1、1线性代数复习指导加强计算能力训练 注重综合思维能力培养谈考研线性代数复习考研数学名师黄先开众所周知，教育部考试中心研究生入学考试命题的基本原则是：严格按照考试大纲规定的考试内容与考试要求命题，试题以考查基本概念、基本原理和基本方法为主，要加强对考生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力和综合应用所学知识解决实际问题能力的考查. 根据这一命题原则并结合线性代数这门学科的特点，我认为考生在备考阶段的复习，一方面要重视“三基” ，通过全面系统的复习，扎扎实实把基础打好；另一方面要注重能力的培养，特别是计算能力和综合思维能力的培养.基础的重要性是不言而喻的，没有基础，其他方面都无从谈起，但较好地把握
2、了基础后，想要进一步有所提高，就必须注重能力的训练了.线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造
3、成不应有的丢分. 例 1 (2003 年数学三)已知齐次线性方程组 123123() 0,(),()0.nnabxaxaxxabx 其中 试讨论 满足何种关系时,10.nia,nb 和(1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.分析 本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度. 解 方程组的系数行列式2123123| nnababaaA231231231ni nini nni na
4、baabba 23123() nni naabaab100()nibab 1().niab(1)当 ；100|.,niba且 时 ,方 程 组 仅 有 零 解A(2)当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 120.nxax由 可知 ai(i=1,2,n)不全为零，不妨设 .因为秩 r(A)=1，取10ni1为自由未知量，可得方程组基础解系为23,nx，T121(,0,)aT231(,0,)aT11(,0,).nna当 ,系数矩阵可化为11nniibb时 ,由 知31230nababbA12301ni naa10100由于秩 r(A)=n 1，易知 Ax=0 的基础解系为T(1,).评注 1 本
5、题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为 212nnaab 而 r(B)=1,可方便地求出 B 的特征值为 0,0,0 ，于是 的特征值为1niabABE1211,nnnibb从而根据特征值可求出行列式为 1|().nibabAAB+E评注 2 当 时，注意到系数矩阵 A 的秩为 r(A)=n-1,而1ni显然为 AX=0 的一个解，即可作为基础解系.T(1,)例 2 （2003 年数学一）设矩阵 1*3201,PBPA的特征值与特征向量,其中 A*为 A 的伴随矩阵,E 为 3 阶单位矩阵.求 BE分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求 A*及 ，然后计算 B=P-1A*P 及1B+
6、2E，最后求 B+2E 的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果.4解 由 又由 可得*3252,可 得AA01P10,P于是 1*7254,BPA90274.5BE根据 90|(2)|7425E+2(9)3,可知 B+2E 的特征值为 1239,.解 9E-（B +2E） x =0,得基础解系为 因此属于 的121,0129所有特征向量为 是不全为零的任意常数.1212,0kk解3E （B+2 E） x =0,得基础解系为 3301.因 此 属 于 的 所 有 特 征 向a=为非零的任意常数.301,k量 为评注 本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义 A = ,
7、有*|进 而 有A,11*11*1()()(|BPAPP1122.|+E若求出 A 的特征值 及对应特征向量 , 则 B+2E 的特征值为 及对应特征向量|2A5P-1 这样就不必求 A*. 且根据 的特征值为 0,0,6，从而22,知EA 的特征值为 1,1,7.二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的.例如有关 A*的公式结论有： AA*= A*A=|A|E，由此还可推出一系列相关的公式：1(1)|(2),n2()(3),n*1*(2).nkA(2)若 A 可逆，则 A *=| A | A -1, (A
8、*)-1 1.|(3) *,(),()1(2).0,.nrrn(4) T*T1*1()()AA(5) 若 A 可逆，且 为 A 的特征值，则 A*有一个特征值为 .|A例 3 （2000 年数学一）设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA-1=BA-*10381+3E，其中 E 是 4 阶单位矩阵，求矩阵 B.分析 本题相当于解矩阵方程.若先从 A*求出 A-1 及 A，再代入已知关系式求 B，则计算量会相当大.考虑到题设与 A*有关，若先用 A*A=AA*=|A|E 化简，则方便得多.解 由 ABA-1=BA-1+3E 先右乘 A，得 AB=B+3A,再左乘 A*，并利用 A*A=|A|E，得
