1、1第七章 常微分方程一变量可分离方程及其推广1变量可分离的方程（1）方程形式： 通解0yQxPdy CdxPy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式： 021 dyNxMyx通解 CdNM1221 ,122变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 xyfd令 ， 则 uxyufu cxduf |ln二一阶线性方程及其推广1一阶线性齐次方程它也是变量可分离方程，通解 ， （ 为任意常0yxPd dxPCeyc数）2一阶线性非齐次方程用常数变易法可求出通解公式xQyx令 代入方程求出 则得dPeCxCxyxx3伯努利方程1,0yxQPdxy令
2、 把原方程化为 再按照一阶线性1z xQzxPdz1非齐次方程求解。4方程： 可化为 以 为自变量，xyQdxy1yy为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。x三、可降阶的高阶微分方程方程类型 解法及解的表达式xfyn通解 nnnnn CxxCdxfy 121次yxf,令 ，则 ，原方程p一阶方程，设其解为 ，xf,1,xgp即 ，则原方程的通解为 。1Cg 2Cdyyf,令 ，把 看作 的函数，则pyy ypx把 ， 的表达式代入原方程，得 一阶方程， yfpd,1设其解为 即 ，则原方程的通解为,1Cygp1,ygx。21,Cd2四线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性
3、质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程 （1）0yxqpy二阶非齐次线性方程 （2）f1若 ， 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合xy2（ ， 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当C12（ 为常数） ，也即 与 线性无关时，则方程的通解xy21xy12为 212若 ， 为二阶非齐次线性方程的两个特解，则 为xy xy21对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3若 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 为对应的二阶齐次线xy性方程的任意特解，则 为此二阶非齐次线性方程的一个特解。xy4若 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 为对应的y xyC21二阶齐次线性
4、方程的通解（ ， 为独立的任意常数）则1C2是此二阶非齐次线性方程的通解。xyxy215设 与 分别是 与2 xfyqp1的特解，则 是xfyqxpy2 21的特解。xffyxqpy21五二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1二阶常系数齐次线性方程其中 ， 为常数， 特征方程0yp02qp特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根 ， 则方程的通解为12 xxeCy21（2）特征方程有二重根 则方程的通解为21121（3）特征方程有共轭复根 ， 则方程的通解为i xxeyx sin co22 阶常系数齐次线性方程n其中 为常数。 0121 pypy nnnn i,
5、1相应的特征方程 121nnnn特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有 个不同的实根 则方程通解 n, 21xnxxeCeCy21（2）若 为特征方程的 重实根 则方程通解中含有 y=0kxkex0121（3）若 为特征方程的 重共轭复根 ，则方程通解中含有ink2 xDxxCxe kkx sin cos11121 由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是3三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。六、二阶常系数非齐次线性方程方程： 其中 为常数xfqyp qp,通解： C21
6、其中 为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。xyC21所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解 如何求？y1 其中 为 次多项式， 为实常数，xnePxfn（1）若 不是特征根，则令 xeRy（2）若 是特征方程单根，则令 n（3）若 是特征方程的重根，则令xey22 或 xePxfxnsiPfn cos其中 为 次多项式， 皆为实常数n,（1）若 不是特征根，则令ixTxReynnx si cs（2）若 是特征根，则令 o例题：一、齐次方程1.求 的通解dxyxy2解： 10)(222 xydxyxy令 1,2uxux则 0)(duu， ，11Cd1|lnCxyuCceex
