1、10 级信息数学建模与数学实验(实践)任务书一、设计目的通过数学建模与数学实验(实践)实践环节，掌握本门课程的众多数学建模方法和原理，并通过编写 C 语言 或 matlab 程序，掌握各种基本算法在 计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握 C 语言或 matlab 语言编程的基础上， 编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读 性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。二、设计教学内容1 线性规划（掌握线性规划的模型、算法以及 Matlab 实现）。整数线性规划（掌握整数线性规划形式和解法）。2 微分方程建模（掌握根据规律建立微分方程模型及解法；微
2、分方程模型的 Matlab 实现）。3 最短路问题（掌握最短路问题及算法，了解利用最短路问题解决实际问题）。行遍性问题（了解行遍性问题，掌握其 TSP 算法）。4 回归分析（掌握一元线性回归和多元线性回归，掌握回归的 Matlab 实现）。5 计算机模拟（掌握 Monte-carlo 方法、了解随机数的产生；能够用 Monte-carlo 解决实际问题）。6 插值与拟合（了解数据拟合基本原理，掌握用利用 Matlab 工具箱解决曲线拟合问题）。 三、设计时间20122013 学年第 1 学期： 第 16 周 共计一周目录1、 线材切割问题 3摘要一、问题重述 4二、问题分析 4三、模型假设四、
3、符号说明五、模型建立和求解六、参考文献2、输油管的布置摘要一、 问题的重述二、 模型假设三、 符号说明四、 问题分析五、 模型的建立和求解5.1 关于问题 1 的模型建立与求解5.2 关于问题 2 的模型建立与求解5.3 关于问题 3 的模型建立与求解六、 模型的评价和应用七、 参考文献八、 附录线材切割问题摘要：在很多工程领域，都有线材切割问题。这一问题可表述为：设能购买到的不同长度的原线材有 m 种，长度分别为 L1,.,Lm，这些原线材只是长度不同，其它都相同。某工程中所要切割出的线材长度分别为 li,i=1,2,.,n(这里 li =90120 根 3.6 米长的材料，则X1+2X4+
4、2X5+X6=120136 根 2.8 米长的材料，则X2+3X6+2X10+2X11+X12+X13=136310 根 1.85 米长的材料，则2X5+5X7+4X8+X10+2X12=310215 根 0.75 米长的材料，则4X2+7X3+2X4+X8+16X9+X11+2X12+4X13=215320 根 0.55 米长的材料，则4X1+X3+6X4+2X5+5X7+7X8+X10+3X11+4X13=320由上分析得知：min=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13约束条件为：X1+X2+X3=90X1+2X4+2X5+X6=120X2+
5、3X6+2X10+2X11+X12+X13=1362X5+5X7+4X8+X10+2X12=3104X2+7X3+2X4+X8+16X9+X11+2X12+4X13=2154X1+X3+6X4+2X5+5X7+7X8+X10+3X11+4X13=320此外 Xi=0（i=1,2,13）程序及结果min=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13;X1+X2+X3=90;X1+2*X4+2*X5+X6=120;X2+3*X6+2*X10+2*X11+X12+X13=136;2*X5+5*X7+4*X8+X10+2*X12=310;4*X2+7*X3+2*
6、X4+X8+16*X9+X11+2*X12+4*X13=215;4*X1+X3+6*X4+2*X5+5*X7+7*X8+X10+3*X11+4*X13=320;gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(X4);gin(X5);gin(X6);gin(X7);gin(X8);gin(X9);gin(X10);gin(X11);gin(X12);gin(X13);Global optimal solution found.Objective value: 197.0000Objective bound: 197.0000Infeasibilities: 0.000000Extende
7、d solver steps: 0Total solver iterations: 8Variable Value Reduced CostX1 36.00000 1.000000X2 54.00000 1.000000X3 0.000000 1.000000X4 0.000000 1.000000X5 28.00000 1.000000X6 28.00000 1.000000X7 51.00000 1.000000X8 0.000000 1.000000X9 0.000000 1.000000X10 0.000000 1.000000X11 0.000000 1.000000X12 0.00
8、0000 1.000000X13 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 197.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 2.000000 0.0000005 1.000000 0.0000006 1.000000 0.0000007 135.0000 0.000000则根据结果得：长度为 8 米的材料：0 根长度为 12 米的材料：36+54+28+28+51=197 根材料的利用率 100%。六、参考文献：（1） 蒋泽军. 模糊数学教程. 北京：国防工业出版社，2
9、005（2） 熊启才. 数学模型方法及应用. 重庆：重庆大学出版社，2005（3） 曹炳元. 应用模糊数学与系统. 北京：科学出版社，2005输油管的布置摘要：“输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模
10、型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立 2 个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计 2 个变量就可以列出最低费用函数，利用 Matlab 和VC+ 都可以
11、解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于 A 管线、B 管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用 VC+解出了最低费用和路径坐标。关键字： 改进的最短路径 光的传播 Matlab 数学模型一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。利用模型分析管线布置和管线费用的情况
