1、 1 第一章 绪论 1 5 测得某三角块的三个角度之和为 180o00 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在 测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20 m ，试求其最大相对误差。 %108 .6 6 %1002 .3 11020 100%m a xm a x4-6-测得值绝对误差相对误差1-10检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V刻度点的示值误差 2V为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%1002100% 测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表 合
2、格 1-12 用两种方法分别测量 L1=50mm， L2=80mm。测得值各为 50.004mm， 80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L1:50mm 0 . 0 0 8 %100%50 50004.501 IL2:80mm 0 . 0 0 7 5 %100%80 80006.802 I21 II 所以 L2=80mm 方法 测量 精度高。 1 13 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm，优秀射手能在距离 50m远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高 ? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对 误差为： 多
3、级火箭的射击精度高。 1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度 L1=110mm，其测量误差分别为 m11 和 m9 ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度 L2=150mm。其测量误差为 m12 ，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0 .0 1 %110111 mmmI 0 . 0 0 8 2 %11092 mmmI %008.0150123 mmmI 123 III 第三种方法的测量精度最高 21802000180 oo%000031.010000030864.0064800 20660180 2180 2 o%001.000001.0100001.0 %002.00002.05
4、001.0501 mmmcm2 第二章 误差的基本性质与处理 2-6测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41， 168.54， 168.59， 168.40， 168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 1 6 8 . 4 1 1 6 8 . 5 4 1 6 8 . 5 9 1 6 8 . 4 0 1 6 8 . 5 05x 168.488( )mA )(082.015512mAvi i 0 .0 8 2 0 .0 3 7( )5x mAn 或然误差： 0 . 6 7 4 5 0 . 6 7 4 5 0 . 0 3 7 0 . 0 2 5 ( )xR
5、 m A 平均误差： 0 . 7 9 7 9 0 . 7 9 7 9 0 . 0 3 7 0 . 0 3 0 ( )xT m A 2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量 5 次，测得数据（单位为 mm）为 20.0015， 20.0016， 20.0018，20.0015 ， 20.0011 。若测量值服从正态分布，试以 99% 的置信概率确定测量结果。2 0 . 0 0 1 5 2 0 . 0 0 1 6 2 0 . 0 0 1 8 2 0 . 0 0 1 5 2 0 . 0 0 1 15x 20.0015( )mm 5 21 0 .0 0 0 2 551iiv 正态分布 p=99%
6、时， t 2.58 limxxt 0.000252.585 0.0003( )mm 测量结果： l i m ( 2 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 0 3 )xX x m m 2-9 用某仪器测量工件 尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差 mm004.0 ，若要求测量结果的置信限为mm005.0 ，当置信概率为 99%时，试求必要的测量次数。 正态分布 p=99%时， t 2.58 limx t n 2 .5 8 0 .0 0 4 2 .0 6 40 .0 0 54 .2 65nnn取2 9 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差 0.001mm，若要求测量的允许极限误差 为 0.
7、0015mm，而置信概率 P为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有 0015.0 ntt x 根据题目给定得已知条件，有 5.1001.00015.0 nt 查教材附录表 3有 若 n 5， v 4， 0.05，有 t 2.78， 24.1236.2 78.2578.2 nt 若 n 4， v 3， 0.05，有 t 3.18， 59.1218.3418.3 nt 即要达题意要求，必须至少测量 5次。 2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为 Pa） 为 102523.85， 102391.30， 102257.97， 102124.65， 101991.33，1018
8、58.01， 101724.69， 101591.36，其权各为 1， 3， 5， 7， 8， 6， 4， 2，试求加权算术平均值及其标准差。 )(34.1020288181 Papxpxiiiii 3 )(95.86)18(81812Papvpiiixiix 2-13测量某角度共两次，测得值为 6331241 ， 2413242 ，其标准差分别为 8.13,1.3 21 ，试求加权算术平均值及其标准差。 961:190441:1:222121 pp35132496119044 49611619044201324 x 0.396119044190441.321 i iixx ppi 2-14
9、甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角 各重复测量 5次，测得值如下： ;5127,0227,5327,037,0227: 甲 ;5427,0527,0227,5227,5227: 乙 试求其测量结果。 甲： 2 0 “ 6 0 “ 3 5 “ 2 0 “ 1 5 “7 2 7 2 3 0 “5x 甲5 2151 ii v 2 2 2 2 2甲 （ -10“ ） （ 30“ ） 5“ （ -10“ ） （ -15“ ）4 18.4“ x 1 8 .4 “ 8 .2 3 “55 甲甲乙： 2 5 “ 2 5 “ 2 0 “ 5 0 “ 4 5 “7 2 7 2 3 3 “5x 乙5 21 1351
