1、第 12课时 空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式 .2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置 .3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离 .三楼屋顶有一蜂窝,住户报 119,消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢,但水枪有效射程只有20米,而消防车也只能到达宅基线距离楼房角 A处 8米远的坡坎边,若屋的长、宽、高分别为 15米、10 米、4 .2米,蜂巢能被击落吗?问题 1:空间直角坐标系(1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点 O的三条直线分别为 x轴、 y轴、 z轴 .这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz,其中点 O叫作坐标 原点 ,x
2、轴、 y轴、 z轴叫作 坐标轴 .通过每两个坐标轴的平面叫作 坐标平面 ,分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面 . (2)画法:在平面上画空间直角坐标系 Oxyz时,一般使 xOy= 45或 135 , yOz=90. (3)坐标:设点 M为空间的一个定点,过点 M分别作垂直于 x轴、 y轴和 z轴的平面,依次交 x轴、 y轴和 z轴于点 P、 Q和 R.设点 P、 Q和 R在 x轴、 y轴和 z轴上的坐标分别为x、 y和 z,那么点 M就和有序实数组( x,y,z)是 一一对应 的关系,有序实数组( x,y,z)叫作点 M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z)
3、,其中 x叫作点 M的 横坐标 ,y叫作点 M的 纵坐标 ,z叫作点 M的 竖坐标 . (4)说明:本书建立的坐标系都是 右 手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系 . 问题 2:空间两点间的距离公式(1)公式:空间中任意两点 P1(x1,y1,z1)与 P2(x2,y2,z2)之间的距离 |P1P2|= ,特别地,任一点 P(x,y,z)与原点间的距离 |OP|= (21)2+(21)2+(21)2. 2+2+2(2)说明:注意此公式与两点的先后顺序无关 .空间两点间的距离公式
4、可以看成平面内两点间距离公式的推广 .问题 3:情境中要知蜂巢能否被击落,实质上就是比较消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小,这个问题可以通过立体几何的知识可以解决,但我们想换一种思维即采用代数的方法,借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的 距离 ,我们就可以解决上面的这个实际应用题 . 问题 4:如果 |OP|是定长 r,那么方程 x2+y2+z2=r2表示的图形是 以原点为圆心,以 r为半径的球面 . 1.点 P(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是( ).A.在 y轴上 B.在 xOy平面上C.在 xOz平面上 D.在 yOz平面上
5、2.点 A是点 P(1,2,3)在平面 yOz内的射影,则 |OA|等于( ).A. B. C.2 D.14 13 3 113.在 xOy平面内有两点 A(-2,4,0),B(3,2,0),则 AB的中点坐标是 . 4.在 xOy平面内的直线 x+y=1上确定一点 M,使点 M到点 N(6,5,1)的距离最小 .确定空间内点的坐标如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中, AD=3,AB=5,AA1=4,建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标 .空间中两点之间的距离如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AD=AA1=2,AB=4,DE AC,垂足为 E,求 B1E的长 .正
6、确建立空间直角坐标系如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 AA1底面 ABC,所有的棱长都是 1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标 .如图,在正方体 ABCD-ABCD中, E,F,G分别是 BB,DB,DB的中点,棱长为 1,求 E,F点的坐标 .如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,M为 BD1的中点,点 N在 A1C1上,且 A1N=3NC1,试求 MN的长 .在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是一个直角梯形, BAD=90,AD BC,AB=BC=a,AD=2a,PA底面 ABCD, PDA=30,AE PD于 E.试建立适当的坐标系,求出各点的坐标
7、.1.点 M(1,-2,2)到原点的距离是( ).A.9 B.3 C.1 D.52.点 P(2,3,4)到 x轴的距离是( ).A. B.2 C.5 D.13 293.已知正方体不在同一表面上的两顶点( -1,2,-1)、(3, -2,3),则正方体的棱长为 . 4.求点 A(1,2,-1)关于坐标平面 xOy及 x轴对称的点的坐标 .已知空间直角坐标系 Oxyz中,点 A(1,1,1),平面 过点 A并且与直线 OA垂直,动点P(x,y,z)是平面 内的任意一点,求点 P的坐标满足的条件 .考题变式(我来改编):第 12课时 空间直角坐标系知识体系梳理问题 1:(1)原点 坐标轴 坐标平面
8、xOy yOz zOx(2)45或 135 (3)一一对应 M(x,y,z) 横坐标 纵坐标竖坐标 (4)右 x y z问题 2:(1) (21)2+(21)2+(21)22+2+2问题 3:距离问题 4:以原点为圆心,以 r为半径的球面基础学习交流1.C 点 P(2,0,3)在 xOz平面上 .故选 C.2.B 点 P在 yOz内射影为 A(0,2,3),|OA|= = .故选 B.22+32 133.( ,3,0) 由中点坐标公式得 AB的中点坐标为( , ,0),即( ,3,0).12 322 4+22 124.解:由已知,可设 M(x,1-x,0),则 |MN|= = .(6)2+(1
9、5)2+(01)2 2(1)2+51 51 当 x=1,y=0时, |MN|min= . 点 M坐标为(1,0,0) .51重点难点探究探究一:【解析】 如图,以 DA所在直线为 x轴,以 DC所在直线为 y轴,以 DD1所在直线为 z轴,建立空间直角坐标系 Oxyz. 长方体的棱长 AD=3,DC=AB=5,DD1=AA1=4,显然 D(0,0,0),A在 x轴上,A (3,0,0);C在 y轴上, C (0,5,0);D1在 z轴上, D 1(0,0,4);B在 xOy平面内, B (3,5,0);A1在 xOz平面内, A 1(3,0,4);C1在 yOz平面内, C 1(0,5,4).
