1、1求解一个最值问题时发现的两个有趣性质求解一个最值问题时发现的两个有趣性质舒云水我们先看一个最值问题： 已知椭圆x2 y 2 ? ? 1(a. ? b ? 0) ，点 A(m,0)(0 ? m ? a) 是 x 轴上的一个定点， a 2 b2P 是椭圆上的一个动点，当点 P 在什么位置时，点 P 到点 M 的距离最短，求出点 P 的坐标及 PM 的最小值 解：设 P( x, y) ，则PM ? ( x ? m)2 ? y 2 ? x 2 ? 2mx ? m2 ? b2 ? c2 2 x ? 2mx ? m2 ? b2 ? a2b2 2 x a22?c2 ma2 2 b2 (c 2 ? m2 )
2、 ( x ? ) ? a2 c2 c2m a2 c2 当 2 ? a ，即 ? m ? a ， x ? a 时， MP 取最小值 a ? m ，满足条件的 a c点 P 只有一个， P 点坐标为 (a,0) ； 当b 2 m a2 c2 m a2 c ? m 2 ，满 ? a 0 ? m ? x ? ，即 ， 时， MP 取最小值 2 2 c c a c足 MP 取最小值的点 P 有两个，坐标为 (m a2 b ,? 2 c 4 ? a 2 m 2 ) 2 c c如图 1，设椭圆 分别为 F 、 A 、 B x2 y2 ? ? 1 的右焦点、长轴右顶点、右准线与 x 轴的交点 a 2 b2图
3、13图 24设点 E (c2 ,0) ，从上面解答中知，当点 M 在点 E 的左边时，满足 MP 取最小 a值点 P 有两个；当点 M 在点 E 的右边（含点 E ）时，满足 MP 取最小值点 P 只 有一个点 E 是有一解、两解的分界点，在此我们称它为界点下面是关于界点 E 的一个有趣性质： 性质 1 点 E 、 F 、 A 、 B 是一组等比点，它们的横坐标c2 a2 、 c 、a 、 组 a c1 成一个公比为 的等比数列，线段 EF 、 FA 、 AB 的长度 EF 、 FA 、 AB 组成 e 1 一个公比为 的等比数列 e 笔者同时发现另一个有趣性质：性质 2当 MP 取最小值时，
4、设以 P 为切点的椭圆的切线为 l ，则直线 l ? 直线 MP 如图 25c2 证：当 ? m ? a 时，点 P 坐标为 (a,0) ，直线 MP 为 x 轴，以 P 为切点的 a椭圆的切线方程为 x ? a ，直线 l ? 直线 MP ； 当 m ? 0 时，直线 MP 为 y 轴，直线 l 的方程为 y ? ?b ，直线 l ? 直线 MP ； 当 0?m?c2 m a2 b 时 ， 满 足 条 件 的 点 P 有 两 个 ： ( 2 , 2 c 4 ? a 2 m2 ) 和 c c a(m a2 b ,? 2 c 4 ? a 2 m 2 ) 2 c c取 P 坐标为 (m a2 b
5、, 2 c 4 ? a 2 m2 ) 时证明 l ? MP 2 c c由 y 2 ? b2 ?b2 2 b2 2 2 x 得： y ? ? b ? x a2 a2点 P 在第一象限内， y ? 0 ， y ? b2 ?6b2 2 x a2y? ? ? a2b2 b2 2 b ? 2x a27直线 l 的斜率为： kl ? ?b2 a2b ma b ? 2 ( 2 )2 a c222?bm c ? a 2 m24直线 MP 的斜率为： kMPb c 4 ? a 2 m2 ? 0 2 c ? ? m a2 ?m c28c 4 ? a 2 m2 bm kl ? kMP ? ?1 ， l ? MP 同
6、样可以证 P 坐标为 (m a2 b ,? 2 c 4 ? a 2 m2 ) 时，直线 l ? 直线 MP 2 c c类似地可以得出双曲线、抛物线的如下结论： 已知双曲线x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 ，b ? 0 ) ，点 M (m,0)(m ? a) 是 x 轴上的一个定 a 2 b2点， P 是双曲线右支上的一个动点，则 当 a ? m ?c2 ， P 点坐标为 (a,0) 时， MP 取最小值 m ? a ； a当 m?b m2 ? c 2 cc2 m a2 b ， P 点 坐 标 为 ( 2 ,? 2 a 2 m2 ? c 4 ) 时 ， MP 取 最 小 值 a c c图 3
7、9图 4x2 y 2 如图 3，设双曲线 2 ? 2 ? 1 的右准线与 x 轴的交点、右支顶点、右焦点分 a b别为 B 、 A 、 F ，界点 E 的坐标为 (c2 ,0) ，则有： a10性质 3点 B 、 A 、 F 、 E 是一组等比点，它们的横坐标a2 c2 、 a 、c 、 c a组成一个公比为 e 的等比数列，线段 AB 、 FA 、 EF 的长度 AB 、 FA 、 EF 组 成一个公比为 e 的等比数列 性质 4 当 MP 取最小值时，设以 P 为切点的双曲线的切线为 l ，则直线 l ?直线 MP 如图 4 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ，点 M (m
8、,0)(m ? 0) 是 x 轴上的一定点， N 是抛 物线上的一动点，则 当 0 ? m ? p ，点 N 坐标为 (0,0) 时， MN 取最小值 m ； 当 m ? p ， 点 N 坐 标 为 (m ? p,? 2 p(m ? p) ) 时 ， MN 取 最 小 值p(2m ? p) 图 5 图 6 如图 5，设抛物线的准线与 x 轴的交点、抛物线的焦点分别是 A 、 F ，界点E 的坐标为 ( p,0) ，则有11性质 5 的等比数列 性质 6线段 AO 、 OF 、 EF 的长度 AO 、 OF 、 EF 组成一个公比为 1当 MN 取最小值时， 设以 N 为切点的抛物线的切线为 l ， 则直线 l ?直线 MN 如图 612
