1、三角函数典型例题1 设锐角 的内角 的对边分别为 , .ABC， ， abc， ， 2sinA() 求 的大小;() 求 的取值范围.cosin【解析】:() 由 ,根据正弦定理得 ,所以 ,2sabAsinisAB1i2由 为锐角三角形得 .ABC6B() cosincosini6A13cossin2A.3in2 在 中,角 A BC 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C() 求角 B 的大小;()设 且 的最大值是 5,求 k 的值.241msin,co,k,mn【解析】:(I)(2 a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBco
2、s C 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA 01,t=1 时, 取最大值.依题意得,-2+4 k+1=5,k= .233 在 中,角 所对的边分别为 , .ABC, cba， 2sin2siCBAI.试判断 的形状; II.若 的周长为 16,求面积的最大值.【解析】:I. )4si(sin2cosin2si C,所以此三角形为直角三角形.4C即II. , 当且仅当 时取等abba1622)(6ba号,此时面积的最大值为 .4634 在 中,a 、 b、 c 分别是角 A BC 的对边,C =2A, ,AB 4
3、3cos(1)求 的值;Cosc(2)若 ,求边 AC 的长27【解析】:(1) 816921cossc2A47sin,43;873in,81osC得由得由 16983cosinc CAAB(2) 24,7o,27 aBa又 cCca3s,sini由解得 a=4,c=6 251694816os22 ab,即 AC 边的长为 5.55 已知在 中, ,且 与 是方程 的两个根.ABCAtanBt 0652x() 求 的值;)tan() 若 AB ,求 BC 的长.5【解析】:() 由所给条件 ,方程 的两根 . 0652xtan3,t2AB tanttan()1ABB31() , .80C)(由
4、()知, ,)tan(t 为三角形的内角, 2si , 为三角形的内角, , tan3A3in10A由正弦定理得: siiBC .535210C6 在 中,已知内角 A BC 所对的边分别为 a、 b、 c,向量 ,B 2sin,3mB,且 2cos,1n/mn(I)求锐角 B 的大小;(II)如果 ,求 的面积 的最大值bACABCS【解析】:(1) 2sinB(2cos2 -1)=- cos2B/mnB2 32sinBcosB=- cos2B tan2B=-3 302B,2B= ,锐角 B=23 3(2)由 tan2B=- B= 或33 56当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得:34
5、=a2+c2-ac2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立)ABC 的面积 SABC= acsinB= ac12 34 3ABC 的面积最大值为 3当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得:564=a2+c2+ ac2ac+ ac=(2+ )ac(当且仅当 a=c= - 时等号成立)3 3 3 6 2ac4(2- )3ABC 的面积 SABC= acsinB= ac 2-12 14 3ABC 的面积最大值为 2- 37 在 中,角 A BC 所对的边分别是 a,b,c,且 .212acb(1)求 的值;2cossin2(2)若 b=2,求ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由
6、余弦定理:cosB= 14+cos2B= 2sinAC(2)由 b=2, .415sin,41coB得+ = ac+42ac,得 ac , SABC= acsinB (a=c 时取等号)a212 3812 35故 SABC 的最大值为 58 已知 ,求 的值)1(,tan2tan)si(4【解析】 ;a129 已知 3sin5coscos23tan2f (I)化简 f(II)若 是第三象限角,且 ,求 的值31cos25f【解析】10已知函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数 f(x)的图象可以由函数 y
7、=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1) 1cos23()in(1cos2)xfxxx 3sin2s().6xf的最小正周期 2.T 由题意得 2,6kxkZ即 ,.36kxkZ ()fx的单调增区间为 ,.3 (2)先把 sin2yx图象上所有点向左平移 12个单位长度, 得到 ()6的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 32个单位长度, 就得到 3siyx的图象 11已知 , , 2a)4cos,(inxbbaf(1)求 的单调递减区间)(xf(2)若函数 与 关于直线 对称,求当 时, 的最大值gy)(xf1340x)(xgy【解析】:(1) )sin(34co2
