1、1.1.2 集合间的基本关系学习目标 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断.2.了解 Venn 图的含义，会用 Venn 图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质知识链接1已知任意两个实数 a， b，如果满足 a b， b a，则它们的大小关系是 a b.2若实数 x 满足 x1，如何在数轴上表示呢？ x1 时呢？3方程 ax2( a1) x10 的根一定有两个吗？预习导引1Venn 图(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法(2)适用范围：元素个数较少的集合(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的
2、内部2子集的概念文字语言 符号语言 图形语言集合 A 中任意一个元素都是集合 B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集AB(或BA)3集合相等与真子集的概念定义 符号表示 图形表示集合相等如果 AB 且 BA，就说集合 A与 B 相等A B真子集如果集合 AB，但存在元素x B，且 xA，称集合 A 是 B的真子集A B(或B A)4.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集(2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的子集5子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA.(2)对于集合 A， B， C，如果 AB，且 BC，那么 AC.要点一 有限
3、集合的子集确定问题例 1 写出集合 A1,2,3的所有子集和真子集解 由 0 个元素构成的子集：；由 1 个元素构成的子集：1，2，3；由 2 个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3；由 3 个元素构成的子集：1,2,3由此得集合 A 的所有子集为， 1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3在上述子集中，除去集合 A 本身，即1,2,3，剩下的都是 A 的真子集规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身2一般地，若集合 A 中有 n 个元素，则其子集有 2n个，真子集有
4、 2n1 个，非空真子集有2n2 个跟踪演练 1 已知集合 M 满足2,3 M1,2,3,4,5，求集合 M 及其个数解 当 M 中含有两个元素时， M 为2,3；当 M 中含有三个元素时， M 为2,3,1，2,3,4，2,3,5；当 M 中含有四个元素时， M 为2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5；当 M 中含有五个元素时， M 为2,3,1,4,5；所以满足条件的集合 M 为2,3，2,3,1，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5，2,3,1,4,5，集合 M 的个数为 8.要点二 集合间关系的判定例 2 指出下列各对集合之间的关系：(1)A
5、1,1， B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；(2)A x|x 是等边三角形， B x|x 是等腰三角形；(3)A x|1 x4， B x|x50；(4)M x|x2 n1， nN *， N x|x2 n1， nN *解 (1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关系(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 A B.(3)集合 B x|x5，用数轴表示集合 A， B 如图所示，由图可知 A B.(4)由列举法知 M1,3,5,7， N3,5,7,9，故 N M.规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数
6、轴来表示，这也属于集合表示的一种图示法注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示跟踪演练 2 集合 A x|x2 x60， B x|2x70，试判断集合 A 和 B 的关系解 A3,2， B .x|x 723 ，2 ，72 723 B,2 B AB又 0 B，但 0A， A B.要点三 由集合间的关系求参数范围问题例 3 已知集合 A x|3 x4， B x|2m1 x m1，且 BA，求实数 m 的取值范围解 BA，(1)当 B时， m12 m1，解得 m2.(2)当 B时，有Error!解得1 m2，综上得 m|m1规律方法 1.(1)分析集
7、合间的关系时，首先要分析、简化每个集合(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误2涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用跟踪演练 3 已知集合 A x|1 x2， B x|1 x a， a1(1)若 A B，求 a 的取值范围；(2)若 BA，求 a 的取值范围解 (1)若 A B，由图可知 a2.(2)若 BA，由图可知 1 a2.1集合 A x|0 x3， xN的真子集的个数为( )A4 B7 C8 D16答案 B解析 可知 A0,1,2，其真子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，即共有2317(个)2设集合
