1、1GCT 线性代数辅导第一讲 行列式一. 行列式的定义 一阶行列式定义为 1a 二阶行列式定义为 212121a 在 阶行列式中，划去元素 所在的第 行第 列，剩余元素构成 阶行列式，称nijaij1n为元素 的余子式，记作 ijaijM 令 ，称 为 的代数余子式ijiijA)1(ijAij 阶行列式定义为n nnnn Aaaa 1121212112 二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变 32311a321a2.行列式中两行对换，其值变号32311a3211a3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外 32311akk32311a4.行列式中如果有一行每个元素都由
2、两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和 33231 2211aabb 32311a321ab由以上四条性质，还能推出下面几条性质25.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为7.行列式中如果有一行元素全为，则行列式的值为8.行列式中某行元素的 倍加到另一行，其值不变k32311a13123122 kaka三. 阶行列式展开性质n nnnaaD 212112等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即inii AA21 n,21 按列展开定理njjj aaD21 , 阶行列式 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式
3、的乘积的和等于n零即021jnijiji AA ji 按列展开的性质21njijiji aa ji四.特殊行列式 ; nnaaa 2121121)(112 nnnn a 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式 消零降阶法. 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）典型习题1. =（ ） 。 （ ）3Dx12 133x32. 设 的代数余子式 ，则 =（ ） （-2）6415382a421Aa3 中 的系数是（ ） （2）*xx10244 =（ ） （ ）433221xaD 4321x5设 ，则 =（ ） （1）120zy14253zy6 （ ） （ ）114x
4、xD 4x7 ，则 （ ） ， （0）2130442321AA8 ，则 （ ） ( ) ( 或 )42baab21a0b9 .设 则 (8M)* ,032311Ma23221331aa10. 的根的个数是（ ） （1）0534)(xxf411.解方程 ( )010)(xxg 2,1x12 . 设 是方程 的三个根, 则行列式 的值为( ) (0)*cba, 4230bac第二讲 矩 阵一.矩阵概念和运算1.矩阵的定义和相等.2.加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质. 尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右) 乘分配律等. 若 是 阶方阵,则BAnBA 特殊方阵 3.
5、逆矩阵 定义： I 可逆 0 公式： *1A 1A 可逆矩阵的运算性质4. 伴随矩阵 定义： Tij 基本关系式： IA* 与逆矩阵的关系： *1 行列式： 1*nA 秩： 1)(,0,)(*nrr5矩阵方程 设 是 阶方阵， 是 矩阵，若 可逆，则矩阵方程 有解，其解为AnBmABAXBX15 设 是 阶方阵， 是 矩阵，若 可逆，则矩阵方程 有解，其解为AnBnmABXA1BX二.初等变换 矩阵的初等行（列）变换：（）交换两行（列） ；（）用一个非零常数乘某一行（列） ；（）某行（列）的 倍加到另一行（列）上 k (初等行变换)1AIIA三.矩阵的秩1.定义 在 矩阵 中，任取 行 列，位
6、于这 行 列交叉处的 个元素按其原来的次nmkk2k序组成一个 阶行列式，称为矩阵 的一个 阶子式kA 若矩阵 中有一个 阶子式不为零，而所有 阶子式全为零，则称矩阵 的秩为 。Ar1rAr矩阵 的秩记作 )( 显然有 0rnmrn,i中有一个 阶子式不为零；A)(中所有 阶子式全为零r1r对于 阶方阵 ，n0)(An对于 阶方阵 ，若 ，则称 是满秩方阵Ar2. 重要定理对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩3. 矩阵的秩的求法 阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形：（）所有零行都在矩阵的底部；（）非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方； (初等变换) 阶梯形 ,则 中主元的个数
