1、培智教育1初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100 元，三年后负债 600 元求每人每年收入多少？ S 的末四位数字的和是多少？4一个人以 3 千米/小时的速度上坡，以 6 千米/小时的速度下坡，行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程5求和：6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数8若两个整数 x，y 使 x2+xy+y2能被 9 整除，证明：x 和 y 能被 3 整除9如图 195 所示在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 的中点为 M，N，MN 的延长线与 AB 边交于 P 点求证：PCD 的面积等于四边形 ABCD 的面积的
2、一半解答：所以 x=5000(元)培智教育2所以 S 的末四位数字的和为 1995=243因为a-b0，即ab即当 ba0 或 ba0 时，等式成立4设上坡路程为 x 千米，下坡路程为 y 千米依题意则有由有 2x+y=20， 由有 y=12-x将之代入得 2x+12-x=20所以 x=8(千米)，于是 y=4(千米)5第 n 项为所以培智教育36设 p=30qr，0r30因为 p 为质数，故 r0，即 0r30假设r 为合数，由于 r30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3，5再由p=30qr 知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时，p 不是质数，矛盾所以，r一定不是合数7设由式得(
3、2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知 m4由，m0，且为整数，所以 m=1，2，3下面分别研究p，q(1)若 m=1 时，有解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去(2)若 m=2 时，有因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 时无解(3)若 m=3 时，有培智教育4解之得故 pq=88因为 x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由题设，9(x 2+xyy 2)，所以3(x 2xyy 2)，从而 3(x-y) 2因为 3 是质数，故 3(x-y)进而 9(x-y)2由上式又可知，93xy，故 3xy所以 3x 或 3y若 3x，结合3
4、(x-y)，便得 3y；若 3y，同理可得，3x9连结 AN，CN，如图 1103 所示因为 N 是 BD 的中点，所以上述两式相加另一方面，SPCD =SCND S CNP S DNP 因此只需证明SAND S CNP S DNP 由于 M，N 分别为 AC，BD 的中点，所以SCNP =SCPM -SCMN=S APM -SAMN=S ANP 又 SDNP =SBNP ，所以培智教育5SCNP S DNP =SANP +SBNP =SANB =SAND 培智教育6初一奥数题二1已知 3x2-x=1，求 6x3+7x2-5x2000 的值2某商店出售的一种商品，每天卖出 100 件，每件可获
5、利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每天就少卖出 10 件试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3如图 196 所示已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平分CDA，12=90求证：DAAB4已知方程组的解应为一个学生解题时把 c 抄错了，因此得到的解为求 a2b 2c 2的值5求方程xy-2x+y=4 的整数解6王平买了年利率 7.11的三年期和年利率为 7.86的五年期国库券共35000 元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为 47761 元，问王平买
6、三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为 5.22)7对 k，m 的哪些值，方程组 至少有一组解？8求不定方程 3x4y13z=57 的整数解9小王用 5 元钱买 40 个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为 20 分、8 分、3 分小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：培智教育71原式=2x(3x 2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=20032原来每天可获利 4100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利(4x)元，但每天卖出为(100-10x)件如果设每天
7、获利为 y 元，则y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x 2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490所以当 x=3 时，y 最大=490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大，为 490元3因为 CE 平分BCD，DE 平分ADC 及12=90(图 1104)，所以ADCBCD=180，所以 ADBC 又因为 ABBC，由， ABAD4依题意有所以 a 2+b2+c2=345xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2因为x10，且 x，y 都是整数，所以所以有6设王平买三年期和五年期国库券分别为 x 元和 y
