1、1线性代数与空间解析几何小结线性代数部分小结()00,nTARnxxAAAI可 逆 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 无 关 的 特 征 值 全 不 为 只 有 零 解 ， 总 有 唯 一 解是 正 定 矩 阵 12,sipnBIABI 是 初 等 阵存 在 阶 矩 阵 使 得 或：全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间.注 nR()0ARnxA不 可 逆 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 相 关 是 的 特 征 值 有 非 零 解 ,其 基 础 解 系 即 为 关 于 0的 特 征 向 量注()0abIAnaIbAx 有 非 零 解=- 2 :具 有向 量 组 等 价矩 阵 等 价
2、()反 身 性 、 对 称 性 、 传 递 性矩 阵 相 似矩 阵 合 同 关于 ：12,ne称为 的标准正交基；: 线性无关；12,ne ； ；tr=I任意一个 维向量都可以用 线性表示.n12,ne行列式的定义 122112112, ;,2.nn nnaaDAaA行列式的性质：按行展开，零行为零，等行为零，拆项分和，初等变换（提取因子，换行变号，倍加不变） ，比例为零，转置相等. 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.3若 都是方阵（不必同阶
3、）,则 （拉普拉斯展开式）AB与 =(),mnAOABB1分 别 是 阶 ,n阶 方 阵 .上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线： （即：所有取自不同行不同列的 个元素的乘积的代数和）(1)21122 111 nnnnnnaOaaa n范德蒙德行列式： 122112nijjinnnxxx矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作： 或m121212nmmnaaA ijmnAa伴随矩阵 ， 为 中各个元素的代数余子式.1212*12nTijnnA ij 逆矩阵的求法:4 ： 1A注 1abdbcdca主 换 位副 变 号 1()()II 初 等 行 变
4、 换 1231213aaa 3211123 aaa 方阵的幂的性质： mnA()mnnA 设 的列向量为 , 的列向量为 ，,mnsB12,nB12,s则 ， 为 的解msAC112212 21, ,sn snnsbb iiA (,)is12iiAx可由 线性表示.即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.121212,s sA 12,s 12,nCAB同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵.CBTA即： 12112212nnmnmaa 121122212nmmnaa 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量； 左 行5用对角矩阵 乘一个
5、矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量.右 列 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵：TTABCD分块矩阵的逆矩阵： 11 11ABB1ACAOBB11OOC分块对角阵相乘： ,1122,12AB12nA分块对角阵的伴随矩阵： *ABA*()()mnmnB 矩阵方程的解法( )：设法化成 0XXA(I) 或 (I) 初 等 行 变 换(I的 解 法 ： 构 造TTBX)的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性
6、相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,则整体相关；整体无关,则部分无关. （向量个数变动）6 少维无关，则多维无关；多维相关,则少维相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,ni(1)n 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.（相关有一被表出）n1向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.（无关无一被表出）12,n i 维列向量组 线性相关 ；m,()RAn维列向量组 线性无关 .12n 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表
7、示法唯一.(无关加一变相关，后加唯一被表出)12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩， （三秩相等）.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为01，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，称为 行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；(行变不改列相关)矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. （列变不改行相关）即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩
8、阵的关系：7对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 ；A行 左 A对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 .列 右矩阵的秩 如果矩阵 存在不为零的 阶子式，且任意 阶子式均为零，则称矩阵 的秩为 .记作rr1r()RAr向量组的秩 向量组 的最大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 12,n 12(,n矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作：ABAB向量组等价 和 可以相互线性表示 . 记作：12,n12,n 1212,nn 矩阵 与 等价 ， 可逆 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.BPQ,(),RAB为 同 型 矩 阵矩阵
9、与 作为向量组等价A1212(, )nn1212(,)nnR矩阵 与 等价. 向量组 可由向量组 线性表示 有解 .12,s12,nAXB12(,)=n1212(,)nsR12(,)sR12(,)nR 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.（多被少表出，多的必相关）ssn12,s向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 .（无关被表出，个数不会多）12,s 12n 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价； s, 12(,)sR12(,)nR 任一向量组和它的最大无关组等价.向量组的任意两个最大无关组等价. 向量组的最大无关组不唯一，但最大无关组所含向量个数唯一确定. 若两
10、个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.8 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关；Amn()RAm若 ， 的列向量线性无关,即： 线性无关.n12,n 矩阵的秩的性质： 0()AR若 10()AR若 0()mnRAi(,)()()TTRARAp教 材 10,例 5 ()kk若 (),() 0mns BnBAx 若 若 的 列 向 量 全 部 是 的 解 ()RAi,R 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ()(BBA若 可 逆若 可 逆若 ；0()() 0mnxRRAABC 只 有 零 解 在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律若 ()()nsBB 在 矩 阵 乘 法 中 有 右 消
11、 去 律 . 等价标准型.()r rIOIRAr A若 与 等 价 ， 称 为 矩 阵 的 B()Rmax(),RB(,)()RAB9 ()AOARRBB ()ACRRBO1212 12, 0, (),Ann AnxnxAxRAAx 当 为 方 阵 时当 为 方 阵 时有 无 穷 多 解 表 示 法 不 唯 一线 性 相 关 有 非 零 解 可 由 线 性 表 示 有 解 有 唯 一 组 解 克 莱 姆 法 则表 示 法 唯 一 线12 (), 1(n xAxRA 性 无 关 只 有 零 解 不 可 由 线 性 表 示 无 解 ：注Ax有 无 穷 多 解 其 导 出 组 有 非 零 解有 唯 一 解 其 导 出 组 只 有 零 解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax 12nxx1211122212,nmmnnmaabAx 12,jjmj101212(,)nx 矩阵转置的性质： ()TA()TAB()TkATA()TTAB11()(TA()TTA矩阵可逆的性质： 1111111kk伴随矩阵的性质： 2()n()()nkn*()11()A()kk ()1()10 nRARAn若若若 ABnAkABA（无条件恒成立）E