10、 iiv 2 2 2 2 2乙 （ -8“ ） （ -8“ ） （ “ ） （ 17“ ） （ 12“ ）4 13.5“ x 1 3 .5 “ 6 .0 4 “55 乙乙2 2 2 2xx1 1 1 1: : : 3 6 4 8 : 6 7 7 38 . 2 3 6 . 0 4pp 乙乙甲 甲3 6 4 8 3 0 “ 6 7 7 3 3 3 “ 7 2 3 6 4 8 6 7 7 3p x p xx pp 甲 乙乙甲乙甲7232“ 78.467733648 364832.8 乙甲甲甲 pp pxx 1532273 xxX 2-16 重力加速度的 20 次测量具有平均值为 2/811.9 sm
11、 、标准差为 2/014.0 sm 。另外 30 次测量具有平均值为2/802.9 sm ，标准差为 2/022.0 sm 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此 50次测量的平均值和标准差。 147:24230022.01:20014.011:1:2222212221xxpp )/(9 . 8 0 8147242 9 . 8 0 21479 . 8 1 1224 2smx ）（ 2m / s0 . 0 0 2 5147242 24220014.0 x 2-19对某量进行 10次测量，测得数据为 14.7， 15.0， 15.2， 14.8， 15.5， 14.6， 14.9， 14.8，
12、15.1， 15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14x 按贝塞尔公式 2633.01 按别捷尔斯法 0 .2 6 4 2)110(10253.1101i2 iv 由 u112 得 0034.0112 u 4 67.012 nu 所以测 量列中无系差 存在。 2-18对一线圈电感测量 10 次，前 4次是和一个标准线圈比较得到的，后 6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH）： 50.82， 50.83， 50.87， 50.89； 50.78， 50.78， 50.75， 50.85， 50.82， 50.81。 试判断前 4次与后 6次测量中是否存在系统误
13、差。 使用秩和检验法： 排序： 序号 1 2 3 4 5 第一组 第二组 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 序号 6 7 8 9 10 第一组 50.82 50.83 50.87 50.89 第二组 50.85 T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14T 30T TT 所以两组间存在系差 2 21 对某量进行两组测量，测得数据如下： xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41
14、1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解： 按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 yi 0.99 1.12 1.21 T 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 xi 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 yi 1.25 1.31 1.31 1.38 T 21 22 23 24 25 26 27 28 xi 1.57 yi 1.41 1.48 1.59
15、 1.60 1.60 1.84 1.95 现 nx 14， ny 14，取 xi的数据计算 T，得 T 154。由 203)2 )1( 211 nnna ； 474)12 )1( 2121 nnnn 求出： 1.0 aTt 现取概率 2 95.0)( t ，即 475.0)( t ，查教材附表 1有 96.1t 。由于 tt ，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。 5 第三章 误差的合成与分配 3-1相对测量时需用 54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸为 mml 401 ，mml 122 ， mml 25.13 ， mml 005.14 。经测量，它们
16、的尺寸偏差及其测量极限误差分别为ml 7.01 , ml 5.02 , ml 3.03 , ,20.0,25.0,35.0,1.0 3lim2lim1lim4 mlmlmlml ml 20.04lim 。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。 修正值 = )( 4321 llll = )1.03.05.07.0( =0.4 )(m 测量误差 : l =4321 lim2lim2lim2lim2 llll = 2222 )20.0()20.0()25.0()35.0( = )(51.0 m 3-2 为求长方体体积 V ，直接测量其各边长为 mma 6.161 ， mm44
17、.5b , mmc 2.11 ,已知测量的系统误差为 mma 2.1 ， mmb 8.0 ， mmc 5.0 ，测量的极限误差为 mma 8.0 ， mmb 5.0 ， mmc 5.0 ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。 abcV ),( cbafV 2.115.446.1610 abcV )(44.80541 3mm 体积 V 系统误差 V 为： cabbacabcV )(74.2745)(744.2745 33 mmmm 立方体体积实际大小为： )(70.77795 30 mmVVV 222222lim )()()( cbaV cfbfaf 222222 )()()( cba aba
18、cbc )(11.3729 3mm 测量体积最后结果表示为 : VVVV lim0 3)11.372970.77795( mm 3-4 测量某电路的电流 mAI 5.22 ，电压 VU 6.12 ，测量的标准差分别为 mAI 5.0 ， VU 1.0 ，求所耗功率 UIP 及其标准差 P 。 UIP 5.226.12 )(5.283 mw ),( IUfP IU、 成线性关系 1UI IuIUP IfUfIfUf )(2)()( 2222 IUIU UIIfUf 5.06.121.05.22 )(55.8 mw 3 12 按公式 V= r2h求圆柱体体积，若已知 r约为 2cm， h约为 20
19、cm，要使体积的相对误差等于 1，试问 r和 h测量时误差应为多少 ? 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为 322 2.25120214.3 cmhrV 根据题意，体积测量的相对误差为 1，即测定体积的相对误差为： %1V 即 51.2%12.251%1 V 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定 r的误差应为： 6 cmhrrVr 007.02 141.1 51.2/12 测定 h 的误差应为： cmrhVh 142.0141.1 51.2/12 2 3-14对某一质量进行 4次重复测量，测得数据 (单位 g)为 428.6， 429.2， 426.5， 430.8。已知测量的已定系统误差
20、,6.2 g 测量的 各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。 4 8.4305.4262.4296.428 x )(8.428)(775.428 gg 最可信赖值 )(4.4316.28.428 gxx 31222251)(41)(i iiii ix xfexf )(9.4 g 测量结果表示为 : xxx g)9.44.431( 序号 极限误差 g 误差传递系数 随机误差 未定系统误差 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 4.5 1.0 1.5 1.0 0.5 2.2 1.8 1 1 1 1 1 1.4 2.2 1 7 第四