8、元，则培智教育8因为 y=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522) 2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)7因为 (k1)xm-4， m 为一切实数时，方程组有唯一解当 k=1，m=4 时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解当 k=1，m4 时，无解所以，k1，m 为任何实数，或 k=1，m=4 时，方程组至少有一组解8由题设方程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-1
9、3m原方程的通解为 其中 n，m 取任意整数值9设苹果、梨子、杏子分别买了 x，y，z 个，则消去 y，得 12x-5z=180它的解是 x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得 y=-23017t故 x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12tx=20，y=8，z=12培智教育9因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有123+456=2120 个培智教育10初一奥数题三1解关于 x 的方程2解方程其中 abc03求(8x 3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和4液态农药一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液 4 升，再用水灌满，
10、这时农药的浓度为 72，求桶的容量5满足-1.77x=-2x 的自然数 x 共有几个？这里x表示不超过 x 的最大整数，例如-5.6=-6，3=36设 P 是ABC 内一点求：P 到ABC 三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围7甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行 24 千米，甲经过9 小时到东站，乙经过 16 小时到西站，求两站距离8黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减 1，这样继续下去，最后得到 19，1997，1999，问原来的三个数能否是 2，2，2？9设有 n 个实数 x1，x 2，x n，其中每一个不是+1 就是-1，且求证：n 是 4 的
11、倍数解答：1化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab，当 a1 时，2将原方程变形为培智教育11由此可解得 x=ab+c3当 x=1 时，(8-6+4-7) 3(2-1)2=1即所求展开式中各项系数之和为 1依题意得去分母、化简得 7x2-300x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0，5若 n 为整数，有nx=nx，所以-1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x， 所以 0.23x=0又因为 x 为自然数，所以 00.23x1，经试验，可知 x 可取1，2，3，4，共 4 个6如图 1105 所示在PBC 中有 BCP
12、BPC， 延长 BP 交 AC 于 D易证 PBPCABAC 由， BCPBPCAB+AC， 同理 ACPAPCACBC， ABPAPBACAB 得 ABBCCA2(PAPBPC)2(ABBCCA)所以7设甲步行速度为 x 千米/小时，乙步行速度为 y 千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千培智教育12米依题意得由得 16y2=9x2， 由得 16y=249x，将之代入得即 (249x) 2=(12x)2解之得于是所以两站距离为 98166=168(千米)8答案是否定的对于 2，2，2，首先变为 2，2，3，其中两个偶数，一个奇数以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但
13、奇偶性不变)，所以，不可能变为 19，1997，1999 这三个奇数。又因为所以，k 是偶数，从而 n 是 4 的倍数培智教育13初一奥数题四1已知 a，b，c，d 都是正数，并且 ada，cdb求证：acbdab2已知甲种商品的原价是乙种商品原价的 1.5 倍因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的 2 倍调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了 2，求乙种商品提价的百分数3在锐角三角形 ABC 中，三个内角都是质数求三角形的三个内角4某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产 1000 台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划
14、三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？z=x+y+y+1+x-2y+4，求 z 的最大值与最小值8从 1 到 500 的自然数中，有多少个数出现 1 或 5？9从 19，20，21，98 这 80 个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？解答：1由对称性，不妨设 ba，则 acbdacad=a(cd)ab2设乙种商品原单价为 x 元，则甲种商品的原单价为 1.5x 元设甲商品降价 y，则乙商品提价 2y依题意有 1.5x(1-y)+x(12y)=(1.5xx)(12)，化简得 1.5-1.5y+1+2y=2.51.02 所以 y=0.1=10，所以甲种商品降价 10，乙
