1、112015 年中考一元二次方程的实际应用题专题类型 1、传播问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？举一反三：【变式 1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少小分支？【变式 2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？类型 2、平均增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低 )率问题时
2、，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为 a(1+x)n=b(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题： 平均降低率公式为 a(1-x)n=b(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)1.某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 【变式 1】某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业
3、额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率22【变式 2】青山村种的水稻 2001 年平均每公顷产 7200 公斤，2003 年平均每公顷产 8450 公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。2.某种商品，原价 50 元，受金融危机影响，1 月份降价 10，从 2 月份开始涨价，3 月份的售价为 64.8 元，求 2、3 月份价格的平均增长率。举一反三：【变式 1】恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这
4、两个月的平均增长率.【变式 2】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率.类型 3、储蓄问题利息=本金利率期数利息税=利息税率(税率是 20%) 本金(1+ 利率期数)=本息和本金1+利率期数(1-20%)=本息和( 收利息税时)1.某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320 元，求这种存款方式的年利率33举一反三：【变式 1】王红梅同学将 1000 元
5、压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）类型 4、商品销售问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润总件数441.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可
6、多售出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元?举一反三：【变式 1】某超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售，每天可卖 500 件如果这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 件，假设超市为使这种商品每天赚得 8 000 元的利润，商品的售价应定为每件多少元?【变式 2】某种服装，平均每天可销售 20 件，每件盈利 44 元若每降价 1 元，每天可多销售 5 件，如果每天要盈利 1 600 元，每件应降价多少元？【变式 3】某种新产品进价是 120 元，在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系：(1)请你根据上表所给
7、数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销量减少的数量(件)之间的关系(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到 1 600 元？2.某商店购进一种商品，进价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每件的销售价 X(元)满足关系：P=100-2X 销售量 P，若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？55举一反三：【变式 1】益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010 a）件，但物价局限定每件商品的利润不得
8、超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？举一反三：【变式 1】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件。要想平均每天在销售这种童装上盈利
9、 1200 元，那么每件童装应降价多少元？【变式 2】西瓜经营户以元千克的价格购进一批小型西瓜，以元千克的价格出售，每天可售出千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克。另外，每天的房租等固定成本共元。该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？类型 5、面积问题1. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 米 3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多 2 米现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，
10、问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？66举一反三：【变式 1】一间会议室，它的地板长为 20m，宽为 15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？【变式 2】某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？2.如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面
11、积是原矩形面积的 80，求所截去的小正方形的边长。举一反三：【变式 1】如图，在宽为 20m ，长为 30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为 551。则道路的宽为?【变式 2】一块长和宽分别为 40 厘米和 250 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为 450 平方厘米.那么纸盒的高是多少？3.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边77靠墙（墙长 18m） ，另三边用木栏围成，木栏长 35m。鸡场的面积能达到 150m2吗？鸡场的面积能达到 180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由
12、。 （3）若墙长为 m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度 m 对题目的解起着怎样的作用?aa举一反三：【变式 1】要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为 am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35m(1)求鸡场的长与宽各是多少？(2)题中，墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？【变式 2】某中学有一块长为 am，宽为 bm 的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为 2 米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪 (1)如图 1，请分别写出每条道路的面积(用含 a 或含 b 的代数式表示)；(2)已知 ab=21，并且四块草坪的面积
13、之和为 312m2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同 时符合下述两个条件)：请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积4.将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.88举一反三：【变式 1】将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修
14、建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.类型 6、动态几何问题1.如图 4 所示，在 ABC 中，C90， AC6cm， BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、 Q 同时出发，几秒钟后，可
15、使 PCQ 的面积为 8 平方厘米？（2）点 P、 Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 PCQ 的面积等于 ABC 的面积图 2QP CBA图 图 399的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.举一反三：【变式 1】已知：如图 3-9-3 所示，在 中，ABC,点 从点 开始沿cm7,5,90BCABP边向点 以 1cm/s 的速度移动，点 从点 开始沿Q边向点 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 分别C,从 同时出发，那么几秒后， 的面积等于 4cm2？BA, PB（2）如果 分别从 同时出发，那么几秒后， 的长度等于 5cm？（3）在（1）QP,A, PQ中， 的面积
16、能否等于 7cm2?说明理由.类型 7 比赛和赠送问题1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛 45 场比赛，共有多少个队参加比赛？举一反三：【变式 1】参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛 90 场比赛，共有多少个队参加比赛？1010【变式 2】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠
17、送一件，全组共互赠了 182 件，这个小组共有多少名同学？举一反三：【变式 1】一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，这个小组共有多少人？类型 8、一元二次方程应用新题型1情景对话春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？图 1如果人数超过 25 人，每增加 1人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700 元.如果人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元.11112梯子问题一个长为 10m
18、的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？3.航海问题如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将
19、一批物品送往军舰.（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）FEDCBA图 512124.图表信息如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12，划分成 1212 个小正方形格，将边长为n（ n 为整数，且 2 n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 nn 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 nn 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为( n1)( n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 A
20、BCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长 n 的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长 n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的面积为 S2. 当 n2 时，求 S1 S2的值；是否存在使得 S1 S2的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.5.平分几何图形的周长与面积问题在等腰梯形 ABCD 中， AD 平行 BC,AB DC5， AD4， BC10.点 E在下底边 BC 上，点 F 在腰 AB 上.（1）若 EF 平分等腰梯形 AB
21、CD 的周长，设 BE 长为 x，试用含 x 的代数式表示 BEF 的面积；（2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；1313（3）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由.6利用图形探索规律在如图 8 中，每个正方形有边长为 1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）黑色小正方形个数 （2）在边长为 n（ n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25 P1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由.图 8
