,)ab点 ，数形结合可知，焦点 到 距离最远，为1(0,)2FF(,)3212. 设 、 、 、 为自然数 1、2、3、4 的一个全排列，且满足 ，则x34x 1234|6xx这样的排列有 个【解析】若 ， 、 、 共有 6 种排列，一一代入，没有符合的情况；1234若 ， 、 、 有 6 种排列，符合情况的有 2431、2413、2341 三种排列；12x3x4若 ， 、 、 有 6 种排列，符合情况的有 3142、3241 两种排列；若 ， 、 、 有 6 种排列，符合情况的有 4123、4132、4213、4231 四种排列；14234综上，符合条件的排列共有 9

8、个416. 如图，在 中， ， ， ， 是 的外心， 于 ， 于 ，ABCaACbBcOABCODBCEAC于 ，则 等于（ ）OF:ODEFA. B. C. D. :abc1bcsin:sios:cos【解析】如右图所示， ，根据圆的性质，:cos1:2:cos3ODEFEFBCA，同理 ， ，故选 D12BOCA235. 长宁金山青浦11. 已知函数 ，若对任意 ， ， ，恒有 ，则()|fxa12,x2,3x12x1212()(xfxff实数 的取值范围为 a【解析】根据题意， 在 上为上凸函数（图像上表现为在 上的函数图象在两区间端点连()|fxa2,3 2,3线的上方） ，数形结合可

9、得 12. 对于给定的实数 ，函数 的图像上总存在点 ，使得以 为圆心，1 为半径的圆上有两个不同的0k()kfxC点到原点 的距离为 1，则 的取值范围是 O【解析】根据题意，即函数图像上至少有一点到原点的距离小于 2， ，距离的最小值为 ，2kx2k即 ，解得 . 或者数形结合，这个距离原点最近的点在 上，代入 ， ，2k(0,2)ky(,)k解得 .(,)16. 设 、 、 为 1、2、10 的一个排列，则满足对任意正整数 、 ，且 ，都有1x20x mn10n成立的不同排列的个数为（ ）mnA. 512 B. 256 C. 255 D. 64【解析】直接思考这个问题会有难度，我们可以改

10、变一些条件，试着从简单开始 比如前 9 个数字固定排列为 1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么最后一个数字只能是 10，这时候符合条件的排5列个数为 1； 放宽条件，比如前 8 个数字固定排列为 1、2、3、4、5、6、7、8，那么最后 2 个数字可以是 9、10，也可以是10、9，符合条件的排列个数为 2； 再放宽条件，比如前 7 个数字固定排列为 1、2、3、4、5、6、7，那么最后 3 个数字可以是 8、9、10，或8、10、9，或 9、8、10，或 10、9、8，符合条件的排列个数为 4；，继续放宽条件，当前 6 个数字固定排列为 1、2、3、4、5、6 时，符合的有 8 个；规律

11、出来了，以此类推下去，当前 2 个数字固定为 1、2 时，符合的有 个，72当第一个数字固定为 1 时，符合的有 个，当这列数全排列时，符合的有 个. 8 96. 浦东11. 已知各项均为正数的数列 满足 ，且 ，则首项 所有可能取值na11(2)()0nna*()nN10a1a中最大值为 【解析】根据题意， 或 ，取极端情况， ， ， . 12nn1na 1982a80192a2841612. 已知平面上三个不同的单位向量 、 、 满足 ，若 为平面内的任意单位向量，则bcbce的最大值为 |2|3|aebce【解析】如图构造， ， ， ，1(,)2a(0,)31(,)2设 ，根据题意，(c

12、os,in)e|ebce，要取313| |si|cosin|2得最大， ，即最大值为 . |2|23s21aebe 2116. 已知等比数列 、 、 、 满足 ， ， ，则 的取值范围是（ ）13a4),0(1),(a)4,(34aA. B. C. D. (3,8)(,6)86【解析】 ， ，综上， ， ，故322aq2311(2,)qa(2,)q43(2,16)q选 D. 7. 闵行11. 已知定点 ，动点 在圆 上，点 关于直线 的对称点为 ，向量 ， 是坐标(1,)AP21xyPyxPAQOP原点，则 的取值范围是 |Q【解析】设 ， ，(cos,in)OAQO 坐标为 ， ，1(sin

13、,co)P 222|(si)1P622(sinco)4sin2,6 的取值范围是 . |PQ,12. 已知递增数列 共有 2017 项，且各项均不为零， ，如果从 中任取两项 、 ，当 时，na2017anaiajij仍是数列 中的项，则数列 的各项和 jianS【解析】递增， ，当 时， 仍是数列 中的项，1232017aijjin ，且 都是数列 中的项，213410a1jan 、 、 ， 是首项为 ，公差为706a22052n1a1的等差数列，根据 ，可得 ， . 17167d1207d2079S16. 设函数 的定义域是 ，对于以下四个命题：()yfxR 若 是奇函数，则 也是奇函数；

