1、1平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1塞瓦定理及其证明定理：在 ABC 内一点 P，该点与 ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC 三边 AB、BC 、CA 于点 D、E、F，且 D、E、F 三点均不是 ABC 的顶点，则有1ABCA证明：运用面积比可得 DCADPBBS根据等比定理有 ADCADCADPAPCADPBBBBBSS ，所以 同理可得 ， APCBSAPCESPCABFS三式相乘得 1DF注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底” ，这样就可以产生出“边之比” 2塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 三边 AB、BC、CA 上各有
2、一点 D、E、F，且 D、E、F 均不是ABC 的顶点，若 ，那么直线1ADBECFCD、AE、BF 三线共点证明：设直线 AE 与直线 BF 交于点 P，直线 CP 交AB 于点 D/，则据塞瓦定理有/ 1ABECF因为 ，所以有AA B C D E F P A B C D E F P / 2由于点 D、D /都在线段 AB 上，所以点 D 与 D/重合即得 D、E、F 三点/ADB共线注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证二、 梅涅劳斯定理3梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与 ABC 的三边 AB、BC、CA所在直线分别交于点 D、E、 F，且 D、E、F 均不是ABC
3、的顶点，则有1ABC证明：如图，过点 C 作 AB 的平行线，交 EF 于点 G因为 CG / AB，所以 GFAD（1）因为 CG / AB，所以 （2）CEB由（1）（2）可得 ，即得 FADA 1DBECFA注：添加的辅助线 CG 是证明的关键“桥梁” ，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁” （CG ）使得命题顺利获证4梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 的边 AB、BC 上各有一点 D、E ，在边 AC 的延长线上有一点 F，若，1ADBECF那么，D、E、F 三点共线证明：设直线 EF 交 AB 于点 D/，则据梅涅劳斯定理有/ 1ABECFA A B C D E
4、 F / A B C D E F G3因为 ，所以有 由于点 D、D /都在线段 AB1ADBECF/ADB上，所以点 D 与 D/重合即得 D、E、F 三点共线注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律三、 托勒密定理5托勒密定理及其证明定理：凸四边形 ABCD 是某圆的内接四边形，则有ABCD + BCAD = ACBD证明：设点 M 是对角线 AC 与 BD 的交点，在线段 BD上找一点，使得 DAE = BAM因为 ADB = ACB，即 ADE = ACB，所以ADE ACB，即得，即 ADECBABCDE（1）由于 DAE = BAM，所以 DAM =
5、BAE，即 DAC = BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE ACD即得，即 （2）AECDABCBE由（1）+（2）得DACBD所以 ABCD + BCAD = ACBD注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试6托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形 ABCD 满足 ABCD + BCAD = ACBD，那么 A、B、C、D 四点共圆证法 1（同一法）：在凸四边形 ABCD 内取一点 E，使得 ， ，则ABDCE EABDC可得 ABCD = BEAC （1）A B C D E A B C
6、 D E M4且 （2）AEBDC则由 及（2）可得 于是有ADAECBADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )据条件可得 BD = BE + DE，则点 E 在线段 BD 上则由 ，得EADC，这说明 A、B、C、D 四点DBAC共圆证法 2（构造转移法）延长 DA 到 A/，延长 DB 到 B/，使A、B、 B/、A /四点共圆延长 DC 到 C/，使得B、 C、C /、B /四点共圆 （如果能证明 A/、B /、C /共线，则命题获证）那么，据圆幂定理知 A、C、C /、A /四点也共圆因此， /ABD/BDC可得 ./
7、/ABCD另一方面， ，即 /ADC/A欲证 = ，即证/ /B/CD/ / /ACDABABAD即 / /( )BCDBC据条件有 ，所以需证，/ /CAADA B C D A/ / C/ 5即证 ，这是显然的所以，/ /CDAD，即 A/、B /、C /共线所以 与 互/AB /AB/C补由于 ， ，所以 与/B/DCDAB互补，即 A、B、C、D 四点共圆DC7托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形 ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有ABCD + BCAD ACBD证明：如图，在凸四边形 ABCD 内取一点 E，使得， ，则EABDCEBADC 可得 ABCD = BEAC