8、 M x|x2，则下列选项正确的是( )A0 M B0 M C M D0 M答案 A解析 选项 B、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项 D 中是元素与集合之间的关系，符号错误3已知 M1,0,1， N x|x2 x0，则能表示 M， N 之间关系的 Venn 图是( )答案 C解析 M1,0,1， N0，1， N M.4已知集合 A2,9，集合 B1 m,9，且 A B，则实数 m_.答案 1解析 A B，1 m2， m1.5已知 x|x2 x a0，则实数 a 的取值范围是_答案 a14解析 x|x2 x a0 x|x2 x a0.即 x2 x a0 有实根 (1) 24 a0，得 a
9、 .141.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x A，能推出 x B，这是判断 AB 的常用方法(2)不能简单地把“ AB”理解成 “A 是 B 中部分元素组成的集合”，因为若 A时，则 A 中不含任何元素；若 A B，则 A 中含有 B 中的所有元素(3)在真子集的定义中， A、 B 首先要满足 AB，其次至少有一个 x B，但 xA.2集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含 n 个元素的集合有 2n个子集，有 2n1 个真子集，有 2n2 个非空真子集
10、一、基础达标1下列命题中，正确的有( )空集是任何集合的真子集；若 A B， B C，则 A C；任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；如果不属于 B 的元素也不属于 A，则 AB.A B C D答案 C解析 空集只是空集的子集而非真子集，故错；真子集具有传递性，故正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故错；由 Venn 图易知正确2已知集合 A0,1,2，且集合 A 中至少含有一个偶数，则这样的集合 A 的个数为( )A6 B5 C4 D3答案 A解析 集合0,1,2的子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，其中含有偶数的集合有 6 个3设集合 P x|y x2， Q(
11、x， y)|y x2，则 P 与 Q 的关系是( )A PQ B PQC P Q D以上都不对答案 D解析 集合 P 是指函数 y x2的自变量 x 的取值范围，集合 Q 是指所有二次函数 y x2图象上的点，故 P， Q 不存在谁包含谁的关系4已知集合 A x|1 x4， B x|x a，若 A B，则实数 a 满足( )A a4 B a4 C a4 D a4答案 D解析 由 A B，结合数轴，得 a4.5集合1,0,1共有_个子集答案 8解析 由于集合中有 3 个元素，故该集合有 238 个子集6设集合 M x|2x25 x30， N x|mx1，若 NM，则实数 m 的取值集合为_答案
12、2,0， 13解析 集合 M3， 若 NM，则 N3或 或.于是当 N3时， m ；当 N12 12 13时， m2；当 N时， m0.所以 m 的取值集合为2,0， 12 137已知集合 A( x， y)|x y2， x， yN，试写出 A 的所有子集解 A( x， y)|x y2， x， yN， A(0,2)，(1,1)，(2,0) A 的子集有：，(0,2)， (1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)二、能力提升8已知集合 A x|ax22 x a0， aR，若集合 A 有且仅有 2 个子集，则实数
13、 a 的取值是( )A1 B1C0,1 D1,0,1答案 D解析 因为集合 A 有且仅有 2 个子集，所以 A 仅有一个元素，即方程 ax22 x a0( aR)仅有一个根(1)当 a0 时，方程化为 2x0，此时 A0，符合题意(2)当 a0 时，由 2 24 aa0，即 a21， a1.此时 A1，或 A1，符合题意 a0 或 a1.9已知集合 A ， B ，则( )x|xk3， k Z x|x k6， k ZA A B B B AC A B D A 与 B 关系不确定答案 A解析 对 B 集合中， x ， kZ，当 k2 m 时， x ， mZ；当 k2 m1 时，k6 m3x ， mZ
14、，故按子集的定义，必有 A B.m3 1610设集合 A1,3， a， B1， a2 a1，且 AB，则实数 a 的值为_答案 1 或 2解析 AB，则 a2 a13 或 a2 a1 a，解得 a2 或 a1 或 a1，结合集合元素的互异性，可确定 a1 或 a2.11已有集合 A x|x24 x30， B x|mx30，且 BA，求实数 m 的集合解 由 x24 x30，得 x1 或 x3.集合 A1,3(1)当 B时，此时 m0，满足 BA.(2)当 B时，则 m0， B x|mx30 .3m BA， 1 或 3，解得 m3 或 m1.3m 3m综上可知，所求实数 m 的集合为0,1,3三
15、、探究与创新12已知集合 A x|x1 或 x4， B x|2a x a3，若 BA，求实数 a 的取值范围解 当 B时，只需 2a a 3, 即 a3.当 B时，根据题意作出如图所示的数轴，可得Error!或 Error!解得 a4 或 2 a3.综上，实数 a 的取值范围为 a|a4 或 a213若集合 A x|ax22 x10， xR至多有一个真子集，求 a 的取值范围解 当 A 无真子集时， A，即方程 ax22 x10 无实根，所以Error! 所以 a1.当 A 只有一个真子集时， A 为单元素集，这时有两种情况：当 a0 时，方程化为 2x10，解得 x ；12当 a0 时，由 44 a0，解得 a1.综上，当集合 A 至多有一个真子集时，a 的取值范围是 a0 或 a1.
