1、复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念： ， 是实数, zxiy. . Re,Imxy21注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模： ；2zxy2）幅角：在 时，矢量与 轴正向的0x夹角，记为 （多值函数） ；主值Argz是位于 中的幅角。arz(,3） 与 之间的关系如下：arctnyx当 ；0,xgz当 ；,arctn,0,gyyxz4）三角表示： ，其cosin中 ；注：中间一定是“+”号。argz5）指数表示： ，其中 。izeargz(二) 复数的运算1.加减法：若 ，则1122,zxiyzxiy122z2.乘除法：1）若 ，则122,zxiyzxiy；2 1121 1
2、212122xiyizi xyxyi。2）若 , 则1212,iizez； 1212i121ize3.乘幂与方根1、 若 ，则(cosin)izze。nni2、 若 ，则(csi)izze12on(0,12)nkkn（有 个相异的值）（三）复变函数1复变函数： ，在几何上可以wfz看作把 平面上的一个点集 变到 平面zDw上的一个点集 的映射.G2复初等函数1）指数函数： ，在cosinzxey平面处处可导，处处解析；且 。zze注： 是以 为周期的周期函数。 （注ze2i意与实函数不同）3） 对数函数： ln(arg2)Lzizk1（多值函数） ；(0,12)k主值： 。 （单值函lnarg
3、ziz数）的每一个主值分支 在除去原Lzlnz点及负实轴的 平面内处处解析，且；1lnz注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同）3）乘幂与幂函数： ；(0)bLnae(0)bLnze注：在除去原点及负实轴的 平面内处z处解析，且 。1bz4）三角函数： sincossin,cos,t,22ciiziizieezzgt在 平面内解析，且sin,coz,sinzz注：有界性 不再成立；i1,c（与实函数不同）4） 双曲函数 ；,22zzeeshch奇函数， 是偶函数。 在zz,szch平面内解析，且z。,shczshz（四）解析函数的概念1复变函数的导数1）点可导： =0fz；0limzf2）区
4、域可导： 在区域内点点可导。fz2解析函数的概念1）点解析： 在 及其 的邻域内fz00z可导，称 在 点解析；2）区域解析： 在区域内每一点解fz析，称 在区域内解析；f3）若 在 点不解析，称 为()00z的奇点；fz3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件：在 可,fzuxyivzxiy2导和 在 可微，且在,uxy,v,xy处满足 条件：CD,vvxyx此时， 有 。ufzi2函数解析的充要条件：在区域内解析,fzuxyiv和 在 在 内可微，, D且满足 条件：C；
5、,uvvxyx此时 。fzi注： 若 在区域 具有一阶,uxyvD连续偏导数，则 在区域,xyv内是可微的。因此在使用充要条件D证明时，只要能说明 具有一阶连,uv续偏导且满足 条件时，函数CR一定是可导或解析的。()fzuiv3函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以形式给出，如第,fzuxyiv二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数 是以 的形式给出，如第二fz章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：， 是光1limnkckfzdfzc滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2
6、复变函数积分的性质1） （ 与1ccfzdfzd1c的方向相反） ；2） ,c ccfzgzfzgzd是常数；3） 若曲线 由 与 连接而成，则c12。12cccfzdfzfzd3复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：；（cccfzduxvdyixudy常用于理论证明）32）参数方法：设曲线 ： c，其中 对应曲线 的()zttc起点， 对应曲线 的终点，则 c。()cfzdfztdt（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设 在单连fz域 内解析， 为 内任一闭曲线，BcB则 0cfzdA2复合闭路定理： 设 在多连域f内解析， 为 内任意一条简单闭D曲线， 是 内的简单
7、闭曲线，12,nc c它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于 内，12,nc D则 其cfzdA1,kncfzd中 与 均取正向；k ，其中 由 及0fzdc所组成的复合闭路。1(,2)ckn3闭路变形原理 ： 一个在区域 内D的解析函数 沿闭曲线 的积分，fzc不因 在 内作连续变形而改变它的cD值，只要在变形过程中 不经过使c不解析的奇点。fz4解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域 内解析， 为fzBGz在 内的一个原函数，则212112(,)zfdzzB说明：解析函数 沿非闭曲线的积fz分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式：设 在区域 内fzD解析，