7、AUAr)(4. 矩阵的秩有以下一些常用的性质：（） .)(Tr)0(kk（） )(Br（） ,Arr6（4）若 ，则 ，其中 为矩阵 的列数0snmBAnBrA)(A（5）若 可逆，则 若 可逆，则 )(r )(rB典型习题 都是 阶阵,则下列结论不正确的是( )BA,nA . B. BATC. D. (A) n BA2. ，且 ，求 ， (-108, 32/3)3,MB3,2B*121*3 , 则 ( ) 201,01AP10AP1024 .设 则 中第 3 行第 2 列的元素是* ,31,321 BCBA. B. C. 1 D. (B)125. ， 则 （ ） ( ) 102A,2XAI
8、20136. 都是 阶阵, .则下列结论正确的是( )B,n0,BA. B. 或 C. D. (B)022(BA7.设 都是 阶阵,满足 .则ICA, IACA. B. C. D. (A)BIBIC设 .则下列结论不正确的是( ) ,2IA 可逆. B. . 不可逆. C. 可逆 D. 可逆 (B) I3IA29. 设 ，则 ( )101*A10710 .设 ,则*0,*4ArMr(A)1 或 2 (A)1 或 3 (A)2 或 3 (A)3 或 4 (A)11 ， 则 （ ） 。 (1)21,1T ,Ar12设 ， （ ）时 。 (-3)34tAt213设 则 （ ） 。 (1),96342
9、1,5420BBAr14 .设 则* ,120,130AA. B. C. D. (D)BTAB80AB15 . 设 ,三阶矩阵 ,且满足 ,则* 6032xA0A. B. 1)(,8Brx 2)(,8BrC. D. (A)x第三讲 向 量一. 向量组 线性相关与线性无关1.向量组的线性组合与线性表示 设 是 维向量， 是数，则s,21 nsk,21称为向量 的一个线性组合skk s 若 ,称 可由 线性表出s21s,21线性相关与线性无关定义 设 是 维向量，若存在不全为零的数 ，使得s,21 n sk,21，则称 线性相关否则称线性无关0skk s,218定理 若 线性无关，而 线性相关,
10、则 可由s,21 ,21s 线性表出,，且表示法惟一s判断 设 是 维向量, 线性相关 s,21 ns,21 sr,21存在某个向量可被其余 个向量线性表出s 个 维向量 线性相关nn,21 0,21n 个 维向量 必线性相关1 增加向量组向量的个数,不改变向量组的线性相关性.减少向量组向量的个数,不改变向量组的线性无关性. 增加向量组向量的维数,不改变向量组的线性无关性.减少向量组向量的维数,不改变向量组的线性相关性. 含有零向量的向量组必线性相关. 含有两个相同向量的向量组必线性相关.二.向量组的秩和极大线性无关组1.定义 设向量组 是向量组 的一个部分组满足rii,21 s,21） 线性
11、无关；rii,21）向量组 的每一个向量都可以由向量组 线性表出，s, rii,21则称部分组 是向量组 的一个极大线性无关组且向量组的rii21 s,21极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩2.求法 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形 求极大线性无关组的步骤：将向量依次按列写成矩阵；对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形；阶梯形中主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组；例如 (行初等变换)54321,A0021主元所在列是第列，第列，第列，因此 的一个极大线性无关54321,组是 且 3421,r54321,9三向量组的秩与矩阵的秩 设 是 矩阵，将矩阵的每个行看作行
12、向量，矩阵的 个行向量构成一个向量组，Anm m该向量组的秩称为矩阵的行秩 将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的 个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为n矩阵的列秩 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩 （三秩相等）典型习题1下列向量组中线性相关性的向量组是（ ）A. .430,210,032 TTTB. .0,1 TbaC. TT32 T014D. , , , （D ）013122设向量组 线性无关，下列向量组无关的是（ ）321A B.1, 1321,C D. 32321 132,（A）3 . 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 *, 3,2,kkA. 3 B. 2 C.-2 D.-3 （D
13、）4 .设向量组 线性无关，则 是向量组 线性无关的*, 1k,kA. 充分必要条件 B. 充分条件，但非必要是条件C. 必要条件，但非充分是条件 D. 既非充分条件，也非必要是条件 （C）5. ( )时, 向量组 ,01,50,3132 tTTtt 321,线性无关.A B。 C. D. 且 (D)0tt2tt2t6 .设 ,则它们的一* TTTT )1,0(,)01,(,)1,(,)12,( 4321 10个极大线性无关组是( )A. B. C. D. (D)21,4321,321,421,7. , , . 则132221332175A. 向量组 线性无关 . B. 向量组 线性相关.1,