8、 （1）且 （2）AEBDC则由 及（2）可得 于是ADAECBADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )因为 A、B、C、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCAD ACBD所以 BE + DE BD，即得点 E 不在线段 BD 上，则据三角形的性质有 BE + DE BD所以 ABCD + BCAD ACBD四、 西姆松定理8西姆松定理及其证明定理：从 ABC 外接圆上任意一点 P 向 BC、CA、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为 D、E 、F，则 D、E、F 三点共线证明：如图示，连接 PC，连接 EF
9、 交 BC 于点 D/，连接 PD/因为 PE AE，PF AF，所以 A、F 、P、E 四点共圆，可得 FAE = FEPA B C P E F D A B C D E 6因为 A、B、P 、C 四点共圆，所以 BAC = BCP，即 FAE = BCP所以， FEP = BCP，即 D/EP = D/CP，可得 C、D /、P、E 四点共圆所以， CD/P + CEP = 1800。而 CEP = 900，所以 CD/P = 900，即 PD/ BC由于过点 P 作 BC 的垂线，垂足只有一个，所以点 D 与 D/重合，即得 D、E、F 三点共线注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以
10、便充分地调用题设条件但需注意运用同一法证明时的唯一性（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法五、 欧拉定理9欧拉定理及其证明定理：设 ABC 的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H 表示则有 G、O、 H 三点共线（欧拉线） ，且满足 3证明（向量法）：连 BO 并延长交圆 O 于点 D。连接CD、AD、HC，设 E 为边 BC 的中点，连接 OE 和OC则 AHO因为 CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理 CH / DA所以，AHCD 为平行四边形从而得 而 ，所以 DCAHOE2OEAH2因为 ，所以 OBE21CB由得： CAH另一方面， GCBO
11、AGFG2而 ，所以OBO， BCA312由得： 结论得证OGH3注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握ABCDOEH7向量对几何问题的表现手法；（2）此题也可用纯几何法给予证明又证（几何法）：连接 OH，AE，两线段相交于点 G/；连 BO 并延长交圆 O 于点 D；连接CD、AD 、HC ，设 E 为边 BC 的中点，连接 OE 和OC，如图因为 CD BC，AHBC，所以 AH / CD同理 CH / DA所以，AHCD 为平行四边形可得 AH = CD而 CD = 2OE，所以 AH = 2OE因为 AH / CD，CD / OE，所以 AH /
12、OE可得 AHG/ EOG/所以/21AHGOEO由 ，及重心性质可知点 G/就是 ABC 的重心，即 G/与点 G 重合/21所以，G、O、H 三点共线，且满足 3H六、 蝴蝶定理10蝴蝶定理及其证明定理：如图，过圆中弦 AB 的中点 M 任引两弦 CD和 EF，连接 CF 和 ED，分别交 AB 于 P、Q，则 PM = MQ证明：过点 M 作直线 AB 的垂线 l，作直线 CF 关于直线 l 的对称直线交圆于点 C/、F /，交线段 AB 于点Q/连接 FF/、DF /、Q /F/、DQ /据圆的性质和图形的对称性可知：MF/Q/ = MFP， F/Q/M = FPM；且 FF/ / A
13、B，PM = MQ /因为 C、D、F /、F 四点共圆，所以CDF/ + CFF/ = 1800，而由 FF/ / AB 可得 Q/PF + CFF/ = 1800，所以CDF/ = Q/PF，即 MDF/ = Q/PF又因为 Q/PF = PQ/F/，即 Q/PF = MQ/F/所以有A B C D E F P Q M C/F/ Q/ ABCDOEHG 8MDF/ = MQ/F/这说明 Q/、D、F /、M 四点共圆，即得 MF/Q/ = Q/DM因为 MF/Q/ = MFP，所以 MFP = Q/DM而 MFP = EDM，所以 EDM =Q/DM这说明点 Q 与点 Q/重合，即得 PM
14、 = MQ此定理还可用解析法来证明：想法：设法证明直线 DE 和 CF 在 x 轴上的截距互为相反数证：以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，M 点是坐标原点设直线 DE、CF 的方程分别为x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；直线 CD、EF 的方程分别为 y = k1 x ，y = k 2 x 则经过 C、D、E、F 四点的曲线系方程为(y k1 x )(y k2 x)+ (x m1 yn1)(x m2 y n2)=0整理得( +k1k2)x 2+(1+ m1m2)y 2(k1+k2)+ (m1+m2)xy (n1+n2)x+
15、 (n1m2+n2m1)y+ n1n2=0由于 C、D、E、F 四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须+ k1 k2 = 1 + m1 m2 0，且 (k1+k2)+ (m1+m2)=0若 =0，则 k1k2=1，k 1+k2=0，这是不可能的，故 0； 又 y 轴是弦 AB 的垂直平分线，则圆心应落在 y 轴上，故有 ( n1 + n2 ) = 0，从而得n1 + n2 = 0这说明直线 DE、CF 在 x 轴上的截距互为相反数，即得 PM = MQ注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法ABCDEFPQMxy
