1、和倍问题专题简析：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出 1 倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：两数和（倍数1）=小数（1 倍数）小数倍数=大数（几倍数）两数和小数=大数例题 1 学校将 360 本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的 2 倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？思路导航：将二年级所得图书的本数看作 1 倍数，则三年级所得本数是这样的
2、 2 倍。如图所示：一360一一一一一1一一一一一一一一由图可知，二、三年级所得图书本数的和 360 本相当于二年级的（12）倍，则二年级所得图书本数的 360（12）=120 本，三年级为1202=240 本。练 习 一1，小红和小明共有压岁钱 800 元，小红的钱数是小明的 3 倍。小红和小明各有压岁钱多少元？2，学校将 360 本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的 2 倍还多 60 本。二、三年级各得图书多少本？3，甲桶有油 25 千克，乙桶有油 17 千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的 5 倍？例题 2 小宁有圆珠笔芯 30 枝，小青有圆珠笔芯 15 枝，问
3、小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的 8 倍？思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作 1 倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的 9 倍，所以变化后小青的枝数为（3015）（18）=5 枝，再用 155=10 枝，则表示小青给小宁的枝数。练 习 二1，红红有邮票 80 张，佳佳有邮票 60 张，要使红红的邮票张数是佳佳的 4 倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？2，甲水池有水 69 吨，乙水池有水 36 吨，如果甲水池中的水以每分钟2 吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的 2 倍？3，甲书架有图书 18 本，乙书架有图书 8 本，班图书管理
4、员又买来图书16 本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的 2 倍？例题 3 被除数与除数的和为 320，商是 7，被除数和除数各是多少？思路导航：由商是 7 可知，被除数是除数的 7 倍，把除数看作 1 份数，被除数就有这样的 7 份，一共 71=8 份。除数：3208=40被除数：407=280练 习 三1，被除数和除数和为 120，商是 7，被除数和除数各是多少？2，被除数、除数、商的和为 79，商是 4，被除数、除数各是多少？3，两个整数相除商是 21，余数为 1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是 441。被除数、除数各是多少？例题 4 两数相除商为 17 余 6，被除数、除数
5、、商和余数的和是 479。被除数和除数分别为多少？思路导航：被除数、除数、商和余数的和是 479，减去商 17 和余数 6，得到被除数与除数的和为 479176=456；又因为被除数比除数的 17 倍多6，所以 4566=450 就相当于除数的（171）倍，因此除数为450（171）=25，被除数为 25176=431。练 习 四1，两个整数相除商 14 余 2，被除数、除数、商和余数的和是 243，被除数比除数大多少？2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 240，而减数是差的 5 倍。差是多少？3，学校买来 83 本书，其中科技书是故事书的 2 倍，故事书比文艺书多5 本，这三种书
6、各多少本？例题 5 两个数之和是 792，其中一个数的最后一位数数字是 0，如果把 0 去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？思路导航：把一个数的最后一位数字 0 去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中大数是小数的 10 倍。又已知两个数之和是 792，那我们就可以求出这两个数分别是多少了。小数：792（101）=72大数：7210=720练 习 五1，两个数之和是 253，其中一个数的最后一位数字是 0，如果把 0 去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？2，师徒两人加工一批零件共 693 个，师傅加工零件个数的末位数字是0，如果去掉这个 0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别
7、加工零件多少个？3，甲、乙两数的和是 209，甲数缩小 10 倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多少？第二十六周 差倍问题（一）专题简析：前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题” 。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1 倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。用关系式可以这样表示：两数差（倍数1）=较小的数（1 倍数）较小的数倍数=较大的数（几倍数）例题 1 小明到市场去买水
8、果，他买的苹果个数是梨的 3 倍，苹果比梨多 18个。小明买苹果和梨各多少个？思路导航：将梨的个数看作 1 倍数，则苹果的个数是这样的 3 倍。如下图：一一一一一一18一一一1一从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了 31=2 倍，梨的 2 倍是 18个，所以梨有 182=9 个，苹果有：93=27 个。练 习 一1，学校合唱组，女同学人数是男同学的 4 倍，女同学比男同学多 42 人。合唱组有男、女同学各多少人？2，一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的 5 倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵 960 元。皮衣与羽绒服各多少元？3，甲筐苹果是乙筐苹果的 3 倍，如果从甲筐取出 60 千克放入乙筐，那么