8、sin3)( xf当 时, 单调递减 ,24k)xf解得: 时, 单调递减 8310kx(f(2)函数 与 关于直线 对称)(gy)x1 342(sin2)( fxco34sin3x ,0x2,x 21,34s 时, 23)(maxg12已知 cosin,求下列各式的值;(1) 2i3;(2) siicos【解析】: 1cos2in,ta2Q (1) 2int 41s3cosan352(2)22 2siincossini221tat 3n513设向量 (si,co),(s,co),xbxR,函数 ()fxab(I)求函数 f的最大值与最小正周期;(II)求使不等式 3()2x成立的 x的取值集
9、合【解析】14已知向量 , , 与 为共线向量,且)132(cosm)(sinm0,2() 求 的值;in() 求 的值.cosin2【解析】:() 与 为共线向量, ,m0sin)1()32(cos即 32cosin() , 92)cos(ini197sin,)cosn2916)3(i 22又 , , 00cosin34cosin因此, 127cosin15如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 , ,于0753水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 ,AC=0.1km试探究图中 B,
10、D 间06距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,1.414, 2.449) 26【解析】:在 中, =30, =60- =30,ACADC所以 CD=AC=0.1又 =180-60-60=60,BCD故 CB 是 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 中, , AABCsinsi即 AB= 206351in6因此, km3.0263BD故 BD 的距离约为 0.33km 16已知函数 (其中 )的图象与 x 轴的交点()sin(),fxAxR0,2A中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 .2(,3M() 求 的解析式;( )当 ,
11、求 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m fx1x()fx【解析】： (1)由最低点为 得 A=2.()3M由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 ,2T2T由点 在图像上的2(,)34sin()13即 sin(故 4,kZ16k又 (0,)()2si()26fx故(2) 7,13x 当 = ,即 时, 取得最大值 2;当()fx6x即 时, 取得最小值-1,故 的值域为-1,2 2x()f17如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 ,50ABm,于 A 处测得水深 ,于 B 处测得水深 ,于 C 处测得水深10BCm80D
12、m20E,求 DEF 的余弦值 F【解析】:作 交 BE 于 N,交 CF 于 M./DMAC, 22301798F,5EN22() 50BC在 中,由余弦定理,DF222131986cos 05EDF18已知 ， ，51csin),2(求（1） （2） （3）o3sinco44sinco【解析】：（1） 479137i()i(3)sinco2562519已知函数 （ ， ， ）的一段图象如图s(xAy0A|所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。【解析】：（1）由图象可知： ；3228TT2A ，又 为“ 五点画法”中的第二点 2sinyx， 所求函数解析式为：384 3
13、2sin4yx（2）当 时， 单调递增324xkkZ， f 558xkZ， ，20已知 的内角 A BC 所对边分别为 a、b、c，设向量BC，)2cos),cs(1Bm，且 .)2cos,85(BAn89nm（）求 的值；tan（）求 的最大值.22icbC【解析】 （）由 ，得89 892cos)cos(15BA即 892)os(185BABA也即 )cs(5c4 BAsin5cosin osin991tan21已知函数 ，求：)42si(1)ta() xxxf（1）函数 的定义域和值域； （2）写出函数 的单调递增区间。(f【解析】: 4sin2co4sin1cosin)( xxxxf2
14、i2cosin1ii)i(xcos（）函数的定义域 ZkR,2,| Zkx,2,cosx函数 的值域为 )(f2（）令 得)(,kxk )(2Zkx函数 的单调递增区间是 )(xf )(,Z22如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为 4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60 秒转动一圈途中 与地面垂直以 为始边，逆时针转动 角OAA到 设 点与地面距离为 OBh（1）求 与 的函数解析式；h（2）设从 开始转动，经过 80 秒到达 ，求 . OAOBh【解析】：（1） ，0.80.84sin5.648sin(90)hABCB 5.64cos()h（2） ， ， ， (m)3t383co.