9、A*AB=A*B+3A*A,即 |A|B= A *B+3| A |E. 再由|A *|=|A|4-1=|A|3,得 |A|3=8,即 |A|=2.于是有 2B=A*B+6E, (2E-A*)B=6E. 故1106()636* 0.631评注 题设与 A*有关时，一般均可考虑利用 AA*=A*A=|A|E 及其相关公式，结论先化简、再计算.6例 4 （2003 年数学四）设矩阵 可逆，向量 是矩阵 A*的一个21aA1b特征向量， 是 a 对应的特征值，其中 A*是 A 的伴随矩阵，试求 的值. ,a和分析 题设与 A*有关，先用 A A *= A * A =|A|E 化简.解 已知 A * =
10、 ，利用 A A *=|A|E，有 | A |= ，因为 A 可逆，知 即|0,于 是 有 ,211|,ba解此方程组得 a=2, b=1 或 2.又 ，由式可知：当 b=1 时 =1; 当 b= 2 时 =4.21| 4A又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设 1， 2， n 为 n 阶方阵 A 的 n 个特征值，则 f(1),f(n)为 f(A)的 n 个特征值，其中 f(A)为 A 的多项式. 且1212,nnaa 12|.n(2) 若 r(A)=1，则 A 的特征值为 1= 2= n-1=0, n=a11+a22+ann.(3) 若 A B，则|A |=| B|，r(A
11、)=r(B)，特征多项式相同：|E- A |=|E-B|, ，从而特征值相同，进而有 a11+a22+ann=b11+b22+bnn.例 5 （2000 年数学三）若 4 阶方阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 ，则1,2345行列式| B-1-E|= .分析 利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可.解 由 AB，知 B 的特征值是 ，于是 B-1 的特征值是 2,3,4,5,从而 B-1-E 的1,2345特征值是 1，2，3，4，故行列式 |B-1-E|=1234=24.例 6 （2001 年数学一、三）设401,A则 A 与 B(A) 合同且相似 . (B
12、) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.分析 本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同.又 r(A)=1，其特征值为 显然 A、B 为实对称矩阵，且 AB，于是 A 与 B 也合同.故应选1234,0.7（A）.评注 当 A、B 为实对称矩阵时，若 AB，则 A、B 有相同的特征值 xTAx 与 xTBx有相同的正负惯性指数 A 与 B 合同.但若 A、B 为非对称矩阵，则 A 与 B 不合同（合同矩阵必为对称矩阵）.例 7（2007 年数学一至四） 设矩阵 , ,则 A 与 B2101(A)合同 , 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但
13、相似. (D) 既不合同, 又不相似. 解 由 得 A 的特征值为 0, 3, 3, 而 B 的特征值为 0, 1, 1，从而 A 与 B 不相似. 0|E又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数 , 因此 A 与 B 合同. 故选(A) .评注 1)若 A 与 B 相似, 则| A |=| B |；r(A)= r( B)；tr(A)= tr(B); A 与 B 有相同的特征值.2)若 A、B 为实对称矩阵, 则 A 与 B 合同 r( A)= r(B), 且 A、B 有相同的正惯性指数. 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知
14、识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如：行列式|A|=0 矩阵 A 不可逆秩 r(A)s 时，向量组 II 必线性相关.8(C) 当 rs 时，向量组 I 必线性相关.分析 本题可由定理“若 1, 2, s 可由 1, 2, t 线性表出，且 st，则 1, 2, s 线性相关” ，直接得正确选项(D).若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项.也可根据上述结论用秩来判定：由题设，存在 sr 矩阵 P，使(1, 2, r)=( 1, 2, s)Psr,则 r(1, 2, r)=r( 1, s)Pr( 1, s)s.当 rs 时，有 r(1, 2,
15、 r)sr ，此时 1, 2, r 必线性相关.例 9 （2002 年数学一、二）已知 4 阶方阵 A=1, 2, 3, 4), 1, 2, 3, 4 均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4 线性无关， 1=22-3，如果 =1+2+3+4,求线性方程组 Ax= 的通解.分析 本题可将 A=(1, 2, 3, 4),=1+2+3+4 及 x= 代入 Ax=，找出具体的方1234程，再按通常方法求解.也可由 =1+2+3+4 即 可由 1, 2, 3, 4 线性表示，相当于已知 为 Ax= 的特1解，及 1-22+3+04=0 与 2, 3, 4 线性无关知 为 Ax=0 的基础解系.再根据解
