1、第一讲 和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。例 1 甲班和乙班共有图书 160 本.甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析 设乙班的图书本数为 1 份，则甲班图书为乙班的 3 倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的 4 倍.还可以理解为 4 份的数量是 160 本，求出 1 份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：解：乙班：160（3+1）=40（本）甲班：403=1
2、20（本）或 160-40=120（本）答：甲班有图书 120 本，乙班有图书 40 本。这道应用题解答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是 160 本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于 3 倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。验算：12040=160（本）12040=3（倍）。例 2 甲班有图书 120 本，乙班有图书 30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的 2 倍？分析 解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量
3、.最后要求甲班图书是乙班图书的 2 倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的 3 倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。解：甲、乙两班共有图书的本数是：30120=150（本）甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：213（倍）乙班现有的图书本数是：1503=50（本）甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）综合算式：（30120）（2+1）=50（本）50-30=20（本）答：甲班给乙班 20 本图书后，甲班图书是乙班图书的 2 倍。验算：（120-20）（30+20）2（倍）（120-20）+（3
4、0+20）150 （本）。例 3 光明小学有学生 760 人，其中男生比女生的 3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？分析 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的 3 倍还少40 人，如果用男、女生人数总和 760 人再加上 40 人，就等于女生人数的 4 倍（见下图）。解：女生人数：（76040）（31）=200（人）男生人数：2003-40=560（人）或 760-200=560（人）答：男生有 560 人，女生有 200 人。验算：560200=760（人）（560+40）200=3（倍）。例 4 果园里有桃树、梨树、苹果树共 552 棵.桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树
5、比梨树少 20 棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？分析 下图可以看出桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为 1 份数容易解答.又知三种树的总数是 552 棵.如果给苹果树增加 20 棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少 12 棵，那么就相当于梨树的 2 倍了，而总棵树则变为 552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的 4 倍。解：梨树的棵数：（55220-12）（112）=5604=140（棵）桃树的棵数：140212=292（棵）苹果树的棵数： 140-20=120（棵）答：桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、14
6、0 棵和 120 棵。例 5 549 是甲、乙、丙、丁 4 个数的和.如果甲数加上 2，乙数减少 2，丙数乘以 2，丁数除以 2 以后，则 4 个数相等.求 4 个数各是多少？分析 上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以 2 和丁数除以 2 相等，也就是丙数的 2 倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的 4 倍.乙减 2之后是丙的 2 倍，甲加上 2 之后也是丙的 2 倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。解：丙数是：（5492-2）（2214）=5499=61甲数是：612-2=120乙数是：6122=124丁数是：614=244验算：120+12461+244=54912
7、02=122 124-2=122612122 2442122答：甲、乙、丙、丁分别是 120、124、61、244.习题解答1.小明的本数：120（21）=40（本）.小强的本数：402=80（本）。2.杏树的棵数：（340-20）（31）=80（棵）.桃树的棵数：80320=260（棵）。3.长方形的宽：（302）（21）=5（厘米）.长方形的长：52=10（厘米）。长方形的面积：105=50（平方厘米）。4.甲、乙两水池共有水：26001200=3800（立方米）甲水池剩下的水：3800（4+1）=760（立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）经过的时间（分钟
8、）：18402380（分钟）。5.甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：当甲桶油是乙桶油 2 倍时，乙桶油是：660（2+1）=220（千克）：由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。6.变化后的绳子总长 95-78=96（米）.第二条绳长： 96（11+1）=32（米）。第一条绳长：327=39（米）。第三条绳长：32-8=24（米）.第二讲 差倍问题前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个
