1、1 11.1 相似三角形判定定理 对应学生用书P1 读教材填要点 1相似三角形的定义及相关概念 如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角 形设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数) 2相似三角形判定定理 (1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似 (2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似 (3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似 小问题大思维 1两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？ 提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况相似三角形的本质特征是 “具有相同形状” ，它们的大小不一定相
2、等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角 形全等 2如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？ 提示：不一定只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似 对应学生用书P1 相似三角形的判定 例1 如图，若O是ABC内任一点，D，E，F分别是 OA，OB，OC的靠近O的三等分点 求证：DEFABC. 思路点拨 本题考查相似三角形判定定理2的应用解答此题2 需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件利用三等分点找出对应边成比例即可 精解详析 D，E，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点， DE AB，EF BC，FD CA. 1 3 1 3 1 3
3、. DE AB EF BC FD CA 1 3 由三角形相似的判定定理得DEFABC. 在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际 证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时， 在第二次使用的情况较多 1已知ABC中，BFAC于点F，CEAB于点E，BF和CE相交于点P，求证： (1)BPECPF； (2)EFPBCP. 证明：(1)BFAC于点F， CEAB于点E， BFCCEB. 又CPFBPE， CPFBPE. (2)由(1)得CPFBPE， . EP BP FP CP 又EPFBPC，EFPBCP. 例2 如图所示，A
4、BCCDB90，ACa，BCb，求当 BD与a，b之间满足怎样的关系时，ABC与CDB相似？ 思路点拨 由于ABC与CDB相似且都是直角三角形，因此， 只要对应边成比例即可而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要 注意分类讨论的运用 精解详析 ABCCDB90，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨 论3 当 时，ABCCDB，即 . AC BC BC BD a b b BD BD 时，ABCCDB. b2 a 当 时，ABCBDC，即 . AC BC AB BD a b a2b2 BD 当BD 时，ABCBDC. b a2b2 a 故当BD 或BD 时， b2 a b a
5、2b2 a ABC与CDB相似 (1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用 (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 2如图，BD、CE是ABC的高 求证：ADEABC. 证明：BD、CE是ABC的高， AECADB90. 又AA， AECADB. . AD AB AE AC 又AA， ADEABC. 相似三角形的应用 例3 如图，已知在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中4 线，CFBA，BF交AD于点P，交AC于点E. 求证：BP 2 PEPF. 思路点拨 本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰 ABC底边上的高，所以PBP
6、C，从而将所求证的结论转化为PC 2 PEPF.进而可以证明 PCEPFC来解决问题 精解详析 连接PC，在ABC中， 因为ABAC，D为BC中点， 所以AD垂直平分BC. 所以PBPC，12. 因为ABAC， 所以ABCACB， 所以ABC1ACB2， 即34. 因为CFAB， 所以3F，所以4F. 又因为EPCCPF， 所以PCEPFC， 所以 ，所以PC 2 PEPF. PC PE PF PC 因为PCPB， 所以PB 2 PEPF. (1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方 法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边 (2)要说明线段的乘积
7、式abcd，或平方式a 2 bc，一般都是证明比例式 或 a c d b ，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式 b a a c 3如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线 段BC上，当ADP与QCP相似时，求BQ的值5 解：由题知DC90， 当ADPPCQ时， ， AD PC DP CQ ，CQ ，BQ1 . 1 1 2 1 2 CQ 1 4 1 4 3 4 当ADPQCP时， ， ， AD QC DP CP 1 QC 1 2 1 2 CQ1，BQ0. 综上可知，当ADP与QCP相似时，BQ0或 . 3 4 对应学生用书P3 一、选择题 1如图，锐角三角形ABC的高C
8、D和BE相交于点O，图中与ODB相似的三角形的个 数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：BEAC，CDAB， ODB，ABE，ADC，OCE都是直角三角形 又DBOEBA，AA，DOBEOC， ODBAEBADC，ODBOEC. 与ODB相似的三角形有3个 答案：C 2RtABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与ABC相似，则x的 值为( ) A1 B26 C3 D4 解析：由题意知，ACD与CBD与ABC相似，故x2. 答案：B 3三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 解析：
9、等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似 答案：D 4如图所示，AOD90，OAOBBCCD，则下列结论正确的是( ) ADABOCA BOABODA CBACBDA DOACABD 解析：设OAOBBCCDa， 则AB a，BD2a. 2 ， . AB BD 2 2 BC AB a 2a 2 2 ，且ABCDBA. AB BD BC AB BACBDA. 答案：C 二、填空题 5如图，已知ABC，DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，与DBE相似的 三角形的个数为_ 解析：在DBE与ECH中， BC60，7 BDEBED120，BEDCEH120， BDEC
10、EH.DBEECH. 同理可证ADG和FHG也都和BED相似 答案：3 6如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，BACADC，AC8，BC16，那么 CD_. 解析：先根据已知条件和隐含条件证明ABCDAC.再根据相似建立比例式，根据给 出的线段易求出未知线段 答案：4 7如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则 AE_. 解析：ACDAEB90，BD， ABEADC， . AB AD AE AC 又AC4，AD12，AB6， AE 2. ABAC AD 6 4 12 答案：2 8如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为 _ 解析：
11、DEBC，EFCD， FDEDBC，DFEBDC. FDEDBC ，即BD . FD DB DE BC 3 2 由 ，得 2 . AE AC DE BC 2 3 AE EC AF FD8 AF2，AB . 9 2 答案： 9 2 三、解答题 9如图，已知：D是ABC内的一点，在ABC外取一点E，使 CBEABD，BCEBAD. 求证：ABCDBE. 证明：CBEABD， BCEBAD， ABDCBE，ABCDBE. ，即 ，ABCDBE. AB BC BD BE AB BD BC BE 10如图，已知ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点 证明：AFADAGBF.
12、证明：因为四边形ABCD为平行四边形， 所以ABDC，ADBC. 所以ABFGCF，GCFGDA. 所以ABFGDA. 从而有 ， AF AG BF AD 即AFADAGBF. 11如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB.且DM交AC 于F，ME交BC于G，9 (1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连接FG，如果45，AB4 ，AF3，求FG的长 2 解：(1)AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM. 以下证明：AMFBGM. AFMDMEEAEBMG，AB， AMFBGM. (2)当45时，可得ACBC且ACBC. M为AB的中点，AMBM2 . 2 又AMFBGM， . AF AM BM BG BG . AMBM AF 2 2 2 2 3 8 3 又ACBC4 sin 454， 2 CG4 ，CF431. 8 3 4 3 FG . CF2CG2 1 ( 4 3 ) 2 5 3
