1、第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）第四篇 振动与波动第十二章 机械振动12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O 在 m 平衡位置。现将 m 略向右移到 A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当通过位置 O 时，作用在 m 上弹性力等于 0，但是由于惯性作用，m 将继续向O 左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左运动，使 m 速率减小，直至物体静止于 B（瞬时静止） ，之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图
2、12-12、简谐振动运动方程由上分析知，m 位移为 x（相对平衡点 O）时，它受到弹性力为（胡克定律）： kxF(12-1)式中： 当 0x即位移沿+x 时，F 沿-x，即 0当 即位移沿-x 时，F 沿+x，即Fk为弹簧的倔强系数， “”号表示力 F 与位移 x（相对 O 点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知， m加速度为Fakx（ 为物体质量） 2dt 02t k、 m均大于 0，可令 2mk第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）可有： 02xdt(12-2)式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的
3、齐次二阶的线性微分方程，它的解为 sintAx(12-3)或 co (12-4)2式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间 t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加速度物体位移： tAxcos速度：dtVin(12-5)加速度：xta222cs(12-6)可知： Amax2tx、 tV、 t曲线如下图 12-2图 12-3第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）说明：（1） kxF是谐振动的动力学特征；（2） a2是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。12-2 谐振动的振幅 角频率
4、位相上节我们得出了谐振动的运动方程 tAxcos，现在来说明式中各量意义。1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做 A。 反映了振动的强弱。2、角频率（圆频率）为了定义角频率。首先定义周期和频率。物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用 T表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用 v表示。由上可知： Tv1或 v1 T为周期， tAtxcoscos从 t时刻经过 1 个周期时，物体又首次回到原来 t时刻状态， 2T（余弦函数周期为 2）vT2可见： 表示在 秒内物体所做的完全振动次数， 称为角频率（圆频率） mk T2kv1对于给定的弹簧振子， 、
5、都是一定的，所以 T、 v完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当 A、给定后，物体的位置和速度取决于 t， t称为位相（或周相、相位） 。第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。 是 0t时的位相，称为初相。4、 A、 的确定对于给定的系统， 已知，初始条件给定后可求出 A、 。初始条件： 0t时 0x 由 、 v表达式有vcos0Axinv即s0i即0xtgvarc（12-6）20xA（12-7）值所在象限：
6、1） 0x， v： 在第象限2） ， ： 在第象限3） 0， 0： 在第象限4） x， v： 在第象限5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体 1 和 2 的谐振动方程为 图 12-41costAx22任意 t时刻二者位相差为121212 tt0：2 的位相比 1 超前：2、1 同位相：2 的位相比 1 落后例 12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知 mNk/60.1， kg40.，试求下列情况下 m的振动方程。第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）（1）将 m从平衡位置向右移到 mx10.处由静止释放；（2）将 从平衡位置向右移到 处并给以 向左的速率为 sm/20.。
7、解：（1） 的运动方程为 tAxcos由题意知：smk/240.61初始条件： t时， x， 0v可得：mvA1220图 12-50arctgxrct 0， v， 0mt2os1.2） 初始条件： t时， 1.0， smv/20.0vxA.222010.0 arctgarctgrct 0x， v， 4mt2cos1.可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。例 12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角 很小时小球做谐振动；(2)求小球振动周期。证：
8、（1）设摆长为 l，小球质量为 m，某时刻小球悬线与铅直线夹角为 ，选悬线在平衡位置右侧时，角位移 为正，由转动定律： JM有 2sindtlg图 12-6 即 02ldt 很小。 si第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）02lgdt这是谐振动的微分方程（或 与 正比反向）小球在做谐振动。（2） gllT2（注意做谐振动时条件，即 很小）12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。一、旋转矢量自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A，其模为简谐振动的振幅 ，并使 在图
9、面内绕 o 点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率 ，矢量 称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法 图 12-7（1）旋转矢量 A的矢端 M 在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动，振幅为A（2）旋转矢量 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在 x 轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（3） 0t时刻，旋转矢量与 x 轴夹角 为谐振动的初相， t时刻旋转矢量与 x 轴夹角 为 时刻谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。（2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在 x 轴上的投影点在 x 轴上做谐振动。旋转矢量