7、,12. 0yxeyyx解： ，令 .(将 y 看成自变量)yxyxed1ux, 所以 uyx uedy1(uueed1, , yeu1ydu)( yceu1lnln, , .cyuyxuecyx二、一阶线形微分方程1. .1)0(,)(dyxy4解：可得 . 这是以 y 为自变量的一阶线性方程解得 0)1(xyd. lnc, . 所以得解 .)(x yxln2.求微分方程 的通解4ydx解：变形得： ，是一阶线性方程31yxd即3)(,1)(yQyP Cydeyy 4131 3三、伯努力方程 63x解： ， ，356yx 256xyd令 , ， . ,5u6u2 25xu解得 ， 于是 )2
8、(xc 35cxy四、可降阶的高价微分方程1.求 的通解 )1ln()1(y解：令 ,原方程化为p则, )1ln()(xpx属于一阶线性方程1)l(xp 111)ln(Cdxexepdx)l()l( 112lndxxy 21)ln(Cx2. )0(,)()(22y，解：令 ，得到 dppy， 则 ypd2令 , 得到 为关于 y 的一阶线性方程. u2u，解得 1)0(0| 22ypx yceu1所以 , .2)0()(|1ceuy 0于是 , y1p, , dx112cx21cxy, 得到 , 得解 )0(y1c五、二阶常系数齐次线形微分方程1. 02)4()5( yy解：特征方程 1234
9、55，0)1(2ii5,43,21于是得解 xcxcecyx os)(sn)(2. ，65)4( 14)0(,6(,0, yy解：特征方程 , 10242)31(2, , 132i4,得通解为 )snco(431 xeceyxx 由 1)0,6),0)(,)0( y得到 , , , 21cc34c得特解 )sin(o1xeeyxx六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求 的通解 x23解：先求齐次方程的通解，特征方程为 ，特征根为032。1,21因此齐次方程通解为 xxeCY231设非齐次方程的特解为 为特征根，因此设 ,由 于y xAey代入原方程可得 ，故原方程的通解为2AxCe21312
10、.求方程 的通解 xycos解：特征方程为 ，特征根为 ，021,21因此齐次方程的通解为 xxeCY21设非齐次方程的特解为 ,由于题目中 不是特征根，y i,因此设 ，代入原方程可得xBAysin2co xBA2cossin)42()42( ，606解联立方程得 ，因此1,3yin103_故原方程的通解为 xeCyxx 2sco23. xycos2sin3解：特征根为 ，齐次方程的通解为： xcysin21，xy cxc ,02121，sin3xcxey ossisino210待入原式得出： ，所以,21cy，xycos2 xcxceyx )sin(si2121 待入原式得出： ，所以,0
11、21cyn故原方程的通解为 xxxy siisio2七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程 的通解232)1()(yd6解：令 原方程化为,tan,tvxuy uvdu32secsec)tan(化简为 再令 1)sin(d方 程 化 为则 ,1,dvzz，zvzi,sin)(sincvzcd，cv2sin1zz2osi最后 Z 再返回 x,y,v 也返回 x,即可。zzeta2. 0)()i()( yxyx，解：设 1dxuxucxddxu lncotslnsi0sin ，因为xycio1otc 20,2y所以 yx2sin13. 212sin xey解：令 . 得到uy,si则, 为一阶线
12、性方程2121xex 212 xeux解得 . 即 .|)|ln(12cux |)1|ln(sin21xcy4. 0ossiln yxy解：令 , 则 . 原方程化为uycosysin0)1(ln xuxu, 为贝奴利方程， .xln2 ll2令 , 则 . 方程化为 , 为一阶线性方程. uz12 xzxn1解得 . 即 , .xcln)(cylnos1ylcos)(八、综合题1.设 f（x）x ，其中 f（x）连续，求 f（x）sixdtf0)(解：由表达式可知 f（x）是可导的，两边对 x 求导，则得 tff 0inco再对两边关于 x 求导，得 )(cos2sinxf即 属于常系数二阶
13、非齐次线性方程.xff co2si对应齐次方程通解 ，Cysi1非齐次方程特解设 代入方程求出系数xDxBAxsinco_ A,B,C,D 则得 ，故 f（x）的一般表达式ysin432Cxxf icicos41)( 212由条件和导数表达式可知 f（ 0）0， 可确定出 因此0f 0,21Cxxf sin3c)(22.已知 ， ， 是某二阶线性非齐xey1 xey2 xxey23次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.7解：由线性微分方程的解的结构定理可得， ，xey31 xey21xeyy2131对应的齐次方程的解，由解 与 的形式，可得齐次方程为 .0y设该方程为 ，代入 ，得
