1、1误差理论与数据处理第一章 绪论1-1研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。1-2试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测量条件下
2、，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化） ；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。1-3试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定15 测得某三角块的三个角度之和为 180o0002”,试求测
3、量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1m，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差测得值真值，即： LLL 0 已知：L50，2180oo %031.03864.642 o2L1m0.001mm，测件的真实长度 0LL500.00149.999（mm）1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的误差测得值实际值
4、，即：100.2100.50.3（ Pa）1-8 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20 ，试求m其最大相对误差。 %108.6 2310maxax4-6-测 得 值绝 对 误 差相 对 误 差1-9、解：由 ，得214()hgT2 2.039.805m/s对 进行全微分，令 ，并令 ， ， 代替 ，214()hgT12hgAhTdg， 得d22348TgA从而 的最大相对误差为：2ghTAmaxaxmax= 0.50.5214348=5.3625 %3由 ，得 ，所以214()hgT24hg23.59.0.7908由 ，有maxaxmaxghTAAax maxinin
5、ax(),()22gghTTBSBSA1-10 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.210210测 量 范 围 上 限某 量 程 最 大 示 值 误 差最 大 引 用 误 差该电压表合格 1-11 为什么在使用微安表等各种表时，总希望指针在全量程的 2/3范围内使用？答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差:即:所以当真值一定的情况下，所选用的仪表的量程越小，相对误差越小，测量越准确。因此我们选择的量程应靠近真值，所以在测量时应尽量使指针靠近满度范围的三分之二以上 1-12 用两种方
6、法分别测量 L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差L1:50mm 0.8%1504.1IL2:80mm 75862max0%sA max0sA4所以 L2=80mm 方法测量精度高。21I113 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度 L1=110mm，其测量误差分别为和 ；而用第三种测
7、量方法测量另一零件的长度 L2=150mm。m19其测量误差为 ，试比较三种测量方法精度的高低。2相对误差 0.1%1mI8292.503I第三种方法的测量精度最高12I第二章 误差的基本性质与处理2-1试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度；2-2试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 ，两者物理意义及实际用途有何不同。%0110.25.mc52-3 试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率2-4测量某物体重量共 8
8、 次，测的数据(单位为 g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。 0.5(.3)0.1(.6)(0.1).80723648.x210.59niv.xn2-5 用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算 2-4，并比较2-6 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 168.4.168.9.40168.5x.()mA)(082.1552vi37()x mAn或然误差： 0.
9、645.0.37.25()xRmA平均误差： 7990.3xT2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量 5 次，测得数据（单位为mm）为 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99%的置信概率确定测量结果。620.15.062.180.52.015x.()m5210.5iv正态分布 p=99%时， t8limxx0.25.3()测量结果： lim2015.03)xXm27 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据(单位为mm)为 200015，20.0016，20.0018，20.0015，20.001
10、1。若测量值服从正态分布，试以 99的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值求单次测量的标准差求算术平均值的标准差确定测量的极限误差因 n5 较小，算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。现自由度为：n14； 10.990.01，查 t 分布表有： ta4.60极限误差为nli.1vi 482105.6mx4. mtxx 44lim 102.51.047写出最后测量结果2-9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差，若要求测量结果的置信限为 ，当置信概率为m04. m05.99%时，试求必要的测量次数。正态分布 p=99%时， t2.58limxtn2.58042.6.n取21
11、0 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差 0.001mm，若要求测量的允许极限误差为0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有 015.nttx根据题目给定得已知条件，有 .01.t查教材附录表 3 有若 n5，v4，0.05，有 t2.78， 24.136.785.2n若 n4，v3，0.05，有 t3.18， 59.2.4.即要达题意要求，必须至少测量 5 次。2-12 某时某地由气压表得到的读数（单位为 Pa）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，10
