1、1 11.3 平行截割定理 对应学生用书P8 读教材填要点 1平行截割定理 (1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例 (2)符号语言表示：如图，若l 1 l 2 l 3 ，则 . AB BC DE EF 2平行截割定理的推论 (1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应 线段成比例 (2)符号语言表示： 如图，若l 1 l 2 l 3 ，则 . AD AB AE AC DE BC 小问题大思维 1在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？ 提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线 a、b、
2、c都相交 2若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面” ，是否仍然成立？ 提示：仍然成立 对应学生用书P92 利用定理证明“比例式” 例1 已知：如图，l 1 l 2 l 3 ， . AB BC m n 求证： . DE DF m mn 思路点拨 本题考查平行截割定理及比例的基本性质解答本题需要利用定理证得 ，然后利用比例的有关性质求出 即可 DE EF AB BC DE DF 精解详析 l 1 l 2 l 3 ， . AB BC DE EF m n ， ， EF DE n m EFDE DE nm m 即 ， . DF DE mn m DE DF m mn 解决此类问题要结合几何直
3、观，合理地利用比例的性质，常见的性质有： (1)比例的基本性质： (bd0)adbc； a b c d (bc0)b 2 ac； a b b c (abcd0) . a b c d b a d c (2)合分比性质：如果 ，那么 . a b c d a b b c d d (3)等比性质：如果 (bdn0，bdn0)，那么 . a b c d m n acm bdn a b 1如图，已知在ABC中，BAC120，AD平分BAC交BC于D.3 求证： . 1 AD 1 AB 1 AC 证明：过D点作DEAB交AC于E点， BAC120，AD平分BAC， DAE60，BAD60. DEAB，ADE
4、60， ADDEAE， . AD AB DE AB CE AC . AD AB AD AC CE AC AD AC CE AC AE AC 1， 1. CE AC AE AC AC AC AD AB AD AC . 1 AB 1 AC 1 AD 利用定理证明“乘积式” 例2 如图所示，已知直线l截ABC三边所在的直线分别于E，F，D三点，且 ADBE. 求证：EFCBFDCA. 思路点拨 借助平行线分线段成比例定理即可证得 精解详析 法一：如图1，过D作DKAB交EC于点K，则 ， ，即 EF FD EB BK CA AD BC BK CA BC . AD BK ADBE， ， . CA BC
5、 BE BK EF FD CA CB 即EFCBFDCA. 图1 法二：如图2，过E作EPAB，交CA的延长线于点P.4 ABEP， ，即 . CB BE CA AP CA CB AP BE 在DPE中，AFPE， . EF FD AP AD ADBE， .EFCBFDCA. CA CB EF FD 图2 法三：如图3，过D作DNBC，交AB于N. NDEB， ， EB DN EF DF DNBC， ， BC DN CA AD 即 . CA CB AD DN ADEB， ，即EFCBFDCA. EF FD CA CB 图3 本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形
6、一边 的平行线的性质定理，找到 与 的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破 CA CB EF FD 2.如图所示，已知直线FD和ABC的BC边交于D，与AC边交于 E，与BA的延长线交于F，且BDDC，求证：AEFBECFA. 证明：过A作AGBC，交DF于G点5 AGBD， . FA FB AG BD 又BDDC， . FA FB AG DC AGDC， . AG DC AE EC ，即AEFBECFA. AE EC FA FB 利用定理进行计算 例3 如图，已知ABCD中，延长AB到E，使BE AB，连接ED交BC、AC于F、G. 1 2 求EFFGGD的值 思路点拨 本题考查平行截割
7、定理及其推论的应用解答本题需要求出 EFFG，EFGD的比值，进而求出EFFGGD的值 精解详析 四边形ABCD是平行四边形， ADBC. BE AB， 1 2 . EF ED BE AE 1 3 BF AD 设EFk，ED3k，FD2k. BCAD， . FG GD FC AD 2 3 ，FG k，GD k， FG FD 2 5 4 5 6 5 EFFGGDk k k， 4 5 6 5 即EFFGGD546. 求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设的参数k表示所求结论中的6 各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论 3.如图，在ABC中，AD平分 BAC，DEAC，EFBC，AB