9、数。差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到 1 倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。例 1 甲班的图书本数比乙班多 80 本，甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析 上图把乙班的图书本数看作 1 倍，甲班的图书本数是乙班的 3倍，那么甲班的图书本数比乙班多 2 倍.又知“甲班的图书比乙班多 80本”，即 2 倍与 80 本相对应，可以理解为 2 倍是 80 本，这样可以算出1 倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。解：乙班的本数： 80（3-1）=40（
10、本）甲班的本数： 403=120（本）或 4080=120（本）。验算：120-4080（本）12040=3（倍）答：甲班有图书 120 本，乙班有图书 40 本。例 2 菜站运来的白菜是萝卜的 3 倍，卖出白菜 1800 千克，萝卜 300 千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？分析 这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的 3 倍”应把运来的萝卜的重量看作 1 倍；“卖出白菜 1800 千克，萝卜 300 千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多 1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的 3-1=2（倍），这
11、样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。解：运来萝卜：（1800-300）（3-1）=750（千克）运来白菜： 7503=2250（千克）验算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）答：菜站运来白菜 2250 千克，萝卜 750 千克。例 3 有两根同样长的绳子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根长的 3 倍，两根绳子原来各长多少米？分析 上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去 12 米，第二根绳子又接上 14 米后，第二根的长度是第一根的 3 倍.应该把变化后的第一根长度
12、看作 1 倍，而 12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的 2 倍.所以，当从第一根截去 12 米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。解：第一根截去 12 米剩下的长度：（12+14）（3-1）13（米）两根绳子原来的长度：131225（米）答：两根绳子原来各长 25 米。自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出 1 倍数，也就是较小的数，再求几倍数。解题规律：差倍数的差=1 倍数（较小数）1 倍数几倍=几倍的数（较大的
13、数）或：较小的数+差=较大的数。例 4 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书 74 本，三（2）班从本班原书中拿出 96 本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的 3 倍，求两班原有图书各多少本？分析 两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书 74 本，即增加了 74 本；三（2）班从本班原有图书中取出 96 本送给一年级同学，则图书减少了 96 本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差 96+74170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了 170 本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的 3 倍，可见这 170 本图
14、书就相当于三（2）班所剩图书的 3-1=2 倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。解：后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？7496=170（本）三（2）班剩下的图书是多少本？170（3-1）=85（本）三（2）班原有图书多少本？8596=181（本）（两个班原有图书一样多）综合算式：（7496）（3-1）961702+968596=181（本）验算：181+74=255（本）181-96=85（本）25585=3（倍）答：两班原来各有图书 181 本。例 5 两块同样长的花布，第一块卖出 31 米，第二块卖出 19 米后，第二块是第一块的 4 倍
15、，求每块花布原有多少米？分析 已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多 31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的 4 倍，那么第二块比第一块多出的 12 米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。解：第二块布比第一块布多剩多少米？31-1912（米）第一块布剩下多少米？12（4-1）=4（米）第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）综合列式：（31-19）（4-1）+31=123+31=431=35（米）验算：35-31=4（米）35-1916（米
16、）1644（倍）答：每块布原有 35 米长。习题八解答1.一头牛重量是：4500（10-1）=500（千克）一只大象重量：50010=5000（千克）。2.杏树棵数：90（3-1）=45（棵）桃树棵数：453=135（棵）。3.把第二块布剩下的米数看作 1 倍数：（74-50）（3-1）12（米）剪去的米数： 50-12=38（米）。4.把甲校调走 30 人后的甲校人数看作 1 倍：（302）（3-1）=30（人）甲、乙两校原有教师各 30+30=60（人）。5.甲筐重量：（197）（3-1）13（千克）乙筐重量：133=39原有重量：137=20（千克）。6.甲数：（320+460）2390
