1、1 13.2 圆内接四边形的性质与判定 对应学生用书P29 读教材填要点 1圆内接四边形的性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 2圆内接四边形的判定 (1)定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆 (2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果BD180或AC180，那 么四边形ABCD内接于圆 小问题大思维 1所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？ 提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆 2如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？ 提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180，所以该平行四 边形一
2、定是矩形 对应学生用书P29 证明四点共圆 例1 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C 两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点 (1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求OAMAPM的大小2 思路点拨 本题考查四点共圆的判定及性质的应用问题，解答(1)可利用圆内接四边 形的判定定理证明。解答问题(2)可利用四点共圆的性质求解 精解详析 (1)证明：连接OP，OM，因为AP与O相切于点 P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是 OPAOMA180. 由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共 圆 (
3、2)由(1)得A，P，O，M四点共圆， 所以OAMOPM. 由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部， 可知OPMAPM90， 所以OAMAPM90. 判定四点共圆的方法 (1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 (2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 1.如图，在正ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且 BD BC，CE CA，AD，BE相交于点P，求证： 1 3 1 3 (1)P，D，C，E四点共圆； (2)APCP. 证明：(1)在正ABC中，由BD BC，CE CA，可得ABDBCE， 1 3 1 3 ADBBEC， A
4、DCBEC180， P，D，C，E四点共圆 (2)如图，连接DE，在CDE中，CD2CE，ACD60， 由正弦定理知CED90， 由P，D，C，E四点共圆知， DPCDEC， APCP.3 证明线段相等或角相等 例2 如图，两圆O 1 ，O 2 相交于A，B.O 1 的弦BC交O 2 于E点，O 2 的弦BD 交O 1 于F点 证明：(1)若DBACBA，则DFCE. (2)若DFCE，则DBACBA. 思路点拨 本题考查圆内接四边形的判定及性质解决本题需要借助三角形全等证 明角相等或边长相等 精解详析 (1)连接AE，AF，AC，AD， 则BDAAEC，ACBAFD. 又DBACBA， A
5、AD A AE . ADAE，ACEAFD. 故CEDF. (2)由(1)BDAAEC，ACBAFD， 又DFCE，ACEAFD， ADAE，DBACBA. (1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也 为论证角边关系提供了一种新的途径 (2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定 理的运用，又要注意两者的综合运用 (3)构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的 2如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点 C，使BDDC，连接AC，AE，DE. 求证：EC.4 证明
6、：如图，连接OD，因为BDDC， O为AB的中点， 所以ODAC，于是ODBC. 因为OBOD，所以ODBB. 于是BC. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和 B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC. 证明比例线段或比例式 例3 如图所示，AB、CD都是圆的弦，且ABCD，F为圆上一 点，延长FD、AB交于点E. 求证：AEACAFDE. 思路点拨 本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角形等问题解答本题 可连接BD，通过证明EBDEFA来解决 精解详析 连接BD，因为ABCD， 所以BDAC. 因为A、B、D，F四点共圆， 所以EBDF. 因为E
7、为EBD和EFA的公共角， 所以EBDEFA. 所以 ，所以 . DE AE BD AF DE AE AC AF 即AEACAFDE. 证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内 接四边形的性质寻找角之间的关系5 3试证明：在圆内接四边形ABCD中， ACBDADBCABCD. 证明：如图，在AC上取点E，使ADE1. 又34，ADEBDC. ， AE AD BC BD AEBDADBC. 又ADE1，ADBCDE. 又56，ABDECD. ，BDECABCD. AB EC BD CD 两式相加： AEBDBDECADBCABCD， 即ACBDADBCABCD.
8、 对应学生用书P31 一、选择题 1如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为 A，MAB35，则D( ) A35 B90 C125 D150 解析：连接BD，则MABADB35，BC是O的直径， BDC90，所以DADBBDC125. 答案：C 2如图，四边形ABCD内接于O，DCE50，则BOD等于 ( )6 A75 B90 C100 D120 解析：四边形ABCD内接于O， DCEA， A50，BOD2A100. 答案：C 3若AD、BE、CF为ABC的三条高线，交于H，则图中四点共圆 的组数是( ) A3 B4 C5 D6 解析：其中：B、D、H、F共圆；C、D、H
9、、E共圆；A、E、H、F共圆；A、F、D、C共 圆；B、C、E、F共圆；A、B、E、D共圆 答案：D 4.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线， ACB60，ABa，则CD等于( ) A. a B a 3 3 6 2 C. a D a 1 2 1 3 解析：AC为BD的垂直平分线， ABADa，ACBD， ACB60，ADB60. ABADBD，ACDABD60. CDB30， ADC90，CDtan30AD a. 3 37 答案：A 二、填空题 5圆内接四边形ABCD中，BCD123，则 A_，B_，C_，D_. 解析：BD180，BD13， B45，D135.又BC1
10、2， C90.又AC180， A90. 答案：90 45 90 135 6如图，四边形ABCD内接于O，若BOD130，则BCD_. 解析：BOD130，A 65. BOD 2 130 2 BCD18065115. 答案：115 7如图，AB10 cm，BC8 cm，CD平分ACB，则 AC_， BD_. 解析：ACB90，ADB90. 在RtABC中，AB10，BC8， AC 6. AB2BC2 又CD平分ACB， 即ACDBCD，ADBD. BD 5 . AB2 2 2 答案：6 5 2 8若两条直线(a2)x(1a)y30，(a1)x(2a3)y20与两坐标轴围成 的四边形有一个外接圆，
11、则实数a_. 解析：两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标8 轴互相垂直， 这两条直线垂直， 即(a2)(a1)(1a)(2a3)0. a 2 1，a1. 答案：1 三、解答题 9在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DEAB，DFAC，E，F是垂足 求证：E，B，C，F四点共圆 证明：如图，连接EF， DEAB，DFAC， A，E，D，F四点共圆 12. 1C2C90. BEFC180. B，E，F，C四点共圆 10如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且 AEAF. (1)证明：B，D，H，E四点共圆； (2)证明：CE平分D
12、EF. 证明：(1)在ABC中，因为B60， 所以BACBCA120. 因为AD，CE是角平分线， 所以HACHCA60， 故AHC120.9 于是EHDAHC120. 因为EBDEHD180， 所以B，D，H，E四点共圆 (2)连结BH，则BH为ABC的平分线， 得HBD30. 由(1)知，B，D，H，E四点共圆， 所以CEDHBD30. 又AHEEBD60， 由已知可得EFAD，可得CEF30. 所以CE平分DEF. 11如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC. (1)求证：FBFC； (2)求证：FB 2 FAFD； (3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求AD的长 解：(1)证明：AD平分EAC， EADDAC. 四边形AFBC内接于圆，DACFBC. EADFABFCB，FBCFCB. FBFC. (2)证明：FABFCBFBC， AFBBFD， FBAFDB. ，FB 2 FAFD. FB FD FA FB (3)AB是圆的直径，ACB90. EAC120， DAC EAC60，BAC60. 1 210 D30. BC6，AC2 cm. 3 AD2AC4 cm. 3