9、两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？例题 2 被除数比除数大 252，商是 7，被除数、除数各是多少？思路导航：根据“商是 7”可知，被除数是除数的 7 倍，把除数看作 1倍数，被除数就是这样的 7 份，比除数多 6 份。所以除数是：252（71）=42被除数是：42252=294练 习 二1，被除数比除数大 168，商是 22，被除数、除数各是多少？2，除数比被除数小 212，商是 5，被除数、除数各是多少？3，被除数比商大 144，除数是 7，被除数、商各是多少？例题 3 水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的 5 倍，如果从第一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘
10、子还比第二筐多 60 个。原来两筐橘子各有多少个？思路导航：根据“如果从第一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多 60 个” ，说明原来第一筐比第二筐橘子多 300260=660个。把第二筐的橘子重量看作 1 倍数，第一筐橘子是这样的 5 倍，比第二筐多 4 倍，第二筐橘子的 4 倍正好是 660 个，所以第二筐原有橘子：6604=165 个，第一筐橘子原来有：1655=825 个。练 习 三1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的 3 倍。如果从六年级捐款钱数中取出 160 元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多 40 元。两个年级分别捐款多少元？2，人民公园
11、的杜鹃花盆数是长春园的 4 倍，如果从人民公园搬出 188盆杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少 25 盆。原来两个公园各有杜鹃花多少盆？3，两堆煤重量相等，现从甲堆中运走 24 吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8 吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的 3 倍。问两堆煤原来各有多少吨？例题 4 甲、乙两个数，如果甲数加上 280 就等于乙数，如果乙数加上 320就等于甲数的 3 倍。两个数各是多少？思路导航：根据题意，画出线段图：一 320280一一一“甲数加上 280 就等于乙数” ，说明乙数比甲数大 280；如果乙数再加上 320，甲、乙就相差 320+280=600，把甲数
12、看作 1 倍数，从图上可以看出，600 就相当于甲数的 31=2 倍。所以，甲数为 6002=300，乙数为300280=580。练 习 四1，甲、乙两人的存款相等，甲取出 60 元，乙存入 20 元后，乙的存款是甲的 3 倍。甲、乙两人原有存款各多少元？2，小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华 6 本，小华的本数是小明的 4 倍。原来两人各有连环画多少本？3，两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐余下的苹果是乙筐的 3 倍。两筐苹果原来各有多少千克？例题 5 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出 200 本书，而第二个书架再放入 40 本书，
13、那么第二个书架的本数是第一个书架的 3 倍。问两个书架原来各存书多少本？思路导航：根据题意，画出线段图。一一一一一一一一一一一一40一一一一一200一1一一从线段图上可以看出，第一个书架取出 200 本，第二个书架放进 40 本书后，两个书架就相差 200+40=240 本，把变化后的第一个书架看作 1 倍数，两个书架相差的 240 本就相当于变化后第一个书架的（31）倍。所以，变化后第一个书架有书：（20040）（31）=120 本两个书架原来各有：120200=320 本。练 习 五1，两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出 2000 千克，而第二个仓库再存入 400 千克，那么
14、第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的 7 倍。两个仓库原来各存粮食多少千克？2，小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红 16 枝铅笔，给小明2 枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的 3 倍。原来小红和小明各有铅笔多少枝？3，商店有数量相等的英语本和算术本，英语本卖出 160 本，算术本卖出 420 本后，余下的英语本数是算术本的 3 倍。两种本子原来各有多少本？第二十七周 差倍问题（二）专题简析：有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线
15、段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进行解答。例题 1 有两袋玉米，大袋比小袋多 56 千克，如果将小袋的玉米吃掉 4 千克，这时大袋的玉米重量是小袋的 4 倍。两袋玉米原来各重量多少千克？思路导航：根据题意，画出线段图。一一一一一一一一一一一56一一一一一4一一从图上可以看出，小袋玉为吃掉 4 千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉米重 4+56=60 千克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的 4 倍” ，可知把小袋现有的玉米重量看作 1 倍数，大袋比小袋多的 60 千克正好相当于现有小袋的 41=3 倍，所以小袋现有玉米 603=20