8、为 内任一正向简单闭曲线，cD的内部完全属于 ， 为 内任意一0zc点，则 002cfzdifA6高阶导数公式：解析函数 的导数fz仍为解析函数，它的 阶导数为n0102(1,2)()!nncfzidfz A其中 为 的解析区域 内围绕 的cfzD0z任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 。47重要结论：。 12,0()ncindzaA（ 是包含 的任意正向简单闭曲线）8复变函数积分的计算方法1）若 在区域 内处处不解析，用一fzD般积分法 cdfztdt2）设 在区域 内解析，fz 是 内一条正向简单闭曲线，则由cD柯西古萨定理， 0cfzdA 是 内的一条非闭曲线， 对应c12,曲
9、线 的起点和终点，则有2121zcfdfFz3）设 在区域 内不解析fzD 曲线 内仅有一个奇点：c（000102()!c nncfzdifzffzA()fz在 内解析） 曲线 内有多于一个奇点： cfzdA（ 内只有一个奇点 ）1kncfzdAi k或：（留数基12Re(),nkkcfzdisfzA本定理） 若被积函数不能表示成 ，1()nofz则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念：若二元实函数在 内有二阶连续偏导数且满足(,)xyD，20为 内的调和函数。(,)xy2解析函数与调和函数的关系 解析函数 的实部 与虚fzuivu部 都是调和函数，并称虚
10、部 为实v部 的共轭调和函数。u 两个调和函数 与 构成的函数v不一定是解析函数；但()fzi是若 如果满足柯西 ,uv黎曼方程，则 一定是解析函数。iv3已知解析函数 的实部或虚部，求fz解析函数 的方法。fuiv1）偏微分法：若已知实部 ，,uxy5利用 条件，得 ；CR,vxy对 两边积分，得vuy（*）dgx再对（*）式两边对 求偏导，得（*） vudygxx由 条件， ，得CRv，可求出 udygxyx；g代入（*）式，可求得 虚部。 uvdyx2）线积分法：若已知实部 ，,uxy利用 条件可得CR，vdxdyxdy故虚部为 ；0,xyuc由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线
11、）计算它，其中 与 0,xy,是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部 ，,uxy根据解析函数的导数公式和 条件得CR知，uvufziixy将此式右端表示成 的函数 ，由于Uz仍为解析函数，故fzfzdzc（ 为实常数）c注：若已知虚部 也可用类似方法求出实v部 .u（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列 （ ）nnaib1,2收敛于复数 的充要条件为lim,linnb（同时成立）2）复数列 收敛 实数列 同n,nab时收敛。2复数项级数1）复数项级数 收敛的0()nnaib充要条件是级数 与 同时收敛；0n0n2）级数收敛的必要条件是 。limn注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实
12、数项级数的敛散性问题的讨论。6（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念：表达式或 为幂级数。00()nncz0ncz2幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数 在 处收敛，0ncz0那么对满足 的一切 ，该级数z绝对收敛；如果在 处发散，那么对0满足 的一切 ，级数必发散。0zz2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 比值法 如果 ，则1lim0nc收敛半径 ；R 根值法 ，则收敛li0nc半径 ；1 如果 ，则 ；说明在整个复0R平面上处处收敛；如果 ，则 ；
13、说明仅在或 点收敛；0z注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 （如 ）20ncz3幂级数的性质1）代数性质：设 的收敛半00,nnazb径分别为 与 ，记 ，1R212mi,R则当 时，有z000()nnnnabazbz（线性运算） 01000()()()nn nnazbababz（乘积运算）2）复合性质：设当 时，r，当 时，0nfazR解析且 ，gzgr则当 时，。0nnfgzagz3）分析运算性质：设幂级数 的收0naz敛半径为 ，则0R 其和函数 是收敛圆内0nfza的解析函数；7 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10nfzazzR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径
14、不变； 100z nnafdzR（十一）幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数 在圆域fz内解析，则在此圆域内 可0zR以展开成幂级数 ；并且此展开00!nnfzfz式是唯一的。注：若 在 解析，则 在 的泰fz0fz0勒展开式成立的圆域的收敛半径；0Rza其中 为从 到 的距 最近一0zf0z个奇点 之间的距离。 2常用函数在 的泰勒展开式0z1）2301!nznzze 2） 201nnzz z3） 3521 210() ()sin!n nzzz z 4） 242 20(1)(1)cos!n nzz z 3解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出 ，01!nncfz于是 。00nfz