12、1724.69，101591.36，其权各为 1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权L4li18算术平均值及其标准差。)(34.102881Papxiii)(95.86)1(82Papviixix2-13 测量某角度共两次，测得值为 ， ，6312424132其标准差分别为 ，试求加权算术平均值及其标准差。8.,1.32961:04:2121p352434 x0.96101.21 iixpi2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角 各重复测量 5 次，测得值如下： ;127,0,5327,0,27: 甲545乙试求其测量结果。甲： 20“63520“17 730“x 甲51iv222甲
13、 （ -“） （ ） “（ -） （ 5）4918.4“x235甲甲乙： “05“47 723“ 乙521 1iv 22222乙 （ -8“） （ ） （ “） （ ） （ “）43.5“x3.56.0乙乙22x11:48:78p乙乙甲 甲 3640“3“2甲 乙 乙甲 乙甲 3“78.4682. 乙甲 甲甲 px1537xX2-15试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为 n 乘以任一个测量值的权。证明：解：因为 n 个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差：n 个测量值算术平均值的标准偏差为：已知权与方差成反比，设单次测量的权为 P1，算术平均值的权为 P2，则2-16 重力加速度
14、的 20 次测量具有平均值为 、标准差为2/81.smxn1221:xPnn10。另外 30 次测量具有平均值为 ，标准差为2/014.sm2/80.9sm。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此 50 次测量的平均值和标准差。147:230.:214.0:1:221 xp)/(9.874.9.82smx）（ 2/0.5120.x2-17 对某量进行 10 次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14x按贝塞尔公式 263.01按别捷尔斯法 0.264)1(5.10i2v由
15、得 u123.12所以测量列中无系差存在。67.0n2-18 对一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，后6 次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法：11排序：序号 1 2 3 4 5第一组第二组 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82序号 6 7 8 9 10第一组 50.82 50.83 50.87 50.89第二组 50.85T=5.5+
16、7+9+10=31.5 查表 14T30所以两组间存在系差T2-19 对某量进行 10 次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14x按贝塞尔公式 23.01按别捷尔斯法 0.264)1(5.10i2v由 得 u123.12所以测量列中无系差存在。67.0n2-20对某量进行 12 次测量，测的数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在
17、系统误差。解：(1)残余误差校核法 20.15x12(0.65.0.65.40.25.)(0.15.0.5.0.85.6)4A因为 显著不为 0，存在系统误差。（2）残余误差观察法残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系统误差。（3） 120.5iv122.5.6()in120.9u.631un所以不存在系统误差。2-2213第三章 误差的合成与分配3-1 相对测量时需用 的量块组做标准件，量块组由四块量块研54.2m合而成，它们的基本尺寸为 ， ， ，l01ml12l25.3。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为l0.14, , ,7l5.2l
18、3.14,20.,25.0,35.0,1.0 3limlim1lim4l 。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量2lim带来的测量误差。修正值= )(4321ll= 1.05.70=0.4 )(m测量误差:=l4321 lim2lilili2 = 2)0.().()5.0()3.(= 5m3-2 为求长方体体积 ，直接测量其各边长为 ，Vma6.1, ,已知测量的系统误差为 ，4.bc2.12.， ，测量的极限误差为 ，8050a80， ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。mb5.c.aV),(baf2.1546.10bc)(.853m体积 V 系统误差 为：cabbc)(74.
19、25)(74.253315立方体体积实际大小为： )(70.9530mV222lim)()()( cbaV fff 222cbacb)(1.3793测量体积最后结果表示为: VVlim0 3)1.7290.5(m33 长方体的边长分别为 1， 2, 3 测量时：标准差均为 ；标准差各为 1、 2、 3 。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为： 321a体积的标准差应为： 2321)()()( aVV现可求出： ； ；321aV312a21若： 32则有： 2322123221 )()()()()()( aVaVaVaV 2123123若： 21则有： 23123123 )()()( a
20、aV 3-4 测量某电路的电流 ，电压 ，测量的标准差分mAI5. VU6.16别为 ， ，求所耗功率 及其标准差 。mAI5.0VU1.0UIPPP.261)(583w成线性关系 ),(If、1UIIuIUP ff )(2)(2IIff5.0612.5)(.8mw3-9测量某电路电阻 R 两端的电压 U，按式 I=U/R 计算出电路电流，若需保证电流的误差为 0.04A，试求电阻 R 和电压 U 的测量误差为多少？解：在 I=U/R 式中，电流 I 与电压 U 是线性关系，若需要保证电流误差不大于 0.04A，则要保证电压的误差也不大于 0.04R。312 按公式 V=r2h 求圆柱体体积，