14、()yfx 若 是周期函数，则 也是周期函数；()f 若 是单调递减函数，则 也是单调递减函数；yx()f 若函数 存在反函数 ，且函数 有零点，则函数 也有零点. ()f1yx1()yfx()yfx其中正确的命题共有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【解析】 是奇函数， ，()yfx()(fxf ，正确；()(fxf ， ，正确；(Tf)()Tf 当 增大， 减小， 增大，错误；)(fx 反例如图所示，错误；故正确，选 B. 8. 普陀11. 设 ，若不等式 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是 0a22sin(1)cos10xaxRxa【解析】由 得 ，设 ，2s

15、i()cx 2()cos0acostx即 对 恒成立， ，2()10ftt,t4， ， ，综上解得 . a2(1)0faa12. 在 中， 、 分别是 、 的中点， 是直线 上的动点. 若 的面积为 1，则ABCDEABCMDEABC的最小值为 2M【解析】取 中点 ， ，F12MF，12CBCBC7222213|44MFBCMFBCFBC ，即 ， . 1|S|1 23MB16. 关于函数 的判断，正确的是（ ）2sinyxA. 最小正周期为 ，值域为 ，在区间 上是单调减函数1,2B. 最小正周期为 ，值域为 ，在区间 上是单调减函数0C. 最小正周期为 ，值域为 ，在区间 上是单调增函数

16、0,D. 最小正周期为 ，值域为 ，在区间 上是单调增函数212【解析】 ， ，排除 A、D， ，排除 B，故选 C. 1cossinxyxT2sin0yx9. 徐汇11. 如图：在 中， 为 上不同于 、 的任意一点，点 满足 ，若 ，ABCMBCN2AMANxByC则 的最小值为 29xy【解析】 ， ， 、 、 三点共线， ，即23NxyA32xAyBC312xy， . 3y2 29()1045x12. 设单调函数 的定义域为 ，值域为 ，如果单调函数 使得函数 的值域也是 ，()pD()yqx()ypqxA则称函数 是函数 的一个“保值域函数” ，已知定义域为 的函数 ，函数yqx()

17、ypx ,ab2|3|h与 互为反函数，且 是 的一个“保值域函数” ， 是 的一个“保值域函数” ，则()fxghf ()gxba【解析】 、 、 都是单调函数，且根据题意， 与 值域相同， 与 值域相()fx() ()fh(f()hgx(同， ， 与 互为反函数， 定义域为 ， ， 的定义,gbf()gxx,ab),ab域和值域均为 ，根据数形结合， 、 为 两解， ， ， . ,aab2312116. 过椭圆 右焦点 的圆与圆 外切，则该圆直径 的端点 的轨迹是（ 214xym()F2:OxyFQ）A. 一条射线 B. 两条射线 C. 双曲线的一支 D. 抛物线【解析】数形结合，设椭圆左

18、焦点为 ， 中点为 ，联结 、 ， 是中位线，FQPFOP，这符合双曲线的定义，故选 C. 2()2()2FQPOPA810. 静安10. 若适合不等式 的 最大值为 3，则实数 的值为 2|4|3|5xkxxk【解析】当 时， ，即 ， ， . 3|5k82 当 ， ，即 ，若 ，8k2|8|24|03x则 ，得 ，不符，若 ， ，解得 ，20xx3x6x 时，不等式的解为 ，符合题意. 当 ， ，找个反例即可， 符合不等式，但大于 3， 不符，综上，k2|4|542k. 811. 已知 ，数列 满足 ，对于任意 都满足 ，且 ，若 ，则1()xfna12*nN2()nnaf0na2018a

19、20167a【解析】 ， ，解得 ，同理 . 根据 ，201818a2018a2420161 ， ， ，可归纳出 ， ，3a5734k431ka075a 2016712215. 曲线 为：到两定点 、 的距离乘积为常数 16 的动点 的轨迹，以下结论： 曲线 经过C(,0)M(,)NPC原点； 曲线 关于 轴对称，但不关于 轴对称； 的面积不大于 8； 曲线 在一个面积为 60 的xyMN矩形范围内. 其中正确的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】 设原点为 ， ，不经过原点； 列出轨迹的表达式，O416N，可知若点 在曲线上，代入 、22()()xyxy(,)Pxy1(

