1、2.2.1等差数列,学习目标 1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。 2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。 重点难点 1.等差数列概念的理解与掌握 2.等差数列通项公式的推导及应用 3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用,复习回顾:,1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:an,2.通项公式:如果数列an中第n项an与n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做数列的通项公式.,3.数列的分类,(1)按项数分：,项数有限的数列叫有穷数列,(2)按项之间的大小关系：,递增数列，,递减数列，,项数无限的数列叫无穷数列,摆
2、动数列，,常数列。,5.递推公式:,4.数列的实质,数列可以看作是一个定义域为正整数集 （ 或它的有限子集1，2，n）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。,如果已知an的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.,说明:递推公式也是数列的一种表示方法。,观察下面的数列： 4，5，6，7，8，9，10 ； 3，0，3，6，； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cm） 21，21.5 ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ; 一张梯子 从高到低每级的宽
3、度依次为（单位cm） 40，50，60，70，80，90，100； 每级之间的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40.,这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。,思考：这5个数列有什么共同特点？,数学语言： anan1=d （d是常数，n2，nN*）,定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。,它们是等差数列吗？,(2) 5，5，5，5，5，5，,公差 d=0 常数列,公差 d= 2x,(1) 1, 3, 5, 7, 9,
4、2, 4, 6, 8, 10,观察下面的数列： 4，5，6，7，8，9，10 ； 3，0，3，6，； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cm） 21，21.5 ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ; 一张梯子 从高到低每级的宽度依次为（单位cm） 40，50，60，70，80，90，100； 每级之间的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40.,给出一个数列的通项公式，你能证明它是等差数列吗？比如an=an+b,a2 a1=d，,a3 a2=d，,a4 a3=d，,则 a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a
5、1+3d,an1an2=d,an an1=d.,这（n1）个式子迭加,an a1= (n1)d,当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项公式。,由定义归纳通项公式,an=a1+(n1)d (nN*),巩固通项公式,若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1, d=2,则,an=1+(n1)2=2n1,已知等差数列8，5，2，求 an及a20(第20项)。,解： a1=8, d=58=3,a20=49,an=8+(n1)(3)=3n+11,练习：已知等差数列3，7，11，则 an=_ a4=_a10=_,an=
6、a1+(n1)d (nN*),4n-1,15,39,例如 ：已知a20=49, d=3 则，,由a20=a1+(201)(3),得a1=8,练习：a4=15 d=3 则a1=_,6,an=a1+(n1)d (nN*),例如：已知等差数列8，5，2问49是第几项?,解 ：a1=8, d=3,则 an=8+(n1)(3),49=8+(n1)(3),得 n=20。,an=a1+(n1)d (nN*),求项数n,【说明】在等差数列an的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，可求出 另外一个,简言之“知三求四”,在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：,（1）2 ，(
7、) ， 4 （2）-12，( ) ，0,3,-6,如果在x与y中间插入一个数A，使x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项,探究,( 3 ) , ( ) ,等差中项:,通过它的通项公式，可以看出它与什么函数有关,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,等差数列的图像,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,-10,等差数列的图像,通过图像你能说明 公差对图像有什么影响？,直线的一般形式：,等差数列的通项公式为：,等差数列的图象为相应直线上的点。,讨论：,数列中，第n项与第m项有什
8、么关系？,1.已知无穷等差数列an中,首项为a1，公差为d,an=am+(n-m)d,解: 依题得,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,讨论：,在等差数列an中，,1）已知a1=3,an=21,d=2,求n,2）已知d=-1/3,a7=8,求a1,3）在等差数列an中，已知a3=9,a9=3,求a12,今天我们学了一些什么?,等差数列中第m项与第n项的关系an=am+(n-m)d.,等差数列的定义 an+1-an=d,等差数列中的等差中项A=(a+b)/2,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,好好学习天天向上,选作：一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正
9、数，第七项起为负数，则它的公差是多少？,1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？,解：由题意得，a6=a1+5d0 a7=a1+6d0,2.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。,解：a12=30+11d0a11=30+10d0,dZ d=-4,-23/5d-23/6, -3d-30/11 即公差d的范围为：-3d-30/11,1. an是首项a11，公差d3的等差 数列，若an2005，则n( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670,2. 在3与27之间插入7个数，使它们成 为等差
10、数列，则插入的7个数的第四 个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15,1、试用两种数学语言（文字语言、符号语言）来表述一下等差数列的概念：,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。,如果数列an，满足an-an-1=d（d为常数，n2，且nN*），则数列an叫做以d为公差的等差数列。,2、首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想；,总结反思,3、等差数列的通项公式的推导方法归纳法（由特殊到一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。,4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际,
