1、训练目标 能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题训练题型 (1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件解题策略 用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.1.(2016天津模拟)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 AD， DD1的中点求证：(1) EF平面 C1BD；(2)A1C平面 C1BD.2如图所示，在 Rt ABC 中， AC6， BC3， ABC90， CD 为 ACB 的平分线，点E 在线段 AC 上， CE4，将 BCD 沿 CD 折起，使得平面 BCD平面 ACD，连接 AB， BE，如图
2、所示，设点 F 是 AB 的中点(1)求证： DE平面 BCD；(2)若 EF平面 BDG，其中 G 为 AC 上一点，求三棱锥 B DEG 的体积3.如图，四棱锥 P ABCD 的底面为矩形， AB ， BC1， E， F 分别是 AB， PC 的中点，2DE PA.(1)求证： EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAC平面 PDE.4(2016北京海淀区下学期期中)如图 1，在梯形 ABCD 中， AD BC， AD DC， BC2 AD，四边形 ABEF 是矩形，将矩形 ABEF 沿 AB 折起到四边形 ABE1F1的位置，使平面 ABE1F1平面ABCD， M 为 AF1的中点，如图
3、 2.(1)求证： BE1 DC；(2)求证： DM平面 BCE1；(3)判断直线 CD 与 ME1的位置关系，并说明理由答案精析1证明 (1)如图，连接 AD1， E， F 分别是 AD 和 DD1的中点， EF AD1.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB D1C1， AB D1C1，四边形 ABC1D1为平行四边形，即有 AD1 BC1， EF BC1.又 EF平面 C1BD， BC1平面 C1BD， EF平面 C1BD.(2)如图，连接 AC，则 AC BD.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1平面 ABCD， BD平面 ABCD， AA1 BD.又 AA1 AC
4、 A， AA1平面 AA1C， AC平面 AA1C， BD平面 AA1C， A1C平面 AA1C， A1C BD.同理可证 A1C BC1.又 BD BC1 B， BD平面 C1BD， BC1平面 C1BD， A1C平面 C1BD.2(1)证明 取 AC 的中点 P，连接 DP，因为在 Rt ABC 中， AC6， BC3， ABC90，CD 为 ACB 的平分线，所以 A30， ADC 是等腰三角形，所以 DP AC， DP ， DCP30， PDC60.3又点 E 在线段 AC 上， CE4，所以 AE2， EP1，所以 EDP30，所以 EDC90，所以 ED DC.因为平面 BCD平面
5、 ACD，且平面 BCD平面 ACD DC，所以 DE平面 BCD.(2)解 若 EF平面 BDG，其中 G 为 AC 上一点，则易知 G 为 EC 的中点，此时 AE EG GC2.因为在 Rt ABC 中， AC6， BC3， ABC90， CD 为 ACB 的平分线，所以 BD ， DC 2 ，3 32 ?3?2 3所以 B 到 DC 的距离 h .BDBCDC 3323 32因为平面 BCD平面 ACD，平面 BCD平面 ACD DC，所以 B 到 DC 的距离 h 就是三棱锥 B DEG 的高，所以三棱锥 B DEG 的体积 V S DEGh .13 13 3 32 323证明 (1
6、)如图，取 PD 中点 G，连接 AG， FG，因为 F， G 分别为 PC， PD 的中点，所以 FG CD，且 FG CD.12又因为 E 为 AB 中点，所以 AE CD，且 AE CD.12所以 AE FG， AE FG.所以四边形 AEFG 为平行四边形所以 EF AG，又 EF平面 PAD，AG平面 PAD，所以 EF平面 PAD.(2)设 AC DE H，由 AEH CDH 及 E 为 AB 中点，得 ，AHCH AECD 12又因为 AB ， BC1，2所以 AC ， AH AC .313 33所以 ，又 BAC 为公共角，所以 HAE BAC.AHAE ABAC 23所以 A
7、HE ABC90，即 DE AC.又 DE PA， PA AC A， PA平面 PAC， AC平面 PAC，所以 DE平面 PAC.又 DE平面 PDE，所以平面 PAC平面 PDE.4(1)证明 因为四边形 ABE1F1为矩形，所以 BE1 AB.因为平面 ABCD平面 ABE1F1，且平面 ABCD平面 ABE1F1 AB，BE1平面 ABE1F1，所以 BE1平面 ABCD.因为 DC平面 ABCD，所以 BE1 DC.(2)证明 因为四边形 ABE1F1为矩形，所以 AM BE1.因为 AD BC， AD AM A， BC BE1 B，AD平面 ADM， AM平面 ADM，BC平面 B
8、CE1， BE1平面 BCE1，所以平面 ADM平面 BCE1.因为 DM平面 ADM，所以 DM平面 BCE1.(3)解 直线 CD 与 ME1相交，理由如下：取 BC 的中点 P， CE1的中点 Q，连接 AP， PQ， QM，所以 PQ BE1，且 PQ BE1.12在矩形 ABE1F1中， M 为 AF1的中点，所以 AM BE1，且 AM BE1，12所以 PQ AM，且 PQ AM.所以四边形 APQM 为平行四边形，所以 MQ AP， MQ AP.因为四边形 ABCD 为梯形， P 为 BC 的中点， BC2 AD，所以 AD PC， AD PC，所以四边形 ADCP 为平行四边形所以 CD AP 且 CD AP.所以 CD MQ 且 CD MQ.所以四边形 CDMQ 是平行四边形所以 DM CQ，即 DM CE1.因为 DM CE1，所以四边形 DME1C 是以 DM， CE1为底边的梯形，所以直线 CD 与 ME1相交
