1、数 学教学通讯（教师版） 投稿邮箱 ：数学教学通讯（中等教育） 投稿邮箱试题研究 知识延伸椭圆中的 “圆幂定理 ”江一鸣浙江宁波二中 315000摘 要 ：关于圆的性质在椭圆中一般不会成立 但在特别条件下，也可能得到保留，通过椭圆性质的探索过程，对问题研究逐渐深化和拓展，有利于激发学习者的兴趣 尤其是合理地运用几何直观去推测，或是出于直觉，或是通过归纳和类比，体现了一种自然思考的过程，从而得到在椭圆中像圆一样有相交弦定理、切割线定理及割线定理等性质成立的条件关键词 ：斜率相反；斜率定值；四点共圆；椭圆圆幂大家知道 ，圆幂定理分为相交弦定理 、 切割线定理和割线定理 我们可以统一归纳为 ：过任意
2、不在圆上的一点 P引两条直线 l1，l2，l1与圆交于 A，B（可重合，即切线） ，l2与圆交于 C，D（可重合） ，则PAPB=PCPD在椭圆中是否像圆一样有相交弦定理 、切割线定理及割线定理等性质 ， 笔者进行探索得到以下结论 ，供参考 引理 ：已知 P（x0，y0）（y00）是椭圆x2a2+y2b2=1上的定点 ， 过 P作斜率互为相反数的两条直线 ，分别交椭圆于 A，B两点 ，则直线 AB的斜率为定值b2x0a2y0证明 ：不妨设PA的斜率为k，则PB的斜率为k（k0），因此直线PA的方程为y-y0=k（xx0），直线PB的方程为y-y0=-k（xx0） 由y=k（x-x0）+y0，x
3、2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2+2k （y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0 （*）设A（xA，yA），B（xB，yB）因为点P（x0，y0）在椭圆上，所以x0是方程（*）的一个根，所以x0xA=a2（y0kx0）2a2b2b2+a2k2， 即xA=a2（y0kx0）2a2b2（b2+a2k2）x0，同理xB=a2（y0+kx0）2a2b2（b2+a2k2）x0所以直线AB的斜率kAB=yAyBxAxB=k（xA+xB）2kx0xAxB=k2a2（ y20+ k2x20） - 2a2b2（ b2+ a2k2） x0- 2kx0- 4a2kx0y0（ b2+
4、 a2k2） x0=b2x20+a2b2a2y202a2x0y0又因为x20a2+y20b2=1，所以a2b2-a2y20=b2x20，故kAB=2b2x202a2x0y0=b2x0a2y0 另证：设A（x1，y1），B （x2，y2），则x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1两式相减，得x21x22a2+y21y22b2=0所以kAB=y1y2x1x2=b2a2x1+x2y1+y2，同理kPA=y1y0x1x0=b2a2x1+x0y1+y0，kPB=y2y0x2x0=b2a2x2+x0y2+y0因为kPA+kPB=0，所以y1y0x1x0+y2y0x2x0=0，x1+x0y1
5、+y0+x2+x0y2+y0=0，即（y1y0）（x2x0）+（y2y0）（x1x0）=0，（y1+y0）（x2+x0）+（y2+y0）（x1+x0）=0两式相减，得x0（y1+y2）+y0（x1+x2）=0，即x1+x2y1+y2=x0y0， 代入式，得kAB=b2x0a2y0定理 1：已知 P是椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点 （异于长轴端点） ，PA，PB和 PC分别是椭圆的两条割线与切线 若割线PA，PB的斜率互为相反数 ，则切线 PC与割线 AB的斜率也互为相反数 证明 ：对于方程x2a2+y2b2=1，求关于x的导数得2xa2+2yb2y=0，所以y=-b2xa2y由导数的几何
6、意义， 知点P（x0，y0）（y00）处的切线斜率kPC=-b2x0a2y0，由式知kAB=b2x0a2y0，教师版中等教育58C M Y K数 学教学通讯（教师版）投稿邮箱 ： 数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱 试题研究 知识延伸图 3yx3DTAOBC1R42故kAB=-kPC我们还可以看到 ，椭圆的这一性质又是由圆的平面几何性质类比而来的 圆的几何性质 ：如图 1，已知 P是圆上任意一点 ，PA，PB与 PC分别是该圆的两条割线与切线 ，若 1=2，则 3=4BAPT C1 234图 1由定理 1不难得到 （如图 2） ，A=13=24=5（类似于圆的弦切角定理） ，因此 ，TAPTPB