14、.)(2xfy xey21xef21所以，该方程为 ， 其通解为 .exC213.设 内满足以下条件在，其 中 )(),()( xgfxgfxF),xegff (0, 且（1）求 所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出 的表达式)(x )F解： )(2(2()()()2 xFexfxfxgfgfF 可知 所满足的一阶微分方程为)(x xeF4（2） xxxxd cedecdee 22224 将 于是10)()0(gfF代 入 ， 可 知 F)(4.设函数 在 内具有二阶导数，且 是xy, yxy,0的反函数（1）试将 所满足的微分方程yyx变换为 满足的微分方程；（2）求变换后的0sin32dy
15、xdx 微分方程满足初始条件 ， 的解。3y解：（1）由反函数导数公式知 即 ，两端关于 x 求导ydx11dx得 ，所以 。02ydx322yyx代入原微分方程得 （*）sin（2）方程（*）所对应的齐次方程 的通解为0yxxeCY21设方程（*）的特解为 A + B ，_xcosin代入方程（*）求得 A0，B ，故 ，21_y2xsi从而 的通解是 . xysin eCxxn1)(1由 ，得 ，23,)0( ,21故所初值问题的解为 .xexyxsin)(5.设 是以 2 为周期的连续函数，(x) 0)(2,(0),() （1） 求微分方程 的通解（2）以上这些解中，有没有cosxesi
16、ndx以 2 为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。解：（1）先解对应的齐次方程： xecoscosxy0sindy带入上式excdxyecy oosos ，因为x dx ()xxceycc osos8（2）若有以 为周期的解，满足：02xfxfcecxeff xoscos 22关键是看 是否为周期函数： dx0， 不是周期函数，所以没有 为周期的020 dxx2解。6.已知曲线 yf(x)（x0）是微分方程 2y/+y/-y=(4-6x)e-x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0，试求：（1）曲线 yf(x)到 x 轴的最大距离。 （2）计算 0)(dxf解： 1,
17、22321 12 xey齐次方程通解为： ，根据已知条件特解为：xc21 xebaY特解代入原式得： ，所以 ，,0baxeY2所以通解为： ，由已知得：xxxecy221 0,0ff所以 ，所以21c求 到 轴的最大距离，即求 的最大值。xfyy，当 时， ，2e 0y2,x24,0efflimli22xxxef所以 到 轴的最大距离为 。xfy24ef（2） 20)( 02020 xdxde九、微分方程的几何和物理应用1.设函数 二阶可导，且 过曲线 上任意一)(xy ,1)(,)(yf )(y点 作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面),Pxx积记为 区间 上以
18、为曲边的曲边梯形面积记为 ，并设1S,0)(y2S恒为 1，求此曲线 的方程。2x解： 在点 的切线方程为：)(xy),(yPxXyxY它与 轴的交点为 ，由于 ，因此0, 10,y0于是有 ，又因为 ，xyS221 dtySx02 121S，两边求导并化简得：02dtyx 2解上述微分方程：设 ，则上述方程化为ypydpdyp2，即 ，yCp1211Cxedx根据 。所以曲线方程为：0,0, 2 xey2.设曲线 的极坐标方程为 ， 为 任一点， 为 上一L)(r),rML)0,2(L9定点，若极径 ， 与曲线 所围成的曲边扇形面积值等于 上 两0OMLL0M点间弧长值的一半，求曲线 的方程
19、。解：因为 drdxys221drs201由已知可得： ，两边对 求导可得：r0022r，即 ，设 ，dr 122 trsec6acsin1arcsin2 CCrd 2366sinyx3.有一在原点处与 x 轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。设曲线在原点与 P 点之间的弧长为 S1，曲线在 P 点处的切线在 P 点与切线跟 y 轴的交点之间的长度为 S2，且 = ，求该曲线的方程。23x)(解：设曲线方程为 ，xfydy021曲线在 P 点的切线方程为： xXY因此与 轴的交点为： ，因此yxy, 22yS因为 = ，所以213Sx)(xx02131两边求导得出： ，
20、解方程得出：yy2 32y4.设函数 在 上连续，若曲线 ，直线 ， 与xf,1xfy1tx轴围成平面图形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ，试32ftV求所满足的微分方程，并求 的解.xfy92xy解：由题意可知 t ftdftV12213则 ，两边对 t 求导， tdxf1223 tftft22，得 ， yftt, xyx22 xyd3令 ， ，当duuxy, 1u时1,0u两边积分后得 ，方程通解为du3131cx，再由 ，可得ycx392x31xy5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 的雪堆开始融0K