21、若已知 r 约为 2cm，h 约为 20cm，要使体积的相对误差等于 1，试问 r 和 h 测量时误差应为多少?解：若不考虑测量误差，圆柱体积为 322 .5104.3cmrV根据题意，体积测量的相对误差为 1，即测定体积的相对误差为： %V即 5.2.251%现按等作用原则分配误差，可以求出测定 r 的误差应为： cmhrrVr 07.214./2测定 h 的误差应为： crh 1415/23-14 对某一质量进行 4 次重复测量，测得数据(单位 g)为17428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差 测量,6.2g的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各
22、误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。48.305.26.96.428x)(.)(7.g最可信赖值 )(4.316.28gx31251)(4)(iiiiix xfef9.4g测量结果表示为: xxg)9.43(第四章 测量不确定度41 某圆球的半径为 r，若重复 10 次测量得 r r =(3.1320.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99。极限误差g序号随机误差 未定系统误差误差传递系数123456782.14.51.01.51.00.52.21.8111111.42.2118解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆
23、球的最大截面的圆周为： rD2其标准不确定度应为： 2222 05.149.3rrDu0.0314cm确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）3.25，及 K3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：UKu3.250.03140.102求圆球的体积的测量不确定度圆球体积为： 34rV其标准不确定度应为： 61.05.132.459.3162422 rru确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）3.25，及 K3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为UKu3.250.6162.0024-2望远镜的放大率 D=f1/f2，已测得物镜主焦距f11=（19.80.10）cm，目镜
24、的主焦距f22=（0.8000.005）cm，求放大率测量中由 f1、f2 引起的不确定度分量和放大率 D 的标准不确定度。4-3测量某电路电阻 R 两端的电压 U，由公式 I=U/R 计算出电路电流 I，若测得 Uu=（16.500.05）V，RR=（4.260.02）、相关系数 UR=-0.36,试求电流 I的标准不确定度。4-4 某校准证书说明，标称值 10 的标准电阻器的电阻 R 在 20 时为C（P=99%） ，求该电阻器的标准不确定度，并说明129074.1属于哪一类评定的不确定度。由校准证书说明给定19属于 B 类评定的不确定度R 在10.000742 -129 ，10.0007
25、42 +129 范围内概率为99%，不为 100%不属于均匀分布，属于正态分布当 p=99%时，129a2.58pK0().58RpU4-5 在光学计上用 52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是： ， ，140lm210lm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过32.5lm、 、 （取置信概率 P=99.73%的正态分布） ，04.30.25求该量块组引起的测量不确定度。 2.5Lm140lm21lm3.l12L9.73%p3pK10.45.()3lpaUmk201()lpaUmk3.2.8()lp321lllL220.15.0.80
26、.()m第五章 线性参数的最小二乘法处理205-1 测量方程为 试求 x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。32.901.xy误差方程为123().93vxy列正规方程 代入数据得112122111nnniiiiiiaalxy解得 453.6xy05.96将 x、y 代入误差方程式123(2.015) 329.63v测量数据的标准差为322110.8niivt求解不定乘数 12d12212450d解得 08.21dx、y 的精度分别为 01.dx01.2dy215-7 不等精度测量的方程组如下：1235.6,4820.,xyp试求 x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。列误差方程1122335
27、.6(),840.,vxyp正规方程为31121332 2111ii iiiiiipaxaypl代入数据得解得 456.13xy352.4yx将 x、y 代入误差方程可得 016.321v则测量数据单位权标准差为 39.21iip求解不定乘数 12d12122450d解得 07.21dx、y 的精度分别为 06.1dx01.2dy22第六章 回归分析6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：正应力 x/Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9抗剪强度 y/Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9正应力 x/Pa 24
28、.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6抗剪强度 y/Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9假设正应力的数值是正确的，求（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。（2）当正应力为 24.5Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？（1）设一元线形回归方程 bxy012Nxyl0047.3l53.9xyl69.047.352xylb xyb69.042 69.427.57.4.1260（2）当 X=24.5Pa )(7.5.269.04 Pay236-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线 表示。xyabx 30 35 40 45 50 55 60y -0.4786 -2.188 -11.22 -45.71 -208.9 -870.9 -3802xbayabx log)l()log(1Zx2取点做下表Z2 30 40 50 60Z1 -0.32 1.05 2.32 3.58以 Z1 与 Z2 画图所得到图形为一条直线，故选用函数类型 合适xaby