15、z2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数的概念： ，0nncz含正幂项和负幂项。2洛朗展开定理：设函数 在圆环fz域 内处处解析，102Rz为圆环域内绕 的任意一条正向c简单闭曲线，则在此在圆环域内，8有 ，且展开0nnfzcz式唯一。3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设在 内解析， 为fz0rzRc内的任何一条正向简单闭曲0线，则 。其中 为12cfzdicA1在 内洛朗展开式中()fz0rR的系数。01说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展
16、开式中 的系数。10()z（十三）孤立奇点的概念与分类1。 孤立奇点的定义 ： 在 点不解fz0析,但在 的 内解析。0z02。孤立奇点的类型：1）可去奇点：展开式中不含 的负幂0z项； 20102fzczc2）极点：展开式中含有限项 的负幂0z项； (1) 210102000 ()()()()mmccfz zczzz 0,()mgz其中 1(1)0100()()mmmgzczczcz 在 解析，0且 ；,mzc3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；0z101000 ()()()() mmccf zczzz （十四）孤立奇点的判别方法1可去奇点： 常数；00limzfc2极点： 0z3本性
17、奇点： 不存在且不为 。0lizf4零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数，如果能表示成fz，0()mz其中 在 解析， 为正0,m整数，称 为 的 级零点；0f2）零点级数判别的充要条件是 的 级零点fm90,(1,2)nmfznm3）零点与极点的关系： 是 的0zf级零点 是 的 级极点；0z1f4）重要结论若 分别是 与 的 级与zazm级零点，则n 是 的 级零点；zzAn 当 时， 是 的 级mnazm零点；当 时， 是 的 级nzazn极点；当 时， 是 的可去奇mnzaz点； 当 时， 是 的nzaz级零点，lmi(,)ln当 时， 是 的zz级零点，其中l()l（十
18、五）留数的概念1留数的定义：设 为 的孤立奇0zf点， 在 的去心邻域fz0内解析， 为该域内包含0c的任一正向简单闭曲线，则称积分0z为 在 的留数（或残12cfdziAf0z留） ，记作 0Re,sfz12cfzdi2留数的计算方法若 是 的孤立奇点，则0zf，其中 为 在0Re,sf1c1fz的去心邻域内洛朗展开式中 的0z 10()系数。1）可去奇点处的留数：若 是 的可0zf去奇点，则 0Re,sf2） 级极点处的留数m法则 I 若 是 的 级极点，则0zfm0Re,sf010li()()!mmzdzfz特别地，若 是 的一级极点，0f则 0Re,sfz0li()zfz注：如果极点的
19、实际级数比 低，m上述规则仍然有效。法则 II 设 ， 在PzfQ,z解析，0z0,10，则00,Qzz00Re,Ps（十六）留数基本定理设 在区域 内除有限个孤立奇fzD点 外处处解析， 为 内包围12,n c诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 12Re,ncnfzdisfzA说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 在 内fzc各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念 ()()()jwtFftfedF 12jtft二、几个常用函数的傅里叶变换 1()Fetj 1()()Futj t 12()三、傅里叶变换的性质 位移性（时域）： 00()jwtFft
20、e()Fft 位移性（频域）：0 00()()jwt wefF 位移性推论： 0001sin()()()2Ftf wj 位移性推论： 0001cos()()()2FwtfFw 微分性（时域）：（()()Fftjw） ，,0，()(nnftjF(1),t 微分性（频域）： ()(),()nnFjtfwFjtfFw11 相似性： 1()()wFfat(0)a四、拉普拉斯变换的概念 0()()()stLftfedF五、几个常用函数的拉普拉斯变换 ； 1ktes 是自然数 ；11()!(mmLts)（ (),),()()2） ；1()Luts 2 2sin,cosktLkt Lhh 设 ，则()(ft
21、Tft。 （ 是01)Tsdte()ft以 为周期的周期函数）六、拉普拉斯变换的性质 微分性（时域）： 20,()()0()LftsFfLftsFf 微分性（频域）：，()tfs()nnLF 积分性（时域）：0tFsLfd 积分性（频域）：（收敛）sft 位移性（时域）： atLefFa 位移性（频域）：（ ,sfte0）0,() 相似性： 1()sLfatF)a七、卷积及卷积定理 1212()*()ftftd FftFw 1212()() Lfts八、几个积分公式 ()(0)ftdf t 100()()ftLfsFds1 0()kt skfedft模拟试卷一一.填空题121. .71i2.