21、 0r化的 3 小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化需要多少小时。87解：设雪堆在时刻 的体积 ，表面积为 。t32rV2rS由已知可得 ， Ksdtdd2，于是 ，由22rrCKtrtr0r10，又因为 ， ，Ktr00813V30302812rKr061r，雪球全部融化时， ，即雪球全部融化需要 6 小时。616t6.有一房间容积为 100 ，开始时房间空气中含有二氧化碳 0.12%，为了改善房3m间的空气质量，用一台风量为 10 /分的排风扇通入含 0.04%的二氧化碳的新鲜3空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出 10 分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？解：设 时刻二
22、氧化碳的浓度为 ，在时间间隔 ，浓度改变t xdt,dxdtdt 1004.10%4.10 ，两边积分可得：4. tx104410ln tCexCt 因为 44182, xt所以 %07.,01xtet7.有一容积为 500 的水池，原有 100 的清水，现在每分钟放进 2 浓度为3m3m3m50%的某溶液，同时每分钟放出 1 溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。解：设 时刻溶液中溶质的量为 ，在时间间隔 ，质量改变t xdt,dx，这是一阶线性微分方程1010%52 tdttx先解对应的齐次方程： ，再解非齐次方程tctcx0cttxcttc102102因为 ，当水池充满时，txt,分钟，溶
23、液浓度为40510t %4810x8.某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不6V含污染物 A 的污水量为 ，流出湖泊的水量为 ，已知 1999 年底中湖中 A 的含63量为 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000 年初起，限制排入湖泊中05m含 A 污水的浓度不超过 ，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量才V0可降至 以内。 （设湖水中 A 的浓度是均匀的） 。0解：设从 2000 年初（令此时， ）开始，第 年湖泊中污染物 A 的总量为0tt，浓度为 ，则在时间间隔 上，排入湖泊中 A 的量近似为tVmd,， ，排出量为： ，则在时间间隔
24、 上，drt600 tmV3 dt,的改变量为： ，分离变量解方程：t dtm0 302tCe代入初始条件 ， ，于是05029C3291tm令 ， ，即至多需要经过 年，湖泊中污染物 A 的含量才03ln6t 3ln6t11可以降至 以内。0m9.已知某车间的容积为 ，其中的空气含 的二氧化碳，现以6303m%12.0含二氧化碳 的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在 分钟后使%4. 3车间空气中二氧化碳的含量不超过 ， （假定输入的新鲜空气与原有空气很.快混合均匀，且以相同流量排出） 。解：设每分钟应输入 ， 时刻浓度为 ，在时间间隔 ，浓度改变3atxdt,dxaxddxa 5401
25、046004. Ctataxdtx ln51451，因为dtaCe504 44108102, Ct，当tx481 32563max10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线 绕 y)(y轴旋转而成的旋转曲面（如图） ，容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求，当以 的速率向容器内注入液体时，min/3液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）.i/2(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 之间的关系式；)(y(2) 求曲线 的方程.)(yx解： 液面的面积将以 的速率均匀扩大，因此 t 时刻液面面积应为：min/2，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出 t 与 之间的关t2 )(y系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知 t 时刻的液体体积为 3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.(1) 设在 t 时刻，液面的高度为 y，则由题设知此时液面的面积为, 从而 ty4)(2 .4)(2y(2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 .12)(3)(02ytdu上式两边对 y 求导，得 ，即 6)(2y6解此微分方程，得 ，其中 C 为任意常数，ye由 知 C=2，故所求曲线方程为：2)0(.26yex
