1、1第一讲 数的整除问题一、 基本概念和知识：1、 整除：定义：一般地，如果 a，b，c 为整数，且 ab=c，我们就说，a 能被 b 整除（或者说b 能整除 a） 。用符号“b| a”表示。 2、 因数和倍数：如果 a 能被 b 整除，即 ab=c由 ab=c 得：a=bc，我们就说 b（c）是 a 的因数（或约数） ，a 是 b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数：1 的因数：_； 7 的因数：_；2 的因数：_； 8 的因数：_；3 的因数：_； 9 的因数：_；4 的因数：_； 10 的因数：_；5 的因数：_； 1
2、1 的因数：_；6 的因数：_； 12 的因数：_；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3 和 4 的公因数是：_，6 和 8 的公因数是：_，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1 只有 1 个因数，有些数只有 2 个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于 1 的自然数分为两类：质数与合数。（）质数：一个数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（） 合数：一个数，除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（）0 和既不是质数，也不是合数。、请写出 20 以内的所有质数：_注意：最小的质数是_，质数里面除了_
3、是偶数外，其它都是_数。4、互质数：公因数只有 1 的两个自然数，叫做互质数。这里所说的“两个数”是指除 0 外的所有自然数。 “公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。 ”例如，2 与 7、13 与 19、3 与 10、5 与 26 等等24、质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数练习：134=52,13 和 4 都是 52 的因数吗？13 和 4 都是 52 的质因数吗？分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数练习-把下列各数分解质因数（1）21 （2）42 （3）36当数字比较大的时候，我们用短除法可
4、以快速的分解质因数例题-用短除法把下列各数分解质因数（1）180 （2）630练习1、把下列各数分解质因数（1）960 （2）25202、 （第九届小学希望杯全国数学邀请赛）在小于 30 的质数中，加 3 以后是 4 的倍数的是 3、 （2012 年第十届希望杯试题）只能被 1 和他本身整除的自然数叫做质数, 如：2,3,5,7等，那么，比 40 大并且比 50 小的质数是 ，小于 100 的最大的质数是 。4、 （第七届希望杯试题）若用 G（a）表示自然数 a 的约数的个数，如：自然数 6 的约数有1、2、3、6，共 4 个，记作 G（6）=4，则 G(36)+G(42)= .5、(2016
5、 年第十四届希望杯)已知 a,b,c 都是质数，若 ab+bc=119，则a+b+c= . 3二、数的整除性：1、能被 2 整除的数的特征：个位数一定是 0，2，4，6 或 8。偶数：能被 2 整除的整数称为偶数，如：0，2，4，6，8，10，12，14，奇数：不能被 2 整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，偶数和奇数有如下运算性质：偶数偶数=偶数， 奇数奇数=偶数， 偶数奇数=奇数，偶数偶数=偶数， 偶数奇数=偶数， 奇数奇数=奇数。提醒：（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇
6、偶性相反；2、能被 5 整除的数的特征是：个位是 0 或 5 3、能被 3 整除的数的特征是：各个数位数字之和能被 3 整除如：27, 215 等等4、能被 9 整除的数的特征是：各个数位数字之和能被 9 整除如：81, 216 等等5、能被 4 或 25 整除的数的特征是：末两位数能被 4 或 25 整除如：264 能被 4 整除，150 能被 25 整除6、能被 8 或 125 整除的数的特征是：末三位数能被 8 或 125 整除。如：2168 能被 8 整除，不能被 125 整除7、能被 7（11 或 13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差， （大减小）
7、能被 7（11 或 13 ）整除例如：判断 1540 是否是 7 的倍数？解：把 1540 分成 1 和 540 两个数，因为 540-1=539，由 539 能被 7 整除，所以 1540 能被7 整除，因此 1540 是 7 的倍数4例题 1、已知六位数 能被 3 整除，数字 a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使 25+a 能被 3 整除，数字 a 只能是 2，5 或 8。即符合题意的a 是 2，5 或 8。例题 2、五位数 48A1B 能同时被 2,3,5 整除，则 A=_，B=_。例题 3、 （2012 年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是 135135，则这六个数
8、的和是 。练习：1、 （第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若 9 位数 20082008 能够被 3 整除，则里的数是 2、 （第十一届中环杯初赛）已知 a24b8 是一个五位数，且是 8 的倍数，则 a24b8 最大是_，最小是_3、四位数 8A1B 能同时被 2,3,5 整除，则这个四位数是_.4、 （第十一届 2013 年“希望杯”全国数学邀请赛）在 2013 的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（ ） 。5、 （第十一届 2013 年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是 420，则这两页的页码数的和是（ ） 。6、 （2014 年第十二届