20、,)Pxy、 ，方程均成立，既关于 轴对称，也关于 轴对称，关于原点对称；2,P3, ； 当 时， ，当 时，11sin82SMNP0230，由点 构成的矩形面积为 ；只有正确，故选 B. 5x(5,3)165【附】方程 的精确图像22)(xyxy11. 崇明911. 已知函数 ， 是奇函数，则 2sin(),0()3coxxf,2)【解析】当 ，则 ， ， ，0()(ff2()cos()fxx， ，2()sin()3fxx 5ssinsi)336x 即 在定义域上恒成立， ， . 5coc6526k712. 已知 是边长为 的正三角形， 为 外接圆 的一条直径， 为 边长的动点，则ABC2P

21、QABCOMABC的最大值是 PMQ【解析】 ，()()POM 2()()MP边长为 ，圆 半径为 2，即 ， 最小值为 123 24即 的最大值是 316. 设函数 ，其中 ， ，若 、 、 是 的三条边长，则下列结论：()xxfabc0acbabcABC 对于一切 都有 ； 存在 使 、 、 不能构成一个三角形的三边长； 若,1()fxxx为钝角三角形，存在 ，使 . 其中正确的个数为（ ） ABC,2()fA. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个【解析】 ，设 ，可知 ， ， 单调递减，()(xxabfc()()1xabgc(0,1)ac(,)b()gx当 ， ， ，正确；

22、 举反例，令 ， ， ，存在 ，1x10gf 234c3，不能构成三角形； 为钝角三角形， ，即 ， ，3324ABC2ab()0f 0abc即 ， 在 上必有零点，正确. 综上所述，正确个数为 3 个，选 A. ()0f()fx,212. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 在大圆上， 与小圆相切于点 ， 为小圆上的点，则PAAQ的取值范围是 PAQ【解析】结合向量数量积的几何意义， 等于 乘以 在 方向上的投影， ， ，PAQ|PA2OP1A，如中图所示，投影最大， ，如右图，投影最小，|3PA B3(1)3取值范围为 . (31)QC,12 题、16 题同闵行

23、 12 题、16 题1013. 嘉定11. 设等差数列 的各项都是正数，前 项和为 ，公差为 . 若数列 也是公差为 的等差数列，则nannSdnSd的通项公式为 na【解析】 ， 也是等差数列， ， ，公差相同，1()2nSdnS2nnd ， 或 0（舍） ， ， . 2d124a14a12. 设 ，用 表示不超过 的最大整数（如 ， ） ，对于给定的 ，定义xRx23.765*nN，其中 ，则当 时，函数 的值域是 (1)xnnC ,),)xCf10)(【解析】当 ， ， ；当 ， ， ， ，3,2)1x0(5,3xC2,3xx109()x(1)2,6x ；综上，值域为 . 90(15,4

24、)x2,1,416. 已知 是偶函数，且 在 上是增函数，若 在 上恒成立，则实数fx()fx0,)(1)(2)faxf,1x的取值范围是（ ）aA. B. C. D. 2,12,1,0【解析】由题得， 在 时恒成立，设 ，|1|ax2x()|1|gxa， 恒过定点 ，()hx()g(0,)数形结合可知，只需满足 ，即 ， ，故选 B. h|1|a2,014. 宝山11. 设向量 ， ， 为曲线 上的一个动点，若点 到直线 的距离(,)mxy(,)nxyPmn()xP10xy大于 恒成立，则实数 的最大值为 【解析】 即 ，根据题意，实数 的最大值即直线 与一条渐近线 之间的距121(0)1y

25、x离， ，即 最大值为 . d212 题同长宁 16 题15. 如图，在同一平面内，点 位于两平行直线 、 两侧，且 到 、 距离分别为 1、3，点 、 分别在 、P1l2P1l2MN1l上， ，则 的最大值为（ ）2l|8PMNNA. 15 B. 12 C. 10 D. 911【解析】取 中点 ， ， 、 之间距离为MNO22()()16PNOMPNOM1l22， 最小值为 1，即 的最大值为 15，选 A. 216. 若存在 与正数 ，使 成立，则称“函数 在 处存在距离为 的对称点” ，tRm()()Fttm()Fxt2m设 ，若对于任意 ，总存在正数 ，使得“函数 在 处存在距离为2()xf(0)2,6m()fxt的对称点” ，则实数 取值范围是（ ）A. B. C. D. 0,1,1,1,4【解析】 ， ， ，()()ftmfttmt2tt化简得： ，即 恒成立， ， ，选 A. 22020本题如果理解了题意，可以从图像角度秒解如图所示， 、 为两对称点，满足 ，AB()()ftmft线段 中垂线为 ，很明显 即 ，ABxtt2t2