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线性代数(经济数学2)_习题集(含答案).doc

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1、第 1 页 共 25 页线性代数(经济数学 2) 课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】:本课程线性代数(经济数学 2) (编号为 01007)共有计算题 1,计算题 2,计算题 3,计算题 4,计算题 5 等多种试题类型,其中,本习题集中有计算题 5等试题类型未进入。一、计算题 11. 设三阶行列式为 求余子式 M11, M12, M13及代数余子式2310DA11, A12, A132. 用范德蒙行列式计算 4 阶行列式12534276914D3. 求解下列线性方程组:1321 123211 nnnxaxax 其中 ),(jiji 第 2 页 共 25 页4. 问

2、取何值时 齐次线性方程组 有非零解?1230x5. 问 取何值时 齐次线性方程组 有非零解?123()40x二、计算题 26. 计算 的值。614230532D7. 计算行列式 的值。52413188. 计算 的值。01D9. 计算行列式 的值。92934567810. 计算 的值。1205711. 求满足下列等式的矩阵 X。214331第 3 页 共 25 页12. A 为任一方阵,证明 , 均为对称阵。TA13. 设矩阵2131032B求 AB14. 已知123A2103B求 和T)(BT15. 用初等变换法解矩阵方程 AX=B 其中012A116. 设矩阵210435A求 117. 求

3、的逆。32A18. 设 n 阶方阵 A 可逆,试证明 A 的伴随矩阵 A*可逆,并求 。1*)(19. 求矩阵 1025第 4 页 共 25 页的逆。20. 求矩阵 的逆。12345三、计算题 321. 设矩阵1401325A求矩阵 A 的秩 R(A)。22. 求向量组 的秩。其中, , , ,4321, ),0(1)1,32()1,2(。)4,3(423. 设向量组 , , 可由向量组 , , 线性表示。12312332132试将向量 , , 由 , , 线性表示。1224. 问 a 取什么值时下列向量组线性相关?a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T25. 求下列

4、向量组的秩, 并求一个最大无关组 a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T。四、计算题 426. 求线性方和组的解第 5 页 共 25 页21321x27. 求解下列线性方程组4326425431xx28. 当 a、 b 为何值时,线性方程组2345620354125431xxba有解,当其有解时,求出其全部解。29. 求解齐次线性方程组 075532421xx30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 12345xx31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形,并求出变换阵32121321 4),( xxxf 32. 设矩阵 21

5、0A求 A 的正交相似对角阵,并求出正交变换阵 P。33. 求一个正交变换将二次型 f2x123x223x334x2x3化成标准形。34. 求一个正交变换将二次型 fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4化成标准形。第 6 页 共 25 页35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵 化为对角阵。201五、计算题 5(略)答案一、计算题 11. 解: , (3 分)12043M11()4AM, (6 分)121212(), (8 分)1351313()5A2. 解: 对照范德蒙行列式,此处a 1=4,a 2=3,a 3=7,a 4=-5 (3 分)所以有(5 分)4

6、1()ijijD23141324243()()aaa()75757=10368 (8 分)3. 解:写出系数行列式 D第 7 页 共 25 页(3 分)21121nnnaDD 为 n 阶范德蒙行列式,据题设 ()ija(5 分)1()0ijijna由克莱姆法则知方程组有唯一解。 易知12,.nD(8 分)0xx4. 解 系数行列式为 (4 分)12D令 D0 得0 或 1 (6 分)于是 当 0 或 1 时该齐次线性方程组有非零解 (8 分)5. 解 系数行列式为 (4 分)241332110(1)3(3)4(1)2(1)(3+)(1)32(1)23 (6 分)令 D0 得0 2 或 3 于是

7、 当 0 2 或 3 时 该齐次线性方程组有非零解 (8 分)二、计算题 26. 解:第 8 页 共 25 页(4 分)(8 分)(10 分)7. 解(2 分)(4 分)(6 分)(8 分)=-60(10 分)8. 解:(5 分)第 9 页 共 25 页(10 分)9. 解:对于行列式,使用性质进行计算。有 (第 3 列减第 2 列)(3 分)1921945678(第 2 列减第 1 列)(6 分)1981754(由于 2,3 列对应相等)(8 分)1974=0(10 分)10. 解 (5 分)42105723412004c 43102()3(10 分)12034231912074c11. 解

8、 将上述等式看成 (2 分)AXB由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律,得 2B (4 分)1()= (6 分)13 32第 10 页 共 25 页= (8 分)62140= (10 分)3212. 证:对称阵: (20 分)(4 分) 是对称阵. (6 分)(8 分) 是对称阵(10 分)13. 解 AB (2 分)(6 分)(8 分) (10 分)14. 解(3 分) (6 分)而(10 分)第 11 页 共 25 页15. 解(1 分)(3 分)(5 分)(7 分)(9 分) X=A -1B (10 分)16. 解: (2 分)135A(4 分) 2第 12 页 共 25 页(6 分) 13

9、253A(8 分) 12124于是(10 分)12305123A17. 解:(3 分)(7 分) (10 分)18. 证: 因为 A 可逆,所以|A|0,(1 分)且 1*于是有 A *=|A|A-1 (3 分)对上式两边取行列式,并由方阵行列式性质(2)(注意|A|是一个数)得 |A *|=|A|A-1| =|A|n|A-1| (5 分)又因 |A -1|0 (A 可逆,由定义知 A-1可逆)|A *|0 所以 A*是可逆的 (6 分)第 13 页 共 25 页因为(8 分)可知 (10 分)19. 解:令 ,(2 分)于是1251,A120A则 (4 分)1112200A用伴随矩阵极易写出