9、希望杯初赛试题）自然数 是 3 的倍数， 是 4 的倍数， 是a1a2a5 的倍数，则 最小是 57 。a分析：从题目中可以看出，这个数 是 3 的倍数，也是 4 的倍数余 1，也是 5 的倍数余 2.可以用枚举法，先从 5 的倍数余 2 考虑，末尾应该是 2 或者 7.末尾是 2，不符合 4 的倍数余 1，所以末尾肯定是 7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57.只有 57 符合。三、整除的性质：1、如果 a、b 都能被 c 整除，那么他们的和与差也能被 c 整除. 例如：9 能被 3 整除，81 也能被 3 整除，那么 81+9=90,81-9=72 都能被 3 整除。52、 （
10、*）如果 a 能被 b 整除，a 也能被 c 整除，并且 b、c 互质（除 1 以外，没有其它公共因数） ，那么，a 就能被 b 和 c 的乘积整除。例如：24 能被 3 整除，24 也能被 4 整除，由于 3 和 4 互质，所以 24 也能被 34=12 整除。例题 4、在 32的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被 15 整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）解：因为 15=35，且 3 和 5 互质。所以，只需分别考察能被 3 和 5 整除的情形。由能被 5 整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是 5 或 0。再据能被 3 整除的数的特征试算，若个位
11、上是 5，则有 325=10。可推知，百位上最大可填入 8。即组成的四位数是 3825；若个位上是 0，则有 320=5。可推知，百位上最大可填入 7。即组成的四位数是 3720。 故知，这个数是 3825。例题 5、 （第十一届 2013 年“希望杯”全国数学邀请赛）一个数除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，则这样的数中最小的是（ ） 。 例题 6、(2012 年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4 个 4 个地数，多 2 个；6 个 6 个地数，多 4 个；8 个 8 个地数，少 2 个。已知这筐桃子的个数不少于 120，也不多于 150，则这筐桃子共有 个。练习：1、(20
12、16 年第十四届希望杯)若六位数 能被 12 整除，则这样的六位数有ba2016个。 2、 （第十一届 2013 年“希望杯”全国数学邀请赛决赛试题）如果一个小于 100 的自然数除以 3，除以 4，除以 5 都余 2，那么这个数最小是_，最大是_巩固练习：1、36 的因数有（ 1,2,3,4，6,9,12,18,36 ） ，它的质因数有（ 2,3 ） 。2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是 210，这三个小朋友的年龄分别是（5 ）岁、 （ 6 ）岁、 （7 ）岁。6解：用短除法分解质因数：210=2357=5673、 有一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是
13、231 平方厘米。这个长方形的长和宽分别是（ ） 、 （ ）解：用短除法分解质因数：231=3711则此长方形的长和宽有以下几种情况: 1、长 37=21cm，宽 11cm； 2、长311=33cm，宽 7cm； 3、长 711=77cm，宽 3cm。4、 若 9 位数 20162016 能够被 9 整除，则里的数是 9 解：个位数字之和是 9 的倍数，可以得出，方框内应填“9”5、某个自然数，被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 6，这个自然数最小是_。6、已知五位数 A329B 能同时被 8 和 9 整除，则 A=_5_，B=_6_ _。分析：根据能被 8 整除的数的特征，后三
14、位应该能被 8 整除，29B 除以 8，列竖式，可以推算出 B=6。然后根据能被 9 整除的数的特征，各位数字之和能被9 整除，所以 A=5.7五位数 能被 12 整除，这个五位数是_。8、一位采购员买了 72 个微波炉，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72 个微波炉，共用去679元（为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是_元。（注：微波炉单价为整数元）。解：72 只桶共用去 a67.9b 元，把它改写成 a679b 分后，应能被 72 整除。72=89，8 和 9 互质，若 8 能整除它，9 能整除它，72 就一定能整除它
15、。由能被 8 整除的数的特征（末三位数能被 8 整除）知，79b 能被 8 整除，则 b2；由能被 9 整除的数的特征知，a6792a24 能被 9 整除，则 a=3。故这笔账应是 36792 元。9、 要使六位数 能被 36 整除，而且所得的商最小，问 A，B，C 各代表什么数字？分析与解：因为 3649，且 4 与 9 互质，所以这个六位数应既能被 4 整除又能被 9整除。六位数 能被 4 整除，就要 能被 4 整除，因此 C 可取 1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使 这个六位数尽可能小。因此首先是 A 尽量小，其次是 B 尽量小，最后是 C 尽量小。先试取 A=0。六位数 的各位数字之和为12BC。它应能被 9 整除，因此 BC6 或 BC15。因为 B，C 应尽量小，所以BC6，而 C 只能取 1，3，5，7，9，所以要使 尽可能小，应取 B1，C5。7当 A=0，B=1，C5 时，六位数能被 36 整除，而且所得商最小，为150156364171。
