1、毕节学院本科毕业论文（设计）第 1 页 共 12 页一组等价基的证明及在 n阶线性微分方程中的应用摘 要首先，通过解一类特殊的常微分方程，归纳猜想出该类微分方程的一般解，再给予证明。在证明过程中，我们揭示了该类微分方程与一般解是通过一对等价的向量组相关联的。关键词：线性相关；线性无关；极大线性无组；向量组等价姓名：李锦华 题目：一组等价基的证明及在 n 阶线性微分方程中的应用第 2 页 共 12 页A GROUP OF EQUIVALENT OF PROOF AND YANKEES IN N ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION OF APPLICATIONAB
2、STRACTFirst of all, by solving a special kind of ordinary differential equations ，Induction and guess out such a general solution of the differential equation and to prove . In the proof process , We reveal the general solution of differential equation and this is through a pair of equivalent vector
3、 group associated .Keywords： Linear correlation; Linearly independent; Maximal linear no group ; Vector group equivalent 毕节学院本科毕业论文（设计）第 3 页 共 12 页目 录摘 要 .1ABSTRACT .21 引 入 42 说明 .42.1 N 阶微分方程 42.2 线性相关 .62.3 线性无关 .72.4 向量组等价 .93 证明推测 114 应用 11小 结 13参考文献 13致 谢 13姓名：李锦华 题目：一组等价基的证明及在 n 阶线性微分方程中的应用第 4
4、 页 共 12 页1 引 入解下列常微分方程： 1 dyx一般解为：；xye 2 540dyxx通解为： 412xxyce012.0ndydyaaaxx通解为：这里 是任意常数。12,c由上两个实例我们是否可以推测出下列方程和通解为： 312 nbxbxbxbxyaeaeaeae2 说 明毕节学院本科毕业论文（设计）第 5 页 共 12 页2.1 n阶微分方程： 111(,.)0,.(,.)().()()(),.(),n nnnnnnndy dyFxxxddyydyaxaxaxyfxdf如 果 方 程 的 左 端 为 及 的 一 次 有 理 数 式 ,则 称 为 阶 线 性 微 分 方 程 .
5、一 般 阶 线 性 微 分 方 程 具 有 形 式 :这 里 是 的 已 知 函 数1201(),.(),()0,.n naxaxfxdyydyy axxx如 果 为 常 数则 得 到 这 样 一 个 特 殊 的 阶 线 性 微 分 方 程 ,。012,.naa为 常 数习惯上我们令: 3 (3) ()2,nndydydydyxxxx2.2 线性相关中向量组 （ 1）称为线性相关，如果有nK123naa中不全为零的数 使得,nk.120nk2.3 线性无关如果从姓名：李锦华 题目：一组等价基的证明及在 n 阶线性微分方程中的应用第 6 页 共 12 页120nkak可以推出所有系数 全为 0，
6、则称向量组12,n是线性无关的.123na2.4 向量组等价如果向量组 的每一个向量都可以由向量组123naa线性表出，则称12,(,)r可以由 线性表出。如3na 12,(,)r果 与向量组 互12a 2,)r相线性表出，则称向量组 与123naa等价，记作：12,()r3naa 12,(,)r3 证 明 推 测由于的201.0ndydyaaaxx通解为：知：312 nbxbxbxbxyaeeaeae与等价 (3)()nyy 312 nbxbxe要证明 的通解为：201.0nddyaaaxx毕节学院本科毕业论文（设计）第 7 页 共 12 页312 nbxbxbxbxyaeeaeae只要证明
7、 与 ()()nyy等价即可。312 nbxbxbxbxeee下面进行证明：已知一组基 = ， M， ，则存M 312 nbxbxbxxeee y在一级数 ，使得：123naa312 nbxbxbxbxyeeeae且有： 312 2 nbx bxbxbx nyaeaeaeae31 2 2 2 21 3 nx xxx 312(3)33 32 nb bbb nyeeee 31 2()123 nbx bxbxbxnnnnnyaeaeaeae可由 线(3)()yy 312 nbx性表出证明以下三项：1、 是线性无关; (3)()nyyy2、 是极大无关组;()()3、 与 (3)()nyyy等价。 3
8、12 nbxbxbxbxeee1、设存在一组数 ， 使123nkk即： ()1 0nkyy姓名：李锦华 题目：一组等价基的证明及在 n 阶线性微分方程中的应用第 8 页 共 12 页12342312312131 1232 2 213233 3( )( ). bxnnnnnbxnnbxnykabkabkabkaeekabkabkabka 2312312 ( )nbxnnnnn eaa 因为 线性无关，所以有： 312 nbxbxbxbxeee2311112 222312 00nnnnnkakkakabbbbkakakaka 令： ， 122333123nnnnbbBbb12300nAa， 23n
9、kKk所以有： ,0AB因为 范德蒙行列式， 两两不相等，| 123,nbbb毕节学院本科毕业论文（设计）第 9 页 共 12 页所以 = ， = ， B 1()0nmijjinbbA10niia都为可逆矩阵,K=0，K 只有零解。,A所以 线性无关。 (3)()nyyy因为 可由()()线性表出 312 nbxbxbxbxeee所以 dim dim()()yy 312 nbxbxbxxeee所以 dim = (3)()nyyy所以 是一组极大线性无关组。()()3、下面证明 与 (3)()nyyy等价。312 nbxbxbxbxeee设存在一组数 使：123nkkk, ()1 nykyy则：
10、1234231231311231222333 3( )( ) bxnnnnnbxnnbxnykabkabkabkaekabkabkabkae 23123( )nbxnnnn由于 ，所以：1 nbxbxbxbxyaeaeae姓名：李锦华 题目：一组等价基的证明及在 n 阶线性微分方程中的应用第 10 页 共 12 页2311112 222312 00nnnnnnkabkkabkabkabkabkabkab 令 ，所以 ， ，2naABK1BA所以 有唯一解。K,所以任意的 ()1nykkyy ,可由 32 nbxbxbxxeee所以()()yyy与 等 312 nbxbxbxxeee (3)()
11、nyyy价4 应 用关于 与 (3)()nyy等价的应用可应用于解下形式的312 nbxbxbxbxeee微分方程：对于下面形式的常微分方程： ，由上述证 ()11nykyky明过程知它的一般解为：其中：312 nbxbxbxbxyaeaeae毕节学院本科毕业论文（设计）第 11 页 共 12 页,123nkk12na,12323 3123nnnnbbBbb 123000naAa, 已知。KAB小 结本文通过解常微分方程导出了，经过我们严格的证明确是一对等价的向量组，进而应用向量组等价这一关系来解常微分方程，充分体现了线性代数做为 解常微分方程的一种工具，可以直观的了解到一般解的结构。本文化拓宽了解常微分方程的视野，证明过程更是充分体现了数学的完美。参考文献1 陈传璋,金福临等.数学分析M，北京：高等教育出版社,1983.2 王高雄,周之铭等.常微分方程M，北京：高等教育出版社,2006.3 尤秉礼.常微分方程补充教程M，北京:人民教育出版社,1982.4丘维声.高等代数（第二版）M.北京：高等教育出版社,2003.致 谢在此，非常感谢邓泽譆老师对本文的严格审核，细心指出其中的错误，并给予了大量的宝贵意见，使逻辑性很差的本文变得通畅易懂。姓名：李锦华 题目：一组等价基的证明及在 n 阶线性微分方程中的应用第 12 页 共 12 页