10、由 B1在 xOy平面内的射影为 B(3,5,0),B 1的横坐标为 3,纵坐标为 5,B 1在 z轴上的射影为 D1(0,0,4),B 1的竖坐标为 4,B 1(3,5,4).【小结】(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; 充分利用几何图形的对称性 .(2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标 .探究二:【解析】 如图,以点 D为原点,以 DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴,建立空间直角坐标系 .则 D(
11、0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0),设点 E的坐标为( x,y,0),在坐标平面 xOy内,直线 AC的方程为 + =1,24即 2x+y-4=0,DE AC, 直线 DE的方程为 x-2y=0.由 得2+4=0,2=0, =85,=45,E ( , ,0).8545|B 1E|= = ,(852)2+(454)2+(02)26105即 B1E的长为 .6105【小结】通过建立空间直角坐标系,将“数”与“形”结合起来;本题求点 E的横坐标、纵坐标还可以在 Rt ACD中利用直角三角形的有关知识求解 .探究三:【解析】 如图(1),分别以 AB,AC,AA1所在
12、的直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,显然 A(0,0,0),又 各棱长均为 1,且 B、 C、 A1均在坐标轴上, B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1,C1分别在 xOz平面和 yOz平面内,B 1(1,0,1),C1(0,1,1), 各点坐标为 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,1,1).问题上面建立的空间直角坐标系中, BAC=90吗?结论因为三棱柱各棱长均为 1,所以 ABC为正三角形,即 BAC=60,即错解建立的坐标系中 xOy90 .故本题做错的原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系
13、中三个坐标轴两两垂直的本质 .建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴 .如果没有满足条件的直线,可以让某一条坐标轴“悬空” .于是,正确解答如下:取 AC的中点 O和 A1C1的中点 O1,可得 BO AC,分别以 OB, OC, OO1所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系, 三棱柱各棱长均为 1, OA=OC=O1C1=O1A1= ,OB= ,12 32A 、 B、 C均在坐标轴上,A (0,- ,0),B( ,0,0),C(0, ,0),12 32 12点 A1(0,- ,1),C1(0, ,1),12 12点 B1在 xOy面内射影为 B,且 BB1=1.B 1( ,0
14、,1),32 各点的坐标为 A(0,- ,0),B( ,0,0),C(0, ,0),12 32 12A1(0,- ,1),B1( ,0,1),C1(0, ,1).12 32 12【小结】求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系,建系时要注意坐标轴必须相交于同一点且两两垂直,并符合右手法则 .思维拓展应用应用一: E点在 xDy平面上的射影为 B(1,1,0),竖坐标为 ,E (1,1, ).12 12F点在 xDy平面上的射影为 BD的中点 G( , ,0),竖坐标为 1,F ( , ,1).1212 1212应用二:以 D为原点,以 DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x轴, y轴,
15、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 .因为正方体棱长为 a,所以 B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).取 A1C1中点 O,由于 M为 BD1的中点,所以 M( , , ),O( , ,a).222 22因为 |A1N|=3|NC1|,所以 N为 A1C1的四等分点,从而 N为 OC1的中点,故 N( , ,a).434根据空间两点间距离公式,得 |MN|= = a.(24)2+(234)2+(2)2 64应用三:如图, BAD=90,PA底面 ABCD, 可以以点 A为坐标原点,分别以 AB,AD,AP所在的直线为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐
16、标系 .则点 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).PA 底面 ABCD,PA AD. PDA=30,PA=AD tan 30= a,233P (0,0, a).233 面 PAD面 ABCD,过点 E作 EF AD交 AD于点 F,则点 F为点 E在底面 ABCD内的射影,在 Rt AED中, EDA=30,AE= AD=a,由 AE2=AF AD,12得 AF= = ,22EF 2=AE2-AF2= ,即 EF= ,324 32E (0, , ).2 32基础智能检测1.B d= =3.(10)2+(20)2+(20)22.C 点 P(2,3,4)在 x
17、轴上的射影为 A(2,0,0),|PA|= =5.故选 C.32+423.4 正方体的体对角线长为=4 ,正方体的棱长为 4.(3+1)2+(22)2+(3+1)2 34.解:如图所示,过点 A作 AM xOy平面于点 M,并延长到 C,使 |AM|=|CM|,则 A与 C关于坐标平面 xOy对称且 C(1,2,1).过点 A作 AN x轴于点 N,并延长到点 B,使 |AN|=|NB|,则 A与 B关于 x轴对称且 B(1,-2,1). 点 A关于坐标平面 xOy对称的点的坐标为(1,2,1);关于 x轴对称的点的坐标为(1, -2,1).全新视角拓展在 Rt OAP中, |OP| 2=|OA|2+|AP|2x 2+y2+z2=3+(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,x 2+y2+z2=x2-2x+y2-2y+z2-2z+6, 2x+2y+2z-6=0.即 x+y+z-3=0为点 P的坐标满足的条件 .思维导图构建( , , )1+22 1+22 1+22(21)2+(21)2+(21)2