16、的结12构理论知 Ax= 的通解为，k 为任意常数.1x20评注 Ax= 的解与 可由 A 的列向量组线性表示之间可相互转换 .例 10 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x, Ax, A2x 线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x.(1) 记 P=(x, Ax, A2x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1；(2) 计算行列式| A+E|.分析 A=PBP-1 AP=PB P-1AP=B.本题(1) 有多种方法求解：设法求出 A 的特征值、特征向量；将 B 的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等.但根据结论，由已知一组关系式：Ax= Ax,A2x=A2x,及 A3x=
17、3Ax-2A2x 合并起来有(Ax,A2x,A3x)=( A x,A2x,3 A x-2A2x), 9即 A(x, Ax, A2x)=(x, A x,A2x) , 也即 AP=P ，可方便地求得 B=0130132.0132至于行列式的计算可用特征值(A、B 有相同特征值)或相似矩阵计算即可(AB A+EB+E). 评注 从本题可见，矩阵运算 AB=C 与关系式 Abj=Cj 之间的转换可化为线性方程组的解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等.四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当
18、的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题. 例 11 设 A、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵 A=(aij)33 满足 aij=Aij (i,j=1,2,3),Aij 为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足|E +2B|=|E+3B|=0,计算行列式| A*B-A*+B-E|.分析 由 |A*B-A*+B-E|= |A*(B-E)+(B-E)|= |(A*+E)(B-E)|= |A*+E|B-E|， 知，
19、只需计算|A *+E|及|B-E|. 若能求出 A 或 B 的所有特征值，则问题即可解决.解 由 aij=Aij 知，A T=A*，于是 AAT=AA*=|A|E，从而|A |2=|AAT|=|A|E|=|A|3，即 |A|2(1-|A|)=0. 于是| A|=0 或 |A|=1.又 A 0，不妨设 a11 0,由 |A|=a11A11+a12A12+a13A13= , 知 |A|=1.21130a由 |E+2B|=|E+3B|=0, 知 为 B 的两个特征值.12,3因为 AB，所以 也为 A 的两个特征值. 设 为 A、B 的另一特征值，根12, 3据 1=|A|= ，得 .23636又
20、|A*B-A*+B-E|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E|B-E|=|AT+E|B-E|.因为 |AT+E|=|(A+E)T|=|A+E| =( +1)( +1) ( +1) = ,1231273 |B-E|=( -1)( -1) ( -1)= ,1234 50故 |A*B-A*+B-E|= .70 评注 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征值求行列式等多个知识点.例 12 设 A、B 为 mn 矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是10(A) A、 B 为等价矩阵. (B) ATx=0 与 BTx=0 同解.(C) A、B 的行向量组等
21、价. (D) A、B 的列向量组等价 .分析 可用反例通过排除法得到正确选项. 对于(A)，相当于 r(A)=r(B)，显然只是必要而非充分条件；对于(B)，例如 A= ，B= ，显然 Ax=0 与 Bx=0 同解，10 220 1但 ATx=0 与 BTx=0 并不同解，排除 (B)；对于(C)、(D)，考虑 A= ，B=10 ，显然 A、B 的列向量组等价，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，排除(D) ，故应选(C).1 评注 本题综合考查了矩阵等价、向量组等价与齐次方程组同解等多个知识点.对于(C)成立，也可这样证明：若 Ax=0 与 Bx=0 同解，考虑(I) Ax=0， (II)