22、I=,则的 正 向为其 中 0,sin azcdzezczI= . 3. 能否在 内展成z1tanRz0Lraurent 级数？ 4其中 c 为 的正向：2z= dzzc1sin25. 已知 ，则 = siFtf二.选择题1. 在何处解析 zzfRe(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无2.沿正向圆周的积分. = dzz21sin(A)2 . (B) 0. 1sin(C) . (D)以上都不对.i3 的收敛域为 nnnz14(A) . . (B)4(C) . (D)ez2121z无法确定4. 设 z=a 是 的 m 级极点,则zf在点 z=a 的留数是 .f(A) m. (B) -2m. (
23、C) -m. (D) 以上都不对 .三.计算题1. 为解析函数，ivuzf3223 yxyxv，求 u2设函数 与分别以 z=a 为 m 级与zfn 级极点，那么函数 .在 z=azgf处极点如何？3求下列函数在指定点 z0 处的 Taylor 级数及其收敛半径。1,02zf4求拉氏变换 （kttf6sin为实数）5. 求方程 满teyy34足条件 的解.10四.证明题1.利用 ez 的 Taylor 展式，证明不等式 zze12.若 (a 为非零常数) Ftf证明： aFatf1模拟试卷一答案一.填空题1. 2. 0 3.否 4 i 1/6135. 二.选择题0.5,1.2,tftt1. (
24、D) 2. (A) 3(A) 4. (C) 三.计算题1. 2uxyc2函数 在 z=a 处极点为zgfm+n 级3121nnfzzR4 263s5. .37142tttytee模拟试卷二一.填空题1. C 为 正向，则 = 1zcdz2. 2323 lxyiynxmyzf 为解析函数，则 l, m, n 分别为 .3. 2Re,0shz4. 级数 .收敛半径为 12nn5. -函数的筛选性质是 二.选择题1 ，则 1tuetftft(A) . (B) 1ses 1ses(C)2 (D) 以上都不对s2 ，则 Ftft(A) . (B)2. F(C) . (D) i以上都不对3C 为 的正向，
25、3z.2103cd(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对4. 沿正向圆周的积分 dzz22sin= (A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对 .三.计算题1. 求 sin(3+4i). 2计算 其中 a、bczad,为不在简单闭曲线 c 上的复常数， a b.3求函数 在指定1,0zzf点 z0 处的 Taylor 级数及其收敛半径。4求拉氏变换 （k 为实tetf14数）四.证明题1. 收敛，而 发散，证明0nC0nC收敛半径为 10nz2.若 ，(a 为正常sFtf数)证明： aatf1模拟试卷二答案一.填空题1. 2. 2i3.1 4. 1 3,1l
26、nm5. - 0tfdtf二.选择题1 (B) 2(C) 3 (C) 4. (A)三.计算题1. 43432iieei2当 a、b 均在简单闭曲线 c 之内或之外时 0,cdzbA当 a 在 c 之内, b 在 c 之外时 2,czi当 b 在 c 之内 , a 在 c 之外时 cdziabA3. 10122nnnzzf R4 1sk模拟试卷三一.填空题1 z=0 为的 12zezf级零点,2. . 0,1Re32zs3. a,b,c 均为复数，问 一bccba与定相等吗？ .4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？ 5. = .czdos二.选择题1. 设 u 和 v 都是调和函数,
27、如果 v 是 u 的共轭调和函数，那么 v 的共轭调和函数为 .(A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。2级数 .1nine(A) . 发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)无法确定3C 为 的正向, 则2z.29cedzA(A) .1 (B)2 (C)(D) 以上都不对1i154 ，则 Ftf.1(A) (B) ieie(C) (D) 以上都不对iF三.计算题1.计算 .0cos4521,201 dzdzf 证 明从 而2求在指定圆环域内的 Laurent 级数. 1,12zzf3利用留数计算定积分: 20cosd4求拉氏变换 （k 为实数）tetf.四.证明题1.
28、说明 是否正确，为什Lnznz2么？2.利用卷积定理证明 sFdtft0模拟试卷三答案一.填空题1 4 2. 1 3. 不一定 4. 否 5. 0二.选择题1. (B) 2 (A) 3 (C) 4 (D) 三.计算题1. 10,2zdfA2. 1120nnnfz z3 4 21k模拟试卷四一.填空题1. 复数 三角表示形式 .iz12. 设 为调和函数，xyxu22其共轭调和函数为 3. 能否在 z=-2i 处收敛而nnizc0z=2+3i 发散. 4. 为0z6sin63zzf的 级极点5. 卷积定理为 二.选择题1 则 = 2Ftf(A) .7 (B)1 (C)2 (D) 以上都不对2.