8、15，AF4，则DE_. 解析：设DEx，DEAC，EFBC， ，解得BE . BE 15 x x4 15x x4 . BD DC BE EA BE 15BE x 4 又AD平分BAC， ， BD DC BA AC 15 x4 x 4 解得x6. 答案：6 对应学生用书P11 一、选择题 1如图，ABCDEF，AF，BE相交于O，若AOODDF，BE10 cm，则BO的长为( ) A. cm B5 cm 10 3 C. cm D3 cm 5 2 解析：CDEF，ODDF， C为OE中点，OCCE. ABCD，AOOD，O为BC中点， BOOC，OB BE cm. 1 3 10 37 答案：A
9、2如图，AD是ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点 F，则AFFD为( ) A21 B31 C41 D51 解析：要求AFFD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比 过D作DGAC交BE于G， 如图，因为D是BC的中点， 所以DG EC，又AE2EC， 1 2 故AFFDAEDG2EC EC41. 1 2 答案：C 3.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC于 F，下列结论： ； ； ； EC CD EF AF FG AG BG GD AE AG BD DG ，其中正确的个数是( ) AF CD AE DE A1个 B2个 C3个 D4个 解析：BCAD
10、， ， ，、正确 EC CD EF AF FG AG BG GD 由BCAD得 ， AF EF CD CE . AF AFEF CD CDCE 即 ，即 ，正确 AF AE CD DE AF CD AE DE 答案：C 4如图，已知P、Q分别在BC和AC上， ， ，则 ( ) BP CP 2 5 CQ QA 3 4 AR RP8 A314 B143 C173 D1714 解析：过点P作PMAC， 交BQ于M， 则 . AR RP AQ PM PMAC且 ， BP CP 2 5 . QC PM BC BP 7 2 又 ， CQ QA 3 4 . AQ PM QC PM AQ QC 7 2 4 3
11、 14 3 即 . AR RP 14 3 答案：B 二、填空题 5如图，ABEMDC.AEED，EFBC，EF12 cm，则BC的长为_ 解析：Error!E为AD中点，M为BC的中点 EFBCEFMC12 cm. BC2MC24 cm. 答案：24 cm 6如图，ABCD中，N是AB延长线上一点， 的值为 BC BM AB BN _9 解析：ADBM， . AB BN DM MN 又DCAN， ， DM MN MC MB ，即 . DMMN MN MCMB MB DN MN BC BM 1. BC BM AB BN DN MN DM MN MN MN 答案：1 7.如图所示，l 1 l 2
12、l 3 ，若CH4.5 cm，AG3 cm，BG5 cm，EF12.9 cm，则DH_，EK_. 解析：由l 1 l 2 l 3 ，可得 ， DH CH BG AG 所以DH 7.5 (cm)， BGCH AG 5 4.5 3 同理可得EK的长度 答案：7.5 cm 34.4 cm 8.梯形ABCD中，ADBC，ADBCab.中位线EFm，则MN的长是_ 解析：易知EF (ADBC)， 1 2 EMFN AD. 1 2 又ADBCab，设ADak，则BCbk. EF (ADBC)， 1 2 m (ab)，k . k 2 2m ab MNEFEMNFm ak ak 1 2 1 2 mak . m
13、ba ab 答案： mba ab10 三、解答题 9如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E、F，交CB的延 长线于N.若AE2，AD6. 求：AFAC的值 解：ADBC， ， . AF FC AE NC AF AFFC AE AENC AMMB， 1，AEBN. AE BN AM MB . AF AC AE AEBNBC AE 2AEBC AE2，BCAD6， . AF AC 2 2 26 1 5 即AFAC15. 10如图，在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q 两点 求证：APPQQC. 证明：四边形ABCD是平行四边形，E，F
14、分别是BC，AD边上的中点， DF綊BE，四边形BEDF是平行四边形 在ADQ中，F是AD的中点，FPDQ， P是AQ的中点，APPQ. 在CPB中，E是BC的中点，EQBP， Q是CP的中点，CQPQ. APPQQC. 11如图，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD. (1)求证：OEOF；11 (2)求 的值； OE AD OE BC (3)求证： . 1 AD 1 BC 2 EF 解：(1)证明：EFAD，ADBC， EFADBC. EFBC， ， . OE BC AE AB OF BC DF DC EFADBC， . AE AB DF DC ，OEOF. OE BC OF BC (2)OEAD， . OE AD BE AB 由(1)知 ， OE BC AE AB 1. OE AD OE BC BE AB AE AB BEAE AB (3)证明：由(2)知 1， OE AD OE BC 2.又EF2OE， 2OE AD 2OE BC 2， EF AD EF BC . 1 AD 1 BC 2 EF
