1、训练目标 会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系训练题型 (1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1.如图所示，已知 PA垂直于圆 O所在的平面， AB是圆 O的直径，点 C是圆 O上任意一点，过 A作 AE PC于 E， AF PB于 F，求证：(1)AE平面 PBC；(2)平面 PAC平面 PBC；(3)PB EF.2(2016福州质检
2、)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E是 AA1的中点， O为底面正方形对角线 B1D1与 A1C1的交点(1)求证： AC1平面 B1D1C；(2)过 E构造一条线段与平面 B1D1C垂直，并证明你的结论3.(2016张掖第二次诊断)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC，且 ABC为正三角形， AA1 AB6， D为 AC的中点(1)求证：直线 AB1平面 BC1D；(2)求证：平面 BC1D平面 ACC1A1；(3)求三棱锥 C BC1D的体积4(2016山东省实验中学质检)如图所示， ABC A1B1C1是底面边长为 2，高为 的正三棱32柱，经过
3、AB的截面与上底面相交于 PQ，设 C1P C 1A1(0 1)(1)证明： PQ A1B1；(2)是否存在 ，使得平面 CPQ截面 APQB？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由答案精析1证明 (1)因为 AB是圆 O的直径，所以 ACB90，即 AC BC.因为 PA垂直于圆 O所在平面，即 PA平面 ABC，而 BC平面 ABC，所以 BC PA.又因为 AC PA A， AC平面 PAC， PA平面 PAC，所以 BC平面 PAC.因为 AE平面 PAC，所以 BC AE.又已知 AE PC， PC BC C，PC平面 PBC， BC平面 PBC，所以 AE平面 PBC.(2)
4、由(1)知 AE平面 PBC，且 AE平面 PAC，所以平面 PAC平面 PBC.(3)因为 AE平面 PBC，且 PB平面 PBC，所以 AE PB.又 AF PB于 F，且 AF AE A， AF平面 AEF，AE平面 AEF，所以 PB平面 AEF.又因为 EF平面 AEF，所以 PB EF.2(1)证明 AA1平面 A1B1C1D1，B1D1平面 A1B1C1D1， AA1 B1D1， A1C1 B1D1，且 AA1 A1C1 A1，AA1平面 AA1C1， A1C1平面 AA1C1， B1D1平面 AA1C1， AC1平面 AA1C1， B1D1 AC1.同理 AC1 B1C， B1
5、D1 B1C B1， B1D1平面 B1D1C， B1C平面 B1D1C， AC1平面 B1D1C.(2)解 连接 EO，则线段 EO与平面 B1D1C垂直证明如下： E是 AA1的中点， O是 A1C1的中点， EO AC1. AC1平面 B1D1C， EO平面 B1D1C.3.(1)证明 连接 B1C交 BC1于点 O，连接 OD，如图，则点 O为 B1C的中点 D为 AC的中点， AB1 OD. OD平面 BC1D， AB1平面 BC1D，直线 AB1平面 BC1D.(2)证明 AA1底面 ABC，BD底面 ABC， AA1 BD. ABC是正三角形， D是 AC的中点， BD AC.
6、AA1 AC A， AA1平面 ACC1A1， AC平面 ACC1A1， BD平面 ACC1A1. BD平面 BC1D，平面 BC1D平面 ACC1A1.(3)解 由(2)知，在 ABC中， BD AC， BD BCsin 603 ，3 S BCD 33 ，12 3 932 69 .11CBDCBDV三13 932 34(1)证明 由正三棱柱的性质可知，平面 A1B1C1平面 ABC，又因为平面 APQB平面 A1B1C1 PQ，平面 APQB平面 ABC AB，所以 PQ AB.又因为 AB A1B1，所以 PQ A1B1.(2)解 假设存在这样的 满足题意，分别取 AB的中点 D， PQ的中点 E，连接 CE， DE， CD.由(1)及正三棱柱的性质可知 CPQ为等腰三角形， APQB为等腰梯形，所以CE PQ， DE PQ，所以 CED为二面角 A PQ C的平面角连接 C1E并延长交 A1B1于点 F，连接 DF.因为 ， C1A12， C1F ，C1PC1A1 C1EC1F 3所以 C1E ， EF (1 )3 3在 Rt CC1E中可求得 CE2 3 2，34在 Rt DFE中可求得 DE2 3(1 )2.34若平面 CPQ截面 APQB，则 CED90，所以 CE2 DE2 CD2，代入数据整理得 3 23 0，解得 ，即存在满足题意的34 12 ， .12