29、若 ，n 为整nii313数.n= (A) 6k (B)3 (C)3k (D)63. C 是直线 OA，O 为原点， A 为 2+i, 则16= dzcRe(A).0. (B)（1+ i）/2. (C).2+i. (D). 以上都不对 .4设 ，则 3sinttfft(A) . (B) 213s213s(C)(D) 以上都不对se32三.计算题1求在指定圆环域内的 Laurent 级数.0,sinzzf2.设函数 与分别以 z=a 为 m 级与 nf级极点，那么函数 .在 z=a 极点如zgf何？3求 傅氏变换。其 他,0;5tEtf4求拉氏变换 .tetft6sin2四.证明题1.若 求证,
30、1,12.若 ,证明：.Ftf00021cos Fttf模拟试卷四答案一.填空题1. 2. cosin22yxy3. 否4. 155. 略二.选择题1(B) 2. (C) 3. (C) 4(C)三.计算题1 2011!nnzfz2.当 mn 时， z=a 为 的 m-n 级zgf极点当 mn 时， z=a 为 的可去奇点zf3 52sinjEe4 .263s四.证明题1.略2.略17模拟试卷五一.填空题1. 根为 , 0942iiz2. 和 是否相等 dzz2dzz43. 叙述傅氏积分定理 4. 拉氏变换的主要性质 二.选择题1已知则0!1, .2nnccn的收敛圆环为 nz(A). . (B
31、) 4241ez21(C) . (D)无法确定z2. 将 z 平面上 映射w142yx成 w 平面上的 (A) .直线 (B)u+v=1 (C)(D)以上都不对412vu3z=0 是 什么奇点 zef12(A) .可去 (B)本性奇点 (C)2 级极点 (D) 以上都不对4. 的傅氏变换为 0t(A) 1 (B) 0tie(C) (D) 以上都不对0tie三.计算题1. 解方程 .0iez2.利用留数计算定积分: dxx23cos3利用能量积分求 dx2sinx4.求 的拉氏逆变换.12sF四.证明题1. 试证 argz 在原点与负实轴上不连续 .2. 下列推导是否正确？若不正确，把它改正：
32、.2121123 23 izidzdzzz 模拟试卷五答案一.填空题1. 3232i i和 -2. 相等3. 略4. 略二.选择题1 (B) 2. (C) 3 (B) 4. (B) 三.计算题1. .2zki2. 3e3 2sinxd184. 1te复变函数与积分变换试题（本科）一、填空题（每小题 2 分，共 12 分）1、设 ，则其三角表示式为iz_；2、满足|z+3|-|z-1|=0 的 z 的轨迹是_；3、 _;)(iLn4、 的傅氏变换为_；jate55、 的拉氏逆变换为s21_.6、 在 处展开成幂级数)(5zf0为_。二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）1、设 ，则下列命题正
33、确的是zfcos)(（ ）A、 是有界的； |)(|fB、 以 为周期；)(zfC、 ； 2)(iziefD、 在复平面上处处解析。)(zf2、设 ，则 的值等于（ i10248z）A、1； B、-1； C、 ； D、 。ii3、设 C 是正向圆周 则 （ ,2|zcdz|）A、 ； B、 ； C、i4i2； D、 。24、z=0 是 的孤立奇点的类型为（ zsin1）A、二阶极点； B、简单极点； C、可去奇点； D、本性奇点。5、若幂级数 在 处发散，0nzci1则该级数在 z=2 处的敛散性为（ ）A、绝对收敛； B、条件收敛； C、发散； D、不能确定；三、已知调和函数，求解析函iif
34、xyu1)(,2数 ，并求 。 （8 分）)(vzf z四、设 ，试确定 在何ixy2)(f处可导，何处解析,并求可导点处的导数。（6 分）五、求下列函数的积分（每小题 6 分，共24 分）1、沿 算出积分 的值； xydziyxi102)(2、 ；3|cosinzdz3、 ；054、 ，其中1| 2)(szdza0,1|a六、将下列函数展开为级数（每小题 7 分，共 14 分）1、将函数 在 处1)(zf0展开成幂级数，并指出其收敛区间。2、将函数 以)(2)izf19为中心的圆环域内展开iz为洛朗级数。七、 求微分方程的解。1)0(,34“ yeyt（6 分八、 求下列函数的积分变换（每小题6 分，共 12 分）1、 求 的傅氏0,sin)(tetft变换。2 求 的拉氏变换ttef7cos)(2九、证明题（每小题 4 分，共 8 分）1、设复数 全部满足nz,.21，且 和izRsi,0)(1n都收敛，证明 也收敛。12n12|nz2、已知 在 0|z|1 内解析，且)(zf，证明 z=0 是 的一lim0z )(zf级极点，并求其留数。
