1、课题：1.3 函数的奇偶性与单调性的综合学 习 目 标 展 示1. 理解奇偶函数的单 调 性 的性质；2. 会 解 决 有 关 抽 象 函 数 的 单 调 性 与 奇偶性 的 问 题 .衔 接 性 知 识1. 如 何 用 定 义 判 断 函 数 的 奇 偶 性 ？答 ： 按 “求 定 义 域 化 简 解 析 式 计 算 结 论 ”来 判 断()fx2.如 何 判 断 函 数 的 单 调 性 ？基 础 知 识 工 具 箱要 点 性 质奇 函 数 的 性 质 是 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称()fx()Fx 是 奇 函 数 ()ff()fxf偶 函 数 的 性 质 是 偶 函 数
2、 的 图 象 关 于 轴 对 称()fx()xy 是 奇 函 数 ff()|)fx奇 偶 函 数 的 运 算具 有 奇 偶 性 的 两 个 函 数 在 公 共 定 义 域 上 有 ：奇 奇 奇 、 奇 奇 偶 、 奇 偶 奇 、 偶 偶 偶单 调 性 的 性 质 若 ， 则 与 的 单 调 性 相 同 ； 若 ， 则0k()ykfxf 0k与 的 单 调 性 相 反()yfx 若 ， 则 与 的 单 调 性 相 反 ；0f1()yfxf 具 有 单 调 性 的 两 个 函 数 在 公 共 定 义 域 上 有 ：增 增 增 、 减 减 减 ， 其 它 情 形 规 律 不 确 定奇 偶 性 与 单
3、 调 性的 关 系若 为 奇 函 数 ， 则 与 时 单 调 性 相 同 ； 若 为 偶 函 数 ， 则()fx0x()fx与 时 单 调 性 相 反0典 例 精 讲 剖 析例 1.函数 的值域为_()13fxx解析 在( ，1上单调递减， 在3， )上单调递增yyx 在3,1上为减函数，()f当 时， ；当 时，3xmax(3)2f1xmin(1)2f所以 的值域为()f,例 2.已知函数 是奇函数， 是偶函数，且对于定义域内的任一 都有()yf()ygx，求 与 的解析式2()fxgxx分 析 利 用 函 数 的 性 质 再 得 到 一 个 关 于 与 的 等 式 ，然 后 把 与()fx
4、()f看 作 未 知 量 ，利 用 方 程 的 观 点 求 解 与 () g解析 由 2()fxgx用 代替 得， 2()f x 为奇函数， 为偶函数， ()yfxygx2()fgx由+，得 ，由 ，得2f 2x例 3.若函数 是定义在 上的偶函数，在 ( ，0上是减函数，且 ，则使得()xR(2)0f的 的取值范围是( )()0fA(，2) B(2,2) C(2，) D( ，2)(2，)解析 由题意知 ，2)0ff当 时， ，所以 ；0x(xx由对称性知， 时， 为增函数， ，所以 。()f()2f02x故 或 ，即 时， ，因此选 B.22,点评 可用数形结合法求解由题意画出示意图如图所示
5、可知选 B. 例 4.已知函数 对任意 ，总有 ，且当 时，()fx,yR()()fxyfx0x， ，()0fx2(1)3f(1) 判 断 的奇偶性；(2)求 证 在 上 是 减 函 数 ；()fR(3)求 在 上 的 最 大 值 及 最 小 值 x,分 析 欲 证 (1)中 为 减 函 数 ，依 定 义 ，对 必 须 证 出 .利fx12x21()0fxf用 单 调 性 求 在 上 的 最 值 ，而 将 条 件 时 ， 转 化 为f3,0时 ， 是 本 题 的 关 键 210x21()0解 析 (1) ， ，又 ，(ff)f()(0)fxf，所以 是奇函数fx(2)设 则1212121)(f
6、fxfff ，据 题 意 有02()0 ，即 ， 在 上 是 减 函 数 21()fxf12ff()yfxR(3)由(2)知， f(x)在 上递减， 最大， 最小，3,3而 ，2()()1()3ffff(3)(0fff(3) f(3)2 在 上 的 最 大 值 2，最小值为2.)x3,精 练 部 分A 类试题（普通班用）1. 对于函数 f(x)Error!，下列结论中正确的是( )A是奇函数，且在0,1上是减函数 B是奇函数，且在1，)上是减函数C是偶函数，且在1,0上是减函数 D是偶函数，且在(，1上是减函数答案 D解析 画出函数图象如图 ，图象关于 轴对称，所此函数为偶函数，y在(，1上为减函数2. 函数 y x (1x2)的最大值与最小值的和为( )2xA0 B C 1 D152答案 A解析 y x 在1,2上为增函数，当 x1 时 ymin1，当 x2 时， ymax1.故选 A.2x3.设函数 f(x) 为奇函数，则 a_.(x 1)(x a)x解析 f(x) (x1)( x a)为奇函数 g(x)( x1)( x a)为偶函数，1x故 g(1) g(1)， a1.4.设函数 f(x) 是奇函数( a、b、cZ)，且 f(1)2， f(2)2 即 a3时， f(x)在 a1， a上是增函数，则Error! a6.综上得 a1 或 a6.