10、与谐振动 t曲线的对应关系（设 0）第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）图 12-8三、旋转矢量法应用举例例 12-3： 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 m12.0，周期为 s2。 0t时，位移为m06.，且向 x 轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设 1t时刻为物体第一次运动到 x6.处，试求物体从 1t时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为 tAxcos由题意知 m12.01ST?方法一用数学公式求 cos0Ax m12.,x06. 3 sin0v 3mtx3cos12.方法二用旋转矢量法求 根据题意，有如左图所示结果 3图 12-9mtxcos
11、12.0由上可见， 方法二简单（2） 方法一用数学式子求 t第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）由题意有：3cos12.06.1t（ 21Tt231t）31t或 4此时0sin1tAv 321ts设 2t时刻物体从 1t时刻运动后首次到达平衡位置，有：3co.0232t或 （ 2t232t）0sin2tAv 32ts61stt512方法二用旋转矢量法求 t由题意知，有左图所示结果，M 1为 t时刻 A末端位置，M 2为 t时刻 A末端位置。从21t内转角为6523211 OMtstt6512显然方法二简单。 图 12-10例 12-4：图为某质点做谐振动的 tx曲线。求振动方程。
12、解：设质点的振动方程为 Acos由图知： m1012T第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）图 12-11用旋转矢量法（见上页图）可知， 2（或 3）cmtx2cos10例 12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动， A为振幅， 0t时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。图 12-1212-4 谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量 E= k（物体动能）+ pE（弹簧势能）已知： 物体位移 tAxcos物体速度 vin21kxmEpk2cossi21ttkAA22n)(2kmttk22cossi第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）21kA221AmkE（11-
13、8）说明：（1）虽然 k、 p均随时间变化，但总能量 pkE且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。（2） kE与 互相转化。当 0x时， pE， kmax。在 Ax处，0， pma。例 12-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 A。试求 pkE21的位置。解：设弹簧的倔强系数为 k，系统总能量为 21AEpk在 时，有 232kxpk143Ax例 12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数 mNk/25，物块 kg6.01，物块kgm4.02， 1与 2m间最大静摩擦系数为 .， 与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使 2在振动中不致从 1m上滑落，
14、问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为 21kAE2maxk（此时 0pE）2不致从 1上滑落时，须有g图 12-13极限情况 2maxA即 k12kgmgEk 212max 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）J48.025.894.062112-5 同方向同频率两谐振动合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑
15、一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为 x 轴，平衡位置为原点。振动方程为 11costA221A、 2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅； 1、 2分别表示第一个振动和第二个振动的初相。 是两振动的角频率。由于 1x、 2表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移 x在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即 为简单起见，用旋转矢量法求分振动。图 12-14 图 12-15如图所示， 0t时，两振动对应的旋转矢量为 1A、 2，合矢量为 21A。1A、 2以相同角速度 转动，转动过程中 与 间夹角不变，可知 大小不变，并且 也以 转动。任意时刻 t
16、， A矢端在 x 轴上的投影为：21x因此，合矢量 A即为合振动对应的旋转矢量， 为合振动振幅， 为合振动初相。合振动方程为： txcos（仍为谐振动）由图中三角形 21MO知：第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）12121cosAA（12-9）由图中三角形 OMP知： OPMAtg21cossini（12-10）讨论：（1） k12 ),10(时（称为位相相同） 21A（2） ),210(k时（称为位相相反） A例 12-8：有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为 m.，位相与第一振动的位相差为 6，若第一振动的振幅为 13，用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。解：（1） ?2A6cos2.0132.0136cos2121 Am.0（2） 212 212图 12-16例 11-9：一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为 tAxcos1，3cos2tx，32costAx，试用振幅矢量方法求合振动方程。解：如左图， 3（ 1、 2A、 3、 构成一等腰梯形）coscos221 3tAx图 12-17