15、种商品提价 203因为A+BC=180，所以A，B，C 中必有偶数唯一的偶质数为 2，所以C=2所以A+B=178由于需A，B 为奇质数，这样的解不唯一，如培智教育144设每年增产 d 千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为 a-d，a，ad 依题意有解之得所以三年产量分别是 4 千台、6 千台、8 千台不等式组：所以 x2；无解培智教育156设原式为 S，则所以又0.112-0.001=0.111因为 所以 =0.1057由x1，y1 得 -1x1，-1y1所以 y10，x-2y+4-1-21+4=10所以 z=x+y+(y+1)+(x-2y+4)=x+yx-y5(1)当 x+y+0 时，
16、z=-(x+y)x-y+5=5-2y培智教育16由-1y1 可推得 35-2y7，所以这时，z 的最小值为 3、最大值为7(2)当 x+y0 时，z=(xy)+(x-y+5)=2x+5由-1x1 及可推得 32x+57，所以这时 z 的最小值为 3、最大值为7由(1)，(2)知，z 的最小值为 3，最大值为 78百位上数字只是 1 的数有 100，101，199 共 100 个数；十位上数字是 1 或 5 的(其百位上不为 1)有 2310=60(个)个位上出现 1 或 5 的(其百位和十位上都不是 1 或 5)有 238=48(个)再加上 500 这个数，所以，满足题意的数共有100+60+
17、48+1=209(个)9从 19 到 98 共计 80 个不同的整数，其中有 40 个奇数，40 个偶数第一个数可以任选，有 80 种选法第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39 个偶数中选取，有 39 种选法同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39 种选法，但第一个数为 a，第二个为 b 与第一个为 b，第二个为 a 是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有种选法培智教育17初一奥数题五1一项任务，若每天超额 2 件，可提前计划 3 天完工，若每天超额 4 件，可提前 5 天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间2已知两列数2，5，8，11，14，17，2(200-1)3，5，9
18、，13，17，21，25，5(200-1)4，它们都有 200 项，问这两列数中相同的项数有多少项？3求 x3-3px2q 能被 x22axa 2整除的条件4证明不等式5若两个三角形有一个角对应相等求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比6已知(x-1) 2除多项式 x4ax 3-3x2bx3 所得的余式是 x+1，试求a，b 的值7今有长度分别为 1，2，3，9 的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？8平面上有 10 条直线，其中 4 条是互相平行的问：这 10 条直线最多能把平面分成多少部分？9边长为整数，周长为 15 的三角形有多少个？解答
19、：1设每天计划完成 x 件，计划完工用的时间为 y 天，则总件数为 xy件依题意得解之得总件数 xy=815=120(件)，即计划用 15 天完工，工作的件数为 120 件培智教育182第一列数中第 n 项表示为 2(n-1)3，第二列数中第 m 项表示为5(m-1)4要使 2(n-1)35+(m-1)4所以因为 1n200，所以所以 m=1，4，7，10，148 共 50 项3x3-3px+2q 被 x22axa 2除的余式为 3(a2-p)x2(qa 3)，所以所求的条件应为4令因为所以培智教育195如图 1-106(a)，(b)所示ABC 与FDE 中，A=D现将DEF 移至ABC 中，
20、使A 与D 重合，DE=AE，DF=AF，连结 FB此时，AEF的面积等于三角形 DEF 的面积得6不妨设商式为 x2+x由已知有x 4ax 3-3x2bx3=(x-1) 2(x2+x)+(x1)=(x 2-2x1)(x 2 x)x1=x 4+(-2)x 3+(1-2)x 2(1-2)x+1比较等号两端同次项的系数，应该有培智教育20只须解出所以 a=1，b=0 即为所求7因为所以正方形的边长11下面按正方形边的长度分类枚举：(1)边长为 11：92=8+3=74=6+5，可得 1 种选法(2)边长为 10：91=82=73=6+4，可得 1 种选法(3)边长为 9：9=8+1=7+2=6+3
21、=5+4，可得 5 种选法(4)边长为 8：8=7+1=6+2=5+3，可得 1 种选法(5)边长为 7：7=6+1=52=43，可得 1 种选法(6)边长6 时，无法选择综上所述，共有 1+1+5+1+1=9种选法组成正方形8先看 6 条不平行的直线，它们最多将平面分成2+23+4+56=22 个部分现在加入平行线加入第 1 条平行线，它与前面的 6 条直线最多有 6 个交点，它被分成 7 段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了 7 个部分加入第 2，第 3 和第 4 条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加 7 个部培智教育21分因此，这些直最多将平面分成22+74=50个部分9不妨设三角形的三边长 a，b，c 满足 abc由bca，abc=15，abc 可得，15=a(bc)2a，所以 a7又15=a+bc3a，故 a5于是 a=5，6，7当 a=5 时，bc=10，故 b=c=5；当 a=b 时，bc=9于是 b=6，c=3，或 b=5，c=4；当 a=7 时，b+c=8，于是b=7，c=1，或 b=6，c=2，或 b=5，c=3，或 b=4，c=4所以，满足题意的三角形共有 7 个
