1、 正方形的性质和判定1、基础知识（一）正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性质1.正方形四个角都是 900，四条边相等；2.正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。（三）正方形的判定1.一组邻边相等的矩形是正方形；2.有一个角是直角的菱形是正方形；3.对角线互相垂直的矩形是正方形；4.对角线相等的菱形是正方形。二、例题讲解考点一：正方形的性质例 1：（2011 天津，5，3 分）如图，将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、CB 均落在对角线 BD上，得折痕 BE、BF，则EBF 的大小为（ ）练习 1：例 4如图：正方形 ABCD，AE+CF=EF，求证
2、： 45EDFA E BFCD例 2：如图,在等腰直角 ABC中， ， D、 E为底边 AB的三等分点，过 D和 E作 AB的垂线，分BCA别交 AC于 G、交 BC于 F求证：四边形 DEFG为正方形练习 1：已知：如图， ABC为等边三角形，且 ，四边形 为正方形，且 D、 G分别在2ABDEFGAB、 AC上， E、 F在 BC上，求正方形 DEFG的面积考点二：正方形中常见的全等例 1：如图，在正方形 ABCD中，点 G为 BC上任意一点，连接 AG，过 B、 D两点分别作 BE AG， DF AG，垂足分别为 E、 F两点求证： ADF BAE练习 1：如图：在正方形 ABCD中，C
3、F=CE，求证： DFBGAA C FDGEBDACEFMFEBDAC练习 2：如图，点 E、F 在正方形 ABCD的边 BC、CD 上，且 BE=CF。求证：（1）AE=BF；（2）AEBF。例 2：已知正方形 ABCD中，E、F 分别为 AB、BC 中点，CE 和 DF相交于 M。求证：AM=AD。练习 1：已知，如图，在正方形 ABCD中，点 E、F 分别在 AB上和 AD的延长线上，且 BE=DF，连接 EF，G为 EF的中点求证：（1）CE=CF；（2）DG 垂直平分 AC GHEBDAC F例 3：在正方形 ABCD中，E 为 BD上一点，AE 的延长线交 BC的延长线于 F，交
4、CD于 H，G 为 FH的中点。求证：ECGC。考点二：正方形与其他图形的结合例 1：如图，点 E是正方形 ABCD内一点，CDE 是等边三角形，连接 EB、EA，延长 BE交边 AD于点 F（1）求证：ADEBCE；（2）求AFB 的度数例 2：（2011玉林，25，10 分）如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形 AEFG，线段 EB 和 GD 相交于点 H（1）求证：EB=GD；（2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；（3）若 AB=2，AG= ，求 EB 的长2练习 1：如图：已知四边形 ABCD和 AEFG都是正方
5、形，求证：DG=BE例 3：如图，已知锐角 中，以 AB、AC 为边作正方形 ABDE和正方形 ACFG连接 CE、BG，交点为 O，ABC求证：（1）EC=BG；（2） GE练习 1：已知：如图， AM为 ABC的中线，四边形 、 ACFG均为正方形求证： ABDEEGAM21A BC DGFEAB CDEGFOAB CDEFG例 4:如图，正方形 ABCD中，G 是 CD上一点，以 CG为边做正方形 GFEC，求证：BG=DE DEBG练习 1：如图，已知正方形 ABCD中， F为 CD延长线上一点， 于 E，交 AD于 MAFC求： 的度数MFD考点三：正方形里的截长补短例 1：如图正方
6、形 ABCD中，E 为 AD边上的中点，过 A作 AFBE，交 CD边于 F，M 是 AD边上一点，且有BMDMCD 求证：点 F是 CD边的中点；求证：MBC2ABEMFECDBAEBDAC练习 1：已知：如图，正方形 ABCD中， M是 CD中点， E是 CD上一点，且 DAMBE2求证： AE BC CE例 2：如图，E、F 分别在正方形 ABCD的边 BC、CD 上，且DAF=EAF。求证：AE=BE+DF。练习 1：如图，AC 是正方形 ABCD的对角线，AE 平分BAC。求证：AB+BE=AC。EBDACFFBDACEGENMBDAC练习 2：在正方形 ABCD中，E 是 BC上一
7、点，过点 E作 AE的垂线，分别交 CD、AB 的延长线于点 F、G。求证：BE=BG+CF。考点四：正方形里的旋转例 1： (2011 襄阳，25，10 分) 如图，点 P是正方形 ABCD 边 AB 上一点(不与点 A，B 重合)，连接 PD并将线段 PD绕点 P顺时针方向旋转 90得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE，DF（1）求证：ADPEPB；（2）求CBE 的度数；练习 1：正方形 ABCD中，M、N 分别是 AB、BC 的中点，ENAN，DCF 的平分线交 NE于点 E。求证：AN=NE。例 2：已知，如图，P 是正方形 ABCD内任一点将 绕点 B顺时针方向施
8、转 至 ，若AP90/BCPPB=3cm，求 的长。/练习1：在正方形 ABCD中有一点 P，PA=2，PB=4，角 APB=135度，求 PC的长。例3：如图,已知,在正方形 ABCD中,E、F 分别是 AB、BC 上的点，若有 AE+CF=EF，求：EDF 的度数。AB CDP /P练习1：如图，正方形 ABCD的边长为1，AB,AD 上各有一点 P,Q,如果三角形 APQ的周长为2，求PCQ练习2：如图1 在正方形 ABCD中，E 为 CD上一动点，连接 AE交对角线 BD于点 F，过点 F作 FGAE 交 BC于点 G1、求证 AF=FG2、连接 EG，当 BG=3，DE=2时，求 E
9、G的长BDACEF课后练习：1、下列说法是否正确，并说明理由对角线相等的菱形是正方形；（ ）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）四条边都相等的四边形是正方形；（ ）四个角相等的四边形是正方形 （ ）2、 （2009 年郴州市）如图 9， E是正方形 ABCD对角线 BD上的一点，求证： AE=CE3、 已 知 ： 如 图 ， 点 E 是 正 方 形 ABCD 的 边 CD 上 一 点 ， 点 F 是 CB 的 延 长 线 上 一 点 ， 且 DE=BF 求 证 ： EA AF4、如图，点 E是正方形 ABCD对角线上一点，且 AE=AB，EFAC 交 BC于 F。求证：BF=EC。D CEBAOBDACM NG5、正方形 ABCD的对角线交于点 O，点 M、N 在 OB、OC 上，且 MN/BC，DN 的延长线交 CM于点 G。求证：（1）DN=CM；（2）DGCM。6、已知：如图 2，在正方形 ABCD中，E、F 分别在 AD、DC 上，且 DEDF，BMEF 于 M求证：MEMF7、在正方形中，O 对角线 AB、BD 的交点，过 O 作 ，交 AB、BC 于 E、F，若 AE=4，CF=3，求FEEF 的长。AB CDEFO