21、章 测量不确定度 4 1 某圆球的半径为 r，若重复 10 次测量得 r r =(3.132 0.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99。 解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度 已知圆球的最大截面的圆周为： rD 2 其标准不确定度应为： 222222 005.014159.342 rrrDu 0.0314cm 确定包含因子。查 t分布表 t0.01（ 9） 3.25，及 K 3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为： U Ku 3.25 0.0314 0.102 求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为： 334 rV 其标准不确定
22、度应为： 616.0005.0132.314159.3164 24222222 rr rrVu 确定包含因子。查 t分布表 t0.01（ 9） 3.25，及 K 3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为 U Ku 3.25 0.616 2.002 4-4 某校准证书说明，标称值 10 的标准电阻器的电阻 R 在 20 C 时为 129000742.10 （ P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。 由校准证书说明给定 属于 B 类评定的不确定度 R 在 10.000742 -129 ， 10.000742 +129 范围内概率为 99%，不为 100% 不
23、属于均匀分布，属于正态分布 129a 当 p=99%时， 2.58pK 129 5 0 ( )2 .5 8R paU K 4-5 在光学计上用 52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：1 40l mm ， 2 10l mm ， 3 2.5l mm ，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过 0.45 m 、0.30 m 、 0.25 m （取置信概率 P=99.73%的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。 52.5L mm 1 40l mm 2 10l mm 3 2.5l mm 1 2 3L l l l 99.73%p 3pK 10
24、 .4 5 0 .1 5 ( )3lpaUmk 20 .3 0 0 .1 0 ( )3lpaUmk 30 .2 5 0 .0 8 ( )3lpaUmk 321 lllL UUUU 2 2 20 .1 5 0 .1 0 0 .0 8 0.20( )m 8 第五章 线性参数的最小二乘法处理 5-1 测量方程为 3 2.92 0.92 3 1.9xyxyxy试求 x、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。 误差方程为 1232. 9 (3 )0. 9 ( 2 )1. 9 (2 3 )v x yv x yv x y 列正规方程1 1 1 2 11 1 12 1 2 2 21 1 1n n ni i i
25、i i ii i in n ni i i i i ii i ia a x a a y a la a x a a y a l 代入数据得 14 5 13.45 14 4.6xy 解得 015.0962.0yx 将 x、 y 代入误差 方程式 1232 .9 ( 3 0 .9 6 2 0 .0 1 5 ) 0 .0 0 10 .9 ( 0 .9 6 2 2 0 .0 1 5 ) 0 .0 3 21 .9 ( 2 0 .9 6 2 3 0 .0 1 5 ) 0 .0 2 1vvv 测量数据的标准差为32211 0 .0 3 832niiiivvnt 求解不定乘数 11 1221 22dddd11 1
26、211 1221 2221 2214 5 15 14 014 5 05 14 1dddddddd 解得 082.02211 dd x、 y的精度分别为 01.011 dx 01.022 dy 5-7 不等精度测量的方程组如下： 1233 5. 6 , 14 8. 1, 22 0. 5, 3x y px y px y p 试求 x、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。 列误差方程 1122335 .6 ( 3 ) , 18 .1 ( 4 ) , 20 .5 ( 2 ) , 3v x y pv x y pv x y p 正规方程为3 3 31 1 1 2 11 1 13 3 32 1 2 2 21
27、 1 1i i i i i i i i ii i ii i i i i i i i ii i ip a a x p a a y p a lp a a x p a a y p a l 代入数据得 45 62.214 31.5xy 解得 352.2434.1yx 将 x、 y代入误差方程可得016.0012.0022.0321vvv 则测量数据单位权标准差为 039.023312 i iivp 求解不定乘数 11 1221 22dddd11 1211 1221 2221 2245 114 045 014 1dddddddd 解得 072.0022.02211dd x、 y的精度分别为 006.01
28、1 dx 010.022 dy 9 第六章 回归分析 6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下： 正应力 x/Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 抗剪强度 y/Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 正应力 x/Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 抗剪强度 y/Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9 假设正应力的数值是正确的，求 （ 1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。 （ 2）当正应力为 24.5Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？ （ 1）设一元线
29、形回归方程 bxby 0 12N xbybllbxxxy0 047.43 xxl 533.29xyl 69.0047.43 533.29 xxxyllb xybyx69.069.4269.4297.2569.077.2477.242.29712197.256.3111210（ 2）当 X=24.5Pa )(79.255.2469.069.42 Pay 6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线 xy ab 表示。 x 30 35 40 45 50 55 60 y -0.4786 -2.188 -11.22 -45.71 -208.9 -870.9 -3802 xbayaby x l o g)l o g ()l o g ( )log(1 yZ xZ2 取点做下表 Z2 30 40 50 60 Z1 -0.32 1.05 2.32 3.58 以 Z1与 Z2画图 所得到图形为一条直线，故选用函数类型 xaby 合适