12、，具体问题如下：1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域），B 厂位于城区（图中的 II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请
13、三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20二、模型假设1、管道均以直线段铺设，不考虑地形影响。2、不考虑管道的接头处费用。3、不考虑施工
14、之中的意外情况，所有工作均可顺利进行。4、共用管线的价格如果和非公用管线不一致，则共用管线价格大于任意一条非公用管线价格，小于两条非公用管线价格之和三、符号说明h：共用管道的高度（问题一中 b）h1:共用管道高度h2:管线与分界线的交点到 B 厂与铁路平行线的距离w：方案的经费a：A 厂到铁路的距离b：B 厂到铁路的距离c:A 厂到城郊分界线的距离l:A、B 两厂之间的铁路长度x：A 厂离共用管道的距离（问题一中的 c）y：共用管道的高度（问题一中的 c）m：共用管道的费用（问题一）n：非共用管道费用（问题一）y1：为 o 点的纵坐标y2：为 o1 点的纵坐标x1：为 o 点的横坐标x2：为
15、o1 点的横坐标L: 为管线总长度（问题一中的 b）四、问题分析问题一：要考虑有和没有共用管线，还要考虑共用管线与非共用管线费用相同和不同两种情况。同时还要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同一侧那么一定没有共用管线。 不在铁路的同一侧那么就要考虑有和没有共用管线这个问题。计算共用管线的长度时，用光学原理，把一个工厂当作光源发射一束光经过一个平面的反射通过另一个工厂，这样能够保证路线最短。这个平面与铁路的距离即为共用管线的长度。同时与这个平面的交点就是两厂的管线的交点。当共用管线与非共用管线费用不相同时可以通过建立方程组来解答。当共用管线与非共用管线费用不相同时要建立方程组来
16、计算其最小费用从而来确定方案的可行性，共用管线与非共用管线长度作为变量来控制总费用，那么我们就可以列出一个方程组，从而在变量的约束条件下可以确定最小费用。问题二：把这个问题分两部分来考虑，即市区和郊区分两个部分，火车站建立在郊区费用要小得多，郊区共用管线与非共用管线的费用相同所以可以用最短路径的方法来考虑，同时又要求费用最小，可以解出最低费用及对应的铺设线路。问题三：通过建立坐标系设两个点的坐标，同时也是表达管线的长度，然后再与各自的费用之积确定总的费用，从而算出两点的坐标值。即确定了管线的路线。五、模型的建立与求解5.1 关于问题 1 的模型建立与求解对于管线布置的分析，分为两种情况：1.
17、两厂分别在铁路的两侧如下图： 那么连接两厂 A、B 与铁路的交点 C 即为火车站的位置。2. 当两厂位于铁路的同一侧时,此时要分有公用管线与没有公用管线两种情况。a.当没有公用管线时，此时找出两厂与铁路交点连线的最近路线即可，如图：过铁路作 A 厂的对称点 A，连接 AB 与铁路交于一点 C，该点 C 即为火车站的位置。b.当有共用管线时又要分为共线管线费用与非共线管线费用相同与不同两种情况：当共线管线与非共线管线相同时，费用为 m 万元/千米如图所示：假设共线管线的长度为 h，A 厂到铁路的距离为 a，B 厂到铁路的距离为 b，则总的管线长度为： hlbaL2)()( )0(b则总费用： m
18、W1c.当共线管线与非共线管线不同时，共用管线费用为 m 万元/千米 ，非共用管线费用为 n 万元/千米，如图所示：总费用为： nybxlyamW )()()( 222其中 lx0),a(by实际的费用可以根据已知道的常量 a、b、l 再结合 x、y 的取值范围可以得出最小费用。5.2 关于问题 2 的模型建立与求解因为在城区和郊区铁路管线的费用相同，但城区要增加拆迁和工程补偿等费用，因此城区和郊区要分为两部分来考虑。我们考虑三家咨询公司给出的三个方案，我们考虑到甲级资质和乙级资质的评估准确性，首先排除掉公司二的预算，对于公司一和公司三的预算，我们将分别求出最小费用，考察两者的差别。1假设共用
19、管线在郊区把该模型看作是一束光从 B 点发射在分界处 G 点发生了折射，把左边的问题看作是最短路径问题，如图所示：设共用管线的长度为 h1，G 点到 O2B 的距离为 h2。在区域中即 BG 段每千米的费用为：20+7.2=27.2 万元。由以上分析数据可得如下关系式：总费用： W1（最小）= （式25.27.)15)8(221 hhh1）参数 的取值范围： （式h012）参数 的取值范围： （式82h3）利用 Matlab 将式（1） （2） （3）联立关系式绘图：用 Microsoft Visual C+ 6.0 解:W1(最小)= 275.13404 万元运行结果：在这种情况下采用公司一
20、的预算，只需要在上式中将 27.2 增加为 28.2 即可，计算得到总费用：280.177831 万元运行结果：2假设共用管线在城区同理，如图所示：由以上分析数据可得如下关系式：总费用：W2（最小）= （式 1）212212 )5(6.)58(.7 hhh参数 的取值范围： （式1h012）参数 的取值范围： （式82h3）用 Microsoft Visual C+ 6.0 解得W2（最小）= 355.25587运行结果：显然 W1（最小 ）#includevoid main()double h1,h2,w;double a,b;double min = 10000;for(h1=0;h18)
21、continue;w=27.2*sqrt(25+h2*h2)+(sqrt(5-h1+8-h1-h2)*(5-h1+8-h1-h2)+225)+h1)*7.2;if(minw)min=w;a=h1;b=h2;printf(“%f n“,min);printf(“%f %f n“,a,b);运行结果：2、按照公司一评估总费用为：问题 3 程序：1、按照公司三评估总费用为：#include“stdio.h“#include“math.h“main() double x2,y2,y1,w,a,b,c,min=1000;for(x2=-15;x2w)min=w;a=x2;b=y2;c=y1;printf(“min=%f nx2=%f ny2=%f ny1=%fn“,min,a,b,c);运行结果：将循环因子的步长降低之后，进一步精确求解值为：#include“stdio.h“#include“math.h“main() double x2,y2,y1,w,a,b,c,min=1000;for(x2=-9;x2w)min=w;a=x2;b=y2;c=y1;printf(“min=%f nx2=%f ny2=%f ny1=%fn“,min,a,b,c);2、按照公司一的评估的总费用为：