16、千克，原有重量 20+4=24 千克，大袋原有 204=80 千克。练 习 一1，有两箱玩具，第一盒比第二盒多 60 只。如果从第二盒中取出 3 只，这时第一盒的只数是第二盒的 8 倍。求两箱玩具原来各有多少只？2，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多 12 本。如果从第一层中拿走 6 本，这时第二层的本数是第一层的 4 倍。求第一、第二层原来各有多少本书？3，甲、乙两桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少 20 千克，如果从甲桶倒出 5 千克放入 5 千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的 4 倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克？例题 2 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入 8 千克，则两桶色拉油
17、就一样重；如果向乙桶中倒入 12 千克，乙桶的色拉油就是甲桶的 5 倍。甲、乙两桶原来各有色拉油多少千克？思路导航：根据题意，画出线段图。一一12一一一一一一一一一一一一一一8一一1一一从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入 8 千克，两桶油重量相等，说明乙桶油比甲桶油多 8 千克；如果向乙桶倒入 12 千克，乙桶油就比甲桶油多8+12=20 千克，与 20 千克相对应的倍数差是 51=4 倍。所以，甲桶原有：（8+12）（51）=5 千克，乙桶原有 5+8=13 千克。练 习 二1，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入 10 千克水，两桶水就一样多；如果向乙桶中倒入 4 千克水，乙桶的水就是甲桶的
18、3 倍。原来甲、乙两桶各有多少千克水？2，三（1）班同学参加英语比赛，如果男生少去 1 人，男、女参赛人数相等；如果女生少去 1 人，男生参赛人数是女生的 2 倍。三（1）班参加英语比赛的男、女生各几人？3，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文 3 粒，两人的玻璃球数就一样多；如果小文给小敏 1 粒，小敏的玻璃球数就是小文的 5 倍。小敏、小文原有玻璃球各几粒？例题 3 甲的钱数是乙的 3 倍，甲买一套 180 元的百科大全 ，乙买一套 30元的故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？思路导航：根据题意，画出线段图。一一180一30一一一把乙原有的钱看作 1 份，甲原有的钱不是
19、3 份；甲买书用去 180 元，乙买书用去 30 元，甲比乙多用去 18030=150 元。从图上可以看出，这多出的150 元正好相当于乙原有钱数的 31=2 倍，所以乙原有钱：1502=75 元，甲原有钱 753=225 元。练 习 三1，甲的钱数是乙的 4 倍，甲买了一只 30 元的书包，乙买了一枝 6 元的钢笔后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？2，丹丹的钱数是小敏的 5 倍，丹丹买了一套 115 元的衣服，小敏买了一双 15 元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？3，云云的钱是小月的 4 倍，云云买了一套水彩笔用了 19 元钱，小月买了一块 1 元钱的橡皮后，两人剩下的
20、钱一样多。云云原来有多少钱？例题 4 学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的 4 倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进 12 盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的 3 倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？思路导航：根据题意，如果彩色粉笔购进 12 盒，而白粉笔购进124=48 盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的 4 倍，可见 4812=36盒就是彩色粉笔现有盒数的 43=1 倍，所以彩色粉笔现有 361=36 盒，原来有 3612=24 盒，白粉笔原有 244=96 盒。练 习 四1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的 3 倍，如果两筐苹果各增加 8 千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的 2 倍。甲
21、、乙两筐原来各有多少千克苹果？2，小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的 5 倍。如果每人再买 4 枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的 4 倍。小明和聪聪原来各有彩色笔多少枝？3，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的 5 倍。如果每桶分别倒入 8 千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的 3 倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油？例题 5 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的 4 倍多 5 个，篮球比足球多 26 个。篮球和足球各多少个？思路导航：根据题意，画出线段图。一一一一?一一5一一26一?一从图上可以看出，如果把足球的个数看作 1 倍数，那么篮球减少 5 个就是足球个数的 4 倍，所以足球有（265）（41）=7 个，篮球有745=33 个。练 习 五1，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的 3 倍多 2个，红皮球比白皮球多 24 个。红、白皮球各有多少个？2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的 5 倍多 12 千克，乙袋比甲袋少132 千克。甲、乙两袋面粉各多少千克？3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的 4 倍少8 本，故事书比连环画多 28 本。图书室里有故事书和连环画各多少本？
