1、第六课时 函数的单调性（1）【学习导航】 知识网络 学习要求 1理解函数单调性概念；2掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；3提高观察、抽象的能力 ；自学评价1单调增函数的定义：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ()yfxAI如果对于区间 内的任意两个值 ， ，当 时，都有 ，那么就I12x1212()fxf说 在区间 上是单调增 函数， 称为 的单调 增 区间()yfxI()yfx注意：“任意” 、 “都有”等关键词；. 单调性、单调区间是有区别的；2单调减函数的定义：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ()yfxAI如果对于区间 内的任意两个值 ， ，当 时，
2、都有 ，那么I12x1212()fxf就说 在区间 上是单调 减函数， 称为 的单调 减 区间()yfxI()yfx3函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。 （填上升或下降）4函数单调性证明的步骤：（1） 根据题意在区间上设 ；12x（2） 比较 大小 ；12(),fx证明函数单调性求函数单调区间函数单调性单调性定义单调区间定义单调性与图像(3) 下结论函数在某个区间上是单调增（或减）函数 .【精典范例】一根据函数图像写单调区间：例 1：画出下列函数图象，并写出单调区间 （1） ； 2yx（2） ； （3） 21,0() xfx
3、【解】（图略）（）函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；2yx(,0)(0,)（）函数 在 和 上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是1(,0),和 (,0)(,)（）函数 在实数集 上是减函数；21, 0xfR二证明函数的单调性：例 2：求证：函数 f(x)= x 3+1 在区间(,+ )上是单调减函数证明：设 x1，x 2R 且 x1x1，x 22+x1x2+x120所以 f(x1) f(x 2)0 即f(x1)f(x2)所以 f(x)在(,+ )上递减追踪训练一1. 函数 (C)1xy在 内单调递增()A,)在 内单调递减B在 内单调递增 C,在 内单调递减()D1)2. 函数 的单
4、调增区间为 .82xy (4,1)3. 求证： 在区间 上是减函数()f(0,1)证明：设 ，则120x21,x 1()ffx21121221()()()()0xxxx即 2(ff故 在区间 上是减函数)x(0,1)【选修延伸】如果一个函数有两个单调区间，两个区 间一般不取并集： 例: 函数 在其定义域1yx 上是减(,0)(,)函数吗？分析：单调区间的判断目前只有通过定义进 行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明， 而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的 ，12,x并加以说明【解】该命题是假命题；例如 时， 12,x ，显12(),()1fxf然 且
5、，所以函数12x1()ff 在其定义域y上是减函数是不成立(,0),的点评:1单调区间是函数定义域的子集，所以， 求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；2单调区间是单调增区间和单调减区间的 统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有 单调减区间，必须分别写出来。思维点拔：一、利用图像写函数的单调区间？我们只要画出函数的草图，在草图上 要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的 单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间追踪训练1函数 y3x2x 21 的单调递增区间是（B ）A()CD ， ， ， ， 34342. 若函数 是 上的增函数，对于实数()fxR，若 ，则有(A ),ab0()()abafbB()ff()D()f3. 函数 f(x1)x 22x1 的定义域是 ，则 f(x)的单调递2,0减区间是_ _,听课随笔4. 函数 y= 的单调减区间为01，x(，0).5讨论函数 在2)(af)(上的单调性 . ),2解： fx21aax设 ，则1221()0,xx 1(ff212()()axx 120()x当 时， ，此时函数a21()fxf 在21)(xaf)(上是单调减函数；,当 时， ，此时函数1221()fxf 在)(xf)(a上是单调增函数；,【师生互动】听课随笔学生质疑教师释疑