15、h23设函数 ).2sin,(co),1cs2(,)( mxxxf baba其 中 向 量（1）求函数 0的 最 小 正 周 期 和 在 上的单调递增区间；（2）当 xfx求 实 数恒 成 立时 ,4)(,60的取值范围。【解析】：（1） 1)62sin(2sin3co2 mxmxf ， 分上 单 调 递 增 区 间 为在 分的 最 小 正 周 期函 数 .,36,0,0 4)( Txf（2）当 3)(,)(,6maxfxxfx时当递 增时 ，分得解 之 分由 题 设 知 分时当 12.6, 0,4238)(,0min f24已知函数 ， 2()sin3cosfxxx42，（1）求 的最大值和
16、最小值；f（2） 在 上恒成立，求实数 的取值范围2)(mxf4x， m【解析】 （） ()1cos23cos21in3cos2fxxxx 12sin3又 ， ，4x 263x 即 ，21sin2 maxmin()3()ff，（） ， ，2()()2ffxfx 4且 ，max()f minf，即 的取值范围是 14 (14)25在锐角ABC 中,角 A BC 的对边分别为 a、b、c, 已知 .3tan)(22bcAc(I)求角 A;(II)若 a=2,求ABC 面积 S 的最大值【解析】:(I)由已知得 23sincosin2Ab又在锐角ABC 中 ,所以 A=60,不说明是锐角ABC 中,
17、扣 1 分 (II)因为 a=2,A=60所以 bcbS4si,42而 2 cbccb又 343sin1AS所以ABC 面积 S 的最大值等于 26甲船由 A 岛出发向北偏东 45的方向作匀速直线航行,速度为 15浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 浬处的2B 岛出发,朝北偏东 ( 的方向作匀速直线航行,速度为)21arctg10 浬/小时.(如图所示)5() 求出发后 3 小时两船相距多少浬?() 求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x
18、1, y1) Q (x2,y2). ,5sin,co,2154s可 得由 分则 artgxytt分40s50in2 tty(I)令 ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20) 3. 3458)2()4(| P即两船出发后 3 小时时,相距 锂 (II)由 (I)的解法过程易知 : 208)4(5016405 10)5(1()(| 2222 tt tttyx 分当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 即两船出发 4 小时时,相距 20 海里为两船最近距离. 227在锐角 中，已知内角 A BC 所对的边分别为 a、b、c，且 (tanAtanB)ABC1tanAtan B
19、(1)若 a2abc 2b 2，求 A BC 的大小；(2)已知向量 (sinA，cosA) ， (cosB，sinB)，求3 2 的取值范围mnmn【解析】28如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AO C小区的两个出入口设置在点 A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路 ，且拐弯处的转角为 已知AD， 120某人从 沿 走到 用了 10 分钟，从 沿 走到 用了 6 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 的长（精确到 1 米） O【解析】解法一：设该扇形的半径为 r 米. 由题意，得CD=500（米） ，DA=300（米） ，CDO= 06在 中， CDO2 02cos,CDC即
20、 2 1503503rrr解得 （米） 491解法二：连接 AC，作 OHAC，交 AC 于 H 1200OCADH1200OCA由题意，得 CD=500（米） ，AD =300（米） ， 012CDA22 2, cos5035037,ACD在 中 AC=700（米） 221cos .4ACDC在直角 ,350,cos0,HOHA中 （ 米 ） （米） 49cos1A29已知角 的顶点在原点,始边与 x轴的正半轴重合,终边经过点 (3,)P.(1)求 tan的值;(2)定义行列式运算 bcdac,求行列式 sinta1co的值 ;(3)若函数 os()si()inoxf( xR),求函数 23
21、)yff的最大值,并指出取到最大值时 x 的值【解析】:(1) 角 终边经过点 (3,P, tan3. (2) 1si2, cos. nta3intas412. (3) ()co)si()sincofxxx ( R), 函数 23(co2y sin1sxi()16x( ), max3y, 此时 ()6xkZ. 30已知函数 .2()sinco)+sf x() 求函数 的最小正周期;()当 时,求函数 的最大值,并写出 x 相应的取值.fx0fx【解析】:() 因为 222()sinco)+sinsicoscofxx( ) 1sin2cox=1i(4所以, ,即函数 的最小正周期为 Tfx() 因为 ,得 ,所以有 02x5442sin()14x,即 1sin()01sin()1x所以,函数 的最大值为 fx2此时,因为 ,所以, ,即 52444x8x