10、 1,(6 分)125A(8 分)121233(10 分)20. 解 |A|20 故 A1存在 (2 分)因为12345A ( 6 分)123134*2所以 (10 分)1*|A01367第 14 页 共 25 页三、计算题 321. 解:对 A 作初等行变换,将它化为阶梯形,有(2 分)(4 分)(6 分)(8 分)最后阶梯形矩阵的秩为 3,所以 R(A)=3 (12 分)22. 解:把 排成 的矩阵 A(2 分)(8 分)这是一个“下三角形“ 矩阵 (12 分)23. 解:由上视为 的线性方程组,解出 来。 (2 分)第 15 页 共 25 页(6 分)(10 分)所以 (12 分)313

11、2124. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A (2 分)由(8 分)|1(1)aAa知 当 a1、0、1 时 R(A)3 此时向量组线性相关 (12 分)25. 解 由 (7 分)12319219219204800(, ) 3rr知 R(a1 a2 a3)2 因为向量 a1与 a2的分量不成比例 故 a1 a2线性无关 所以 a1 a2是一个最大无关组 (12 分)四、计算题 4第 16 页 共 25 页26. 解: (3 分)(6 分)(9 分)方程有解 (12 分)视 x 3为自由未知量,方程组有无数多个解(即解不唯一) (15 分)27. 解:(3 分)(6 分)到此, ,导出组基础

12、解系含 52=3 个基础解向()35rAn量导出组有 2 个自由未知量由最后的矩阵看取 为自由未知量 (8 分)23,x写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端(等号右端自由未知量以 表示)得:第 17 页 共 25 页1123xk203xk41(12 分)52x即 (15 分)01221035421kx28. 解: (3 分)(5 分)时 方程组有解(无穷多解) 。 (7 分)(10 分)得一般解:补齐 第 18 页 共 25 页用解向量形式表出为: (15 分)29. 解(第 1 行乘-2,-5 分别加到第 2,3 行) (1 分)07553122A(第 2 行乘-6 加到第 3 行) (

13、2 分)9251(第 2 行与第 3 行交换) (3 分)703(第 2 行乘 3 加到第 3 行) (4 分)13521(第 3 行乘 ) (5 分)40741(第 3 行乘 17 加到第 2 行) (6 分)1521(第 2 行乘-2 加到第 1 行) (7 分)0第 19 页 共 25 页(第 3 行乘 5 加到第 1 行) (8 分)10251(9 分)因为 , ,且左上角化成了三阶单位方阵,所以基础解系中3)(AR134rn应含有一个解向量 (10 分)与原方程同解的方程组有(12 分)0023412xx即 (15 分)432x30. 解 对增广矩阵进行初等行变换 有(3 分)105

14、1082 1532rB与所给方程组同解的方程为(6 分)13248 x当 x30 时 得所给方程组的一个解 (8 13 0 2)T (9 分)与对应的齐次方程组同解的方程为(12 分)1324 0x当 x31 时 得对应的齐次方程组的基础解系 (1 1 1 0)T (15 分)31. 解(2 分)第 20 页 共 25 页(4 分)(6 分)(8 分)对应的特征向量 , , (10 分)标准化, , (12 分) 正交变换阵为C TAC(15 分)第 21 页 共 25 页32. 解 (1) A 的特征值是 (2 分)得 A 的正交相似的对角阵 (4 分)(2)对于 ,由 得基础解系(6 分)

15、对于 ,由得基础解系(8 分)对于 ,由 得基础解系 第 22 页 共 25 页(10 分)(3)由于 属于 A 的 3 个不同特征值 的特征向量,它们必正交将其标准化,得 (12 分)(4)写出正交变换阵(14 分)(5)有 6203112106162331AP(15 分)3033. 解 二次型的矩阵为 由20A第 23 页 共 25 页2032()5(1)AE得 A 的特征值为 12 25 31 (3 分)当 12 时, 解方程( A2E)x0 由0122得特征向量(1 0 0) T 取 p1(1 0 0)T(6 分)当 25 时 解方程( A5E)x0 由3102得特征向量(0 1 1)

16、 T 取 (9 分)21(0, )Tp当 31 时 解方程( AE)x0 由102得特征向量(0 1 1) T 取 (12 分)3(0, , )Tp于是有正交矩阵 T(p1 p2 p3)和正交变换 xTy 使f2y125y22y32(15 分)34. 解 二次型矩阵为 由011A(3 分)20()(1)011E得 A 的特征值为 11 23 341 第 24 页 共 25 页当 11 时 可得单位特征向量 (6 分)11(, ,)22Tp当 23 时 可得单位特征向量 (9 分), , 当 341 时 可得线性无关的单位特征向量 (12 分)1(, 0,)2Tp41(0, , )2Tp于是有正

17、交矩阵 T( p1 p2 p3 p4)和正交变换 xTy 使fy123y22y32y42(15 分)35. 解:将所给矩阵记为 A 由(1)(4)(2)02E得矩阵 A 的特征值为 12 21 34 (3 分)对于 12 解方程( A2E)x0 即1230x得特征向量(1 2 2) T 单位化得 (6 分)1(, )Tp对于 21, 解方程( AE)x0 即 12302x得特征向量(2 1 2) T 单位化得 (9 分)2(, )Tp对于 34, 解方程( A4E)x0 即12304x得特征向量(2 2 1) T 单位化得 (12 分)3(, )Tp于是有正交阵 P(p1 p2 p3) 使 P1APdiag(2 1 4) (15 分)第 25 页 共 25 页五、计算题 5(略)

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