17、乙数：390+320=710。7.（25-14）（2-1）+25=111+25=11+25=36（米）.第三讲 和差问题和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的铅笔拿出 3 支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多 3 支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差 3 支。再例：“把姐姐的铅笔给弟弟 3 支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多 3 支（差是 3），那就错了.实
18、际上姐姐比弟弟多 2 个 3 支.姐姐给弟弟 3 支后，自己留下 3 支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里 32=6 支，就是暗差。“把姐姐的铅笔给弟弟 3 支后还比弟弟多 1 支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多 3217（支）。例 1 两筐水果共重 150 千克，第一筐比第二筐多 8 千克，两筐水果各多少千克？分析 这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重1508158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8142（千克）.解法 1：第二筐重多少千克？（150-8）2=71（千克）第一筐重多少千克？718=79（千克）或 150-71=79（
19、千克）解法 2：第一筐重多少千克？（150+8）279（千克）第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或 150-79=71（千克）答：第一筐重 79 千克，第二筐重 71 千克。例 2 今年小强 7 岁，爸爸 35 岁，当两人年龄和是 58 岁时，两人年龄各多少岁？分析 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是 35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为 58 岁时他们年龄差仍是 28 岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。解：爸爸的年龄：58（35-7）2=58282=862=43（岁）小强的年龄：58-4315
20、（岁）答：当父子两人的年龄和是 58 岁时，小强 15 岁，他爸爸 43 岁。例 3 小明期末考试时语文和数学的平均分数是 94 分，数学比语文多 8 分，问语文和数学各得了几分？分析 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是 8 分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是 94 分，这就可以求得这两科的总成绩.解：语文和数学成绩之和是多少分？942188（分）数学得多少分？（188+8） 21962=98（分） 语文得多少分？（188-8）2=1802=90（分）或 98-8=90（分）答：小明期末考试语文得 90 分，数学得 98 分
21、.例 4 甲乙两校共有学生 864 人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校 32 名同学，这样甲校学生还比乙校多 48 人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？分析 这样想：甲、乙两校学生人数的和是 864 人，根据由甲校调入乙校 32 人，这样甲校比乙校还多 48 人可以知道，甲校比乙校多 322+48112（人）. 112 是两校人数差。解：乙校原有的学生：（864-322-48）2376（人）甲校原有学生：864-376=488（人）答：甲校原有学生 488 人，乙校原有学生 376 人。小结：从以上 4 个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解
22、题规律是：（和+差）2=较大数 较大数-差=较小数或（和-差）2=较小数 较小数+差=较大数也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。例 5 在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9=5分析 这样想：从 1 至 9 这几个数字相加是不会得到 5 的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是 5，也就是说 1 到 9 的和是 45，而两部分的差是 5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。（45-5） 2=20，20+5=25可求出其中几个数的和是 25，而另外几个数的和是 20.在组成和是
23、25 的几个数前面添上“+”号，而在组成和是 20 的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。例如：5+6+9=20 可得到。1+2+3+4-5-6+7+8-9=5又如：5+7+8=20 可得到。1+2+3+4-5+6-7-8+9=5又如：3+4+6+7=20 可得到。1+2-3-4+5-6-7+8+9=5同学们，这道题你还有其他解法吗？试试看！习题九解答1.桃树的棵树：（150+ 20）2= 85（棵）梨树的棵树：150- 85= 65（棵）答：有桃树 85 棵，梨树 65 棵。2.甲桶油重：（30+ 62）2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）答：甲桶油重 21 千克，乙桶油重
24、 9 千克。3.锡的重量：（500-100）2= 200（千克）铝的重量：500- 200= 300（千克）答：锡重量是 300 千克，铝的重量是 200 千克。4.今年的产值：（962+10）2=101（万元）去年的产值：101-10=91（万元）答：今年的产值是 101 万元，去年的产值是 91 万元。5.乙校原有人数：1245-（202+5）2=600（人）甲校原有人数：1245-600645（人）答：甲校原有学生 645 人，乙校原有学生 600 人。6.三个物体的总重量：313=93（千克）甲物体的重量：（93-1）2=46（千克）丙物体的重量：（93-46-2）（2+1）=15（千克）乙物体的重量： 93-46-15=32（千克）答：甲、乙、丙三个物体的重量分别为 46 千克、32 千克、15 千克。7.甲队原有人数：（2852+ 24+198O） 2=1287（人）乙队原有人数：1287-594= 693（人）答：甲队原有 1287 人，乙队原有 693 人。8.解（略），答：甲班比丙班人数多，多 2 名学生.