22、， (III)Bx=0.0xB则易知(I) 、(II)、(III)同解，从而有 r(A)=r =r(B)，由此可推导出 A、B 的行向量组等价.反过来，若 A、B 的行向量组等价，令= ， B= ，12m12 m即列向量组 与 等价，于是存在矩阵 P、Q，使(TT12,T12,)= ( )P， ( )=( )Q，即 A=PTB, T12,m 12m T12,mTT12,mB=QTA.从而由 Ax=0 有 Bx=QTAx=0；反过来，由 Bx=0，有 Ax=PTBx=0，即 Ax=0 与 Bx=0 同解.例 13 设 A 为三阶矩阵， 是 A 的三个不同特征值，对应特征向量为123,，令 .12
23、3,123(1)证明 线性无关；(2)若 ，求秩 r(A-E)及行列式| A+2E|.A分析 证明一组向量线性无关一般用定义法，而求秩 r(A-E)及行列式|A +2E|，由于不知道 A 的具体形式，无法直接计算，可考虑先求出 A 的相似矩阵，再根据相似矩阵有相同11的秩及行列式求解即可.解 (1)设 ， 123kkA由题设 ，(,)i于是 ，123123，A代入整理得.22212311231233()()(+)kkk0因为 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有,2123121230,.k其系数行列式 ，必有 ，故 线性无关.2301230kA(2)由 有A=2A= ，令 P=
24、，则 P 可逆，且 P-1AP= =B.A01即 AB，于是 A-EB-E，A+2EB +2E.从而有r(A-E)=r(B-E)=r =2, |A+2E|=|B+2E|= =6.10201评注 本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵的性质等多个重要知识点.例 14 设随机变量 X 的概率密度为121cos, 0()2xf其 他 ，对 X 独立地重复观察 6 次，用 Y 表示观察值大于 的次数， 又已知 A= 具有重特征值.14235Y(1)求 A 可对角化的概率；(2)当 A 可对角化时，求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角形矩阵 .分析 Y 服从二项分布 B
25、(6，p)，其中 p=P ，而判定 A 可对角化，应先求X出 A 的特征值，再根据特征值 的重数 与其线性无关特征向量的个数相等：n-r( E-A)iik i= ，将可对角化问题转化为特征矩阵 E-A 的秩：r( E-A)=n- ，由此确定 Y 的取值及ik i iik其相应概率.解 (1)由于 P ，于是 YB .1cosd2xX16,2|435EAY04310(2)1(2)703Y2()810).Y若 为重根，则 22-82+10+Y=0，即 Y=2. 此时 A= ，| E-A|=(=12435-2)2( -6).特征值为 .123=6，因为 r(2E-A)=r =1，属于特征值 的线性无
26、关特征向量个数为12=3-r(2E-A)=2，表明 A 可对角化.13若 为非重根，则 有重根，则有=22-810=Y82-4(10+Y)=0，得 Y=6.此时 A 特征值为2164|(6)35， ，EA123=6.，因为 r(6E-A)=r ，表明 A 不可对角化 . 故 A 可对角化的概率为12=246115()C.6pPYA(2) 由(1)知，A= ，2435123,.解(2E-A)x= 0 得特征向量 解(6 E-A)x=0 得特征向量为12,0.1312.令 P= , 则有1231023120.6PA评注 本题综合性较强，不仅涉及到线性代数的多个知识点，还要求利用概率统计中的相关知识
27、.例 15 设 A 为三阶实对称矩阵，已知 |A|= 12，A 的三个特征值之和为 1.又是齐次线性方程组( A*-4E)x=0 的一个解向量，102(1)求 A；(2)求(A*+6E)x=0 的通解；(3)求正交变换矩阵 Q，化二次型 xTAx 为标准形.分析 (1)设法求出 A 的所有特征值、特征向量，即可确定 A；(2)( A*+6E)x=0 的基础解系，即为 A*的特征值 = 6 所对应的线性无关的特征向量，而 A*与 A 对应特征值的特征向量相同；(3) 先将相同特征值的特征向量正交化，然后再单位化，以此为列所构成的矩阵 Q 即为所求正交变换矩阵 .14解 由 为(A*-4E)x=0
28、 的解，知(A*-4E) =0，即 A* =4 ,于是 AA* =4A ,即 |A| =4A ,A = =-3 , 可见 为 A 的特征值，对应特征向量为3.3102-设 为 A 的另两个特征值，由题设 ， . 利用2, 12|1A及上两式可解是 .32设 的特征向量为 ，由 A 为实对称矩阵知：2 123xXXT =0，即 x1-2x3=0，解得 .021,由 ，知123123(,)(,)A1123123(,)(,)10432=06102=.(2) 由 ，知 ，即 ，也2,1iiA*iiA*62iii|A即(A*+6E) =0，i=1,2, 可见 即为(A*+6E)x=0 的基础解系，故 (A*+6E)x=0 的通解为2,，其中 为任意常数.12k12,k(3) 由于 已正交，故只需将 单位化，有123,10,|20,|5310.|52令15Q= = ，123,)1052则 Q 为正交矩阵，令 x=Qy，则二次型 f=xTAx 可化为标准形 .2213fyy评注 本题综合考查了线性方程组、实对称矩阵特征值与特征向量性质以及化二次型为标准形等多个重要知识点.