7、，%故 TP2=TBTABAPTC1234xy图 2定理 2： 已知 P是椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点 （异于长轴端点） ，PA，PB和 PC分别是椭圆的两条割线与切线 若割线PA，PB的斜率互为相反数 ，则 TP2=TBTA由此可见 ，在椭圆中只要有斜率互为相反数的两条直线就会有类似圆切割线定理的结果 定理 2给出过椭圆上一定点 （异于长轴端点） 作切线的性质 ，进一步拓展 ，又可以考虑任意两条割线 （斜率互为相反数） 是否有相似的性质 定理 3：已知 AB，CD是椭圆x2a2+y2b2=1的两条割线 ， 若直线 AB，CD的斜率互为相反数 ，则直线 AC，BD的斜率也互为相反数 证
8、明 ：如图3，由直线AB和直线CD的斜率互为相反数，可设直线AB的方程为kx-y+m=0，直线CD的方程为kx+y+n=0则过直线AB和直线CD与椭圆x2a2+y2b2=1的四个交点A，B，C，D的曲线系方程为（kx-y+m）（kx+y+n）+（b2x2+a2y2-a2b2）=0，即（b2+k2）x2+（a2-1）y2+（kn+km）x+（m-n）y+mn-a2b2=0 （*）令b2+k2=a2-1，得=k2+1a2b2，此时b2+k2=a2-1=a2k2+b2a2b20， 即存在 =k2+1a2b2，使（*）方程为圆的方程，所以A，B，C，D四点共圆由圆的几何性质知ABD=ACD因 为 1
9、= ABD + 3， 2 =ACD+4，而由直线AB，CD的斜率互为相反数，知1=2，所以3=4，故直线AC，BD的斜率互为相反数，由此可知：当椭圆内接四边形有一组对边斜率互为相反数时，则另一组对边和对角线的斜率也分别互为相反数由于四边形 ABCD是圆的内接四边形 ，不难得到以下两个结论 ：推论 1：已知 AB，CD是椭圆x2a2+y2b2=1的两条割线 若直线 AB，CD的斜率互为相反数 ，AC，BD相交于 T， 则 TATC=TBTD推论 2：已知 AB，CD是椭圆x2a2+y2b2=1的两条割线 若直线 AB，CD的斜率互为相反数 ，AB，CD相交于 R， 则 RARB=RDRC由定理
10、2、推论 1和推论 2的结论我们可以统一归纳为 ： 过任意不在椭圆上的一点 P引两条斜率互为相反数的直线 l1，l2，l1与圆交于 A，B（可重合，即切线） ，l2与圆交于 C，D（可重合） ，则 PAPB=PCPD通过深入探究还可以得到以下结论 ：由引理知 ，过椭圆上的一个定点 P作斜率互为相反数的两条割线 PA，PB，则直线 AB的斜率为定值 ， 也就是说随着割线PA，PB斜率的不同取值 ，可以得到一簇平行直线 AB 反过来 ，如果作椭圆的一簇平行直线 AB， 那么是否在椭圆上存在定点P，使直线 PA，PB的斜率之和为零呢 ？定理 4： 已知动直线 l的斜率为定值k，若直线 l与椭圆 C：
11、x2a2+y2b2=1交于两个动点 A，B，则椭圆 C上存在定点 P，使得直线 PA，PB的斜率之和为零 证明 ： 设椭圆C上存在点P（x0，y0）（y00），使得直线PA，PB的斜率互为相反数，则kPA=-kPB由式同样可得k=b2x0a2y0， 与x20a2+y20b2=1联立方程组解得x0=a2kb2+a2k2%姨，y0=b2b2+a2k2%姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨，或x0=a2kb2+a2k2%姨，y0=b2b2+a2k2%姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨均为定值通过类比 ，我们还可以考虑引理在双曲线 、抛物线中是否有类似结论 定理 5：已知 P（x0，y0）（y00）是双曲线x2a2-y2b2=1上的定点 ， 过 P作斜率互为相反数的两条直线 ，分别交双曲线于 A，B两点 ，则直线 AB的斜率为定值 -b2x0a2y0定理 6：已知 P（x0，y0）（y00）是抛物线 y2=2px（p0）上的定点 ，过 P作斜率互为相反数的两条直线 ，分别交抛物线于A，B两点 ，则直线 AB的斜率为定值 -py0证明仿照引理 ，过程略 59C M Y K