14、 ,C.仅当向量组 线性无关时 , 向量组 线性无关.32,321,D. 仅当 向量组 线性相关时, 向量组 线性相关. (B)18.设 A,B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有 A. A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。 (A)B. A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。C. A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。D. A 的行向量组线向相关，B 的列向量组线性相关。9.设向量组 线性无关,向量组 线性相关。则,A. 必能被 线性表出 . B. 必不能被 线性表出.,C. 必能被 线性表出 . D. 必不能被 线性表出. (C) ,.设 是 单维位
15、向量，若 ，则 （ ）*10XnTXG2 GnI（）11设向量组 线性无关，向量组 线性相关，设向量组321,4321,线性无关。则 ( )5321, (5rA.2 B.3 C.4 D.5 (C) 12. .设 , ,且 .则 ( ). 963tA2,3BrM0AtA.2 B.4 C.-2 D.-4 (B)第四讲 线性方程组解的理论一 齐次线性方程组设 元齐次线性方程组n11, 02122121nmmnxaxa 系数矩阵 mnmaaA 2121令 ，则线性方程组可写成TnxxX,21矩阵方程的形式： OAX若令 ， ，Tnaa1,21,1Tnaa2212,，则齐次线性方程组又可以写成向量方程的
16、形式：mnn, 021nxx 齐次线性方程组有非零解的判定条件 设 ，齐次线性方程组 有非零解nmMA,0AXAr)(只有零解 .即系数矩阵 列满秩0Xnr)( 设 是 阶方阵，齐次线性方程组 有非零解 0只有零解 A0A 设 ，当 时，齐次线性方程组 必有非零解nmM,X 齐次线性方程组的解的性质若 ， 是齐次线性方程组 的解，则和 仍是 的解12 0A)(210AX若 是齐次线性方程组 的解，则 的任意常数倍 仍是 的解Xk 齐次线性方程组 的解的结构 的一个基础解系 0AXt,21其要点为：(1) 都是 的解，(2)它们是线性无关的 , (3) 的任t,210A0AX何一个解都可以由它们
17、线性表出因此基础解系往往不是惟一的 若 元齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩 ，则基础解系中含有nXrA)(12个线性无关的解向量(这一点和上面的(3) 等价,即 ).rn rnt 若 是齐次线性方程组 的一个基础解系，t,21 0AX则齐次线性方程组 的通解（一般解）是0其中 是任意常数 tkkX21 tk,214. 解齐次线性方程组 的基本方法解 元齐次线性方程组 的基本步骤：nAX(1) 对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行阶梯形；(2) 假设有 个非零行，则基础解系中有 个解向量r rn选非主元所在列的变量为自由未知量；(3) 将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量为一个
18、基础解系二 非齐次线性方程组设非齐次线性方程组 mnmnbxaxa 21 22 121记系数矩阵为 ,常数项向量为 ，则非齐次线性方程组可写作nmMARbAX 方程组的增广矩阵 mnmnbaa 212112记作 bA 对应的齐次线性方程组 称为非齐次线性方程组 的导出组0XAX 非齐次线性方程组有解的判定 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即 )()brA 若 元非齐次线性方程组 有解，即nbXrAr)(当 时，方程组 有惟一解；r时，方程组 有无穷多解 当系数矩阵 时，非齐次线性方程组 有唯一解nMAbX0 非齐次线性方程组解的性质 设 是非齐次线性方程组 的
19、两个解，则 是导出组 的一个21,bA21AX13解 非齐次线性方程组 的任一解 与导出组 的解 的和 是非齐次线bAX0AX性方程组 的解 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组 的通解（一般解）是非齐次线性方程组的一个特解 + 导出组的基础解系的线性组合即 设非齐次线性方程组 ，若 ， 是 的一个特解，bAXr)(bAX是导出组的基础解系，则 的通解（一般解）是rn,21, 其中 是任意常数rnk1 rnk,1典型习题1 . 只有零解的充分必要条件是*0,AXMmnA A 的列向量组线性相关 B A 的列向量组线性无关C A 的行向量组线性相关 D A 的行向量组线性无关 （）2. 是
