1、山东省师大附中 2015 届高三第一次模拟考试数学（理）试题本试卷共 4 页，分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分共 150 分考试时间120 分钟第卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1、设全集 ，集合 ， ，则0,432,1U0,21A0,43B（ ）BAC)(A B C D0, ,2、已知 , 是虚数单位，则在复平面中复数 对应的点在（ ）2()fxi (1)3fiA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3、设随机变量 服从正态分布 N(0,1)，若P ( 1)= p，则 P
2、(-1 0)=（ ）A B C Dp21p121p214、设 0x ，则“xsin 2x1”是“xsin x 1”的（ ）2A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5、已知两个不同的平面 、 和两条不重合的直线 、 ，有下列四个命题：mn若 则 ；,/mn若 则 ；/若 则 ；,/若 则 .,nmm/其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D36、 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ()cos2)3fx()sin2)gx）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度22C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度447、已知双曲线 的右焦点为
3、F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个21xy交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A B C D3,3, 3,3,8、某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为 （ ）A360 B520 C600 D7209、 设函数 若 ， ，则关于 x 的方程2,0(),.xbcf(4)0ff(2)f的解的个数为 （ ）()fxA4 B3 C2 D110、已知向量 与 的夹角为 ， =2， =1， ， ，OOABPtOAQtB在 时取得最小值.当 时，夹角 的取值范围为（ ）PQ0t
4、015tA B C D3,2,332,32,0第 卷 （非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11、若 对任意的 恒成立，则实数 k 的取kx31xR值范围为_12、如图给出的是计算 的值的程序框图，11246204其中判断框内应填入的是_ _ 13. 已知圆 C 过点 ，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：)0,(结束开始i =2, S=0i =i +2S=S+1/i输出 S否是被该圆所截得的弦长为 ，则圆 C 的标准方程为 .1xy214、定义： ，在区域 内任取一点 ，则 x、y 满足,min,ab026xyP,的概率为_2 2i,4xy
5、x15、已知 0,，若 恒成立，则实数 m的取值范围是 .myx82三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、 （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别是 a，b ，c ，且.acbca212（）求 的值；CAossin（）若 b = 2，求ABC 面积的最大值17、 （本小题满分 12 分）如图，在七面体 ABCDMN 中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形， 平面 ABCD， 平面 ABCD，且MDNBMD =2，NB=1，MB 与 ND 交于 P 点（）在棱 AB 上找一点 Q，使 QP / 平面 AMD ，并
6、给出证明；（）求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值18、 （本小题满分 12 分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一 、 二 、 三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响 .4532（）求该同学被淘汰的概率；（）该同学在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.19、 （本小题满分 12 分）设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有na*Nn，其中 为数列 的前 n 项和nnaS2nS()求数列 的通项公式；(）设 ( 为非零整数， )，试确定 的值
7、，使得对任意nnab2.)1(3*Nn，都有 成立.*Nb20、 （本小题满分 13 分）已知椭圆 过点 ，且长轴长等于2:1(0)xyCab3(1,)24.（I）求椭圆 C 的方程；（II）F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点，O 是以 F1，F 2 为直径的圆，直线 与O:lykxm相切，并与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，若 的值.3,Ok求21、 （本小题满分 14 分）已知函数 在点 的切线方程为1)(2xbaf )1(,f.03yx（）求函数 的解析式；()fx（）设 ，求证： 在 上恒成立；gln)(xfg),1（）已知 ，求证： .ba02lnba参考答案及评分标准1、选择
8、题（每小题 5 分，共 50 分）1、B 2、A 3、D 4、B 5、D 6、C 7、A 8、C 9、B 10、C 2、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11、 12、 13、 14、 15、 42m ,201i432yx三、解答题：本大题共六小题，共 75 分。16、 （ ）在ABC 中，由余弦定理可知， ，由题意知Bacbcaos22， ；2 分acbca21241osB又在ABC 中 ，CA 1cos21coscs2sinsin 22 BB，又 ， .6 分1coB41o4inCA（）b =2 ，由 可知， ，acbca22ac212即 ， ，8 分421ca38 ， 10 分osB
9、15sin .3482i1acSACABC 面积的最大值为 12 分1517、 （）当 时，有 /平面 AMD.3BQP证明：MD 平面 ABCD，NB 平面 ABCD，MD/NB，2 分 ，又 ， ，4 分12PNMDAQBNMD在 中，QP/AM，AB又 面 AMD，AM 面 AMD， / 面 AMD.分QP（）解：以 DA、DC、DM 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0） ，B（2,2,0） ，C（0,2,0） ，M（0,0,2）N（2,2,1） ， =（0, -2,2） ，CM=（ 2,0,1） ， =（0,2,0） ，7 分CN设平面 CMN
10、 的法向量为 =（x,y,z ）则 ， ，1n10n20yxz =（ 1,-2,-2）.9 分1n又 NB 平面 ABCD，NB DC，BC DC，DC 平面 BNC，平面 BNC 的法向量为 =2n=（0,2,0 ） ，11 分DC设所求锐二面角为 ，则 .12 分124cos3n18、解：（）记“该同学能正确回答第 轮的问题”的事件为 ，i (123)iA， ，则 ， ， ，3 分14()5PA23()()5PA该同学被淘汰的概率 12312123)()()()PP 分0（） 的可能值为 1,2,3， ，1()(5PA， 121248()()(5PA12124313)()(5PA8 分 的
11、分布列为1 2 3P 5815分 分1273E19、解：（） *nN时， ，nnaS当 时， ，2 分2n211aSa由得， 1()(2)nnn即 ， ，4 分211n01)(1na由已知得，当 时， ， .分2aS1故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列. . 分na *()Nna（） ， ,7 分*()Nnb2)(31 .11132n nnb 13()2nn要使得 恒成立,只须 . 分n1()()n(1)当 为奇数时,即 恒成立.又 的最小值为 , . 9 分122n1(2)当 为偶数时,即 恒成立.又 的最大值为 , 分3()n13()32由(1),(2)得 ,又 且 为整数,分1
12、0 对所有的 ,都有 成立. 分1*Nn1nb20、 解：（ ）由题意，椭圆的长轴长 ，得 ，2 分42a点 在椭圆上， 得 ，分23, 492b3椭圆的方程为 .6 分132yx（）由直线 l 与圆 O 相切，得 ，即 ，设 ，由12km22k21,yxBA消去 y，整理得 8 分,1342mkxy,01484322x由题意可知圆 O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，.22121 43,438kxk10 分.12222 11 kmkmkxxy 11 分,437434222211yx ， .2 分22km22115kyx ， ， ，得 k 的值为 .13 分23OBA2345k1k221、 解：（ ）将 代入切线方程得 ， ，1xy1)(abf分化简得 . ，分4ab22)()(xbaf，12)1( bf解得： . . 分 ,ba)(2xf（）由已知得 在 上恒成立，1ln2x),化简 ，即 在 上恒成立.)1(2x 02lnx),1分设 ， ， 分 2ln)(2xh l)(h ，即 ，分1x1,00x 在 上单调递增， ， 在 上恒成立 )(),)(x)(xfg),1.分 （） ， ，由（）知有 ， 12 分ba01a2ln()1ba整理得 ，当 时， . 14 分2lnb02lb