20、对应的齐次方程组.则,mnb若 只有零解,则 有唯一解.0XX若 有非零解 ,则 有无穷多解.若 有无穷多解,则 有非零解.A0A若 无解,则 只有零解. (C) b. 的行向量线性无关，则错误的是M,54 只有零解. 必有无穷多解.0XT 0XT 有惟一解. 总有无穷多解 bA, bA,（）4设 ,其每行之和都为零,且 .则 的通解是( ).nM1nr0（ )1,(Tk5. 已知三阶矩阵 的秩 ，A,1)(rT253是方程组 的三个解向量,则常数T0310XkA. B. C. D. 3 (D)2146. 已知三阶非零矩阵 的每一列都是方程组 的解,则B03231x. （）,.设 , ,T01
21、1T212,2103T,则齐次线性方程组,4TT504321x的基础解系是(A) (B) (C) (D) （）21,32,43,543,. 方程组 ,它的基础解系是( ).x( )TTTkk10010210. 设 , 是 的三个解向量,且34Ar321,bAX,则 的通解是( ).02T( )TTk101211. 设 为齐次方程组 的一个基础解系,则 TT10,201 AXAA. B. C. D. (A)4210102412.设 是齐次方程组 的一个基础解系,则 的另一个基础解系是321,0AXAXA.与 等秩的向量组 . B. 321,C. D. (C)32121,1,13. 可逆的充分必要
22、条件是AA. 有解. B. 有非零解.bX0AXC. 时 D. (C)0nr1514.设 且可逆，则方程组,321cbaA321cxcbbaaA.有唯一解 B.有无穷多解 C.无解 D.不能确定（C）第五讲 特征值与特征向量一 特征值和特征向量的定义，性质与计算定义 设 ， ， ， 是 的特征值， 是 的属于特征值 的nMA0XXAAXA特征向量性质 6. 若 都是 的属于特征值 的特征向量， 则 也是 的属于特征值 的21, 21特征向量7. 若 是 的属于特征值 的特征向量, 是非零常数，则 也是 的属于特征值XAkkXA的特征向量求法8. 的特征多项式： AIfA)( nnnnaa 21
23、221121IfA)( .,21n9. 由 属于 的特征向量 （求基础解系）0)Xi i10. iiatr11. Aide12. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的二 相似矩阵概念定义 设 ，若存在可逆矩阵 ，满足 ，则称 相似于 .nMAPBA1 A记作 B2. 性质 相似矩阵有相同的秩，相同的迹，相同的行列式，相同的特征值3. 阶方阵的相似对角化的条件n 阶方阵 可对角化 是 有 个线性无关的特征向量AAn 阶方阵 可对角化 的每个特征值的重数等于它对应的线性无关的特征向量的16个数即若 (其中 )snnnAI )()()(21 ns21则 阶方阵 可对角化n).,.siAiri 方阵
24、有 个不同的特征值, 可对角化1. 方阵的相似对角化的步骤(1) 解 的特征多项式： AAIfA)( nnnnaa 21221121求出 的 个特征值 .(其中可能有相重的特征值)nn,21(2)解齐次方程组: ( ), 求出 的每个特征值对应的线性无0XAIii,A关的特征向量即求 的基础解系.i(3)若 共有 个线性无关的特征向量 则令 ,有An,21nX nXP,21. 注意 与 的对应关系.nP211 ii典型习题1. 是 的特征向量,则 . (-3,0)T12351baAba,2 设 ,则对应于特征值 2 的一个特征向量是( )*2103A. B. C. D. (D)TT0T1T01
25、3. 设 阶矩阵 中任一行的 个元素之和都为 则 必有一个特征值为( ). ( ) nAn,aAa4设 阶矩阵 的特征值为 ， 是 的属于特征值 的特征向量，则X17的特征值为（ ） ，属于特征值的特征向量是（ ）.AIAk22,( 不变)Xk;,1,225. 若 可逆，则 的特征值为（ ） ，属于特征值的特征向量是（ *1,2,I）.( 不变)XA,21,6. 设 ， 的特征值为 。则 （ ）. (60)3MA3,21I7. 三阶矩阵 满足 ，则 =（ ）. (-1)0,0AIAI8 . 设 ，若 的特征值和 的特征值相等，则其中* 102,102yBx BA. B. C. D. (B),y
26、x, 0,yx1,yx9. ,则 ( ) (1)421aA10. ,可对角化,则 满足条件( ). ( )yxyx, 0yx11 .三阶矩阵 的特征值为 ，属于特征值的特征向量分别是*A1,0,132则 （ ）,0,012 TTTAA. B. C. D. (D)101012. 三阶矩阵 的特征值为 ，它们对应的特征向量分别是A2,1,32令 ，则,3211324PAP18（A） （B） （C） （D） (A)1212212113 下列矩阵中与 相似的矩阵是* 2AA B. C. D. (C)1021020120114. 则,2M(A) 与一对角阵相似 . (B) 不能与一对角阵相似AA(C)不能确定 能否与一对角阵相似 (D) (A)1015. 0 不为 的特征值是 可逆的A(A)充分条件 (B)必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 非充分非必要条件 (C)
