1、2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开
2、展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写） ： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ：河南商业高等专科学校 参赛队员 (打印并签名) ：1. 窦亚军 2. 秦广绪 3. 秦广运 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张香琴 日期： 2012 年 9 月 10 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）
3、： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 机器人避障问题 摘要 机器人避障问题是指在有障碍的工作环境中，寻找一条从起始点到目标点的行走路 径，使机器人在运动过程中能安全、无碰撞地绕过所有障碍物。在找到符合以上路径的 基础上进行优化，找出最短路径和最短时间路径。对于最短路径，本文采用势场法，即 对目标吸引，对障碍排斥，连接起始点和目标点，如果没有障碍物，即为最短路径。当 有障碍物时，采用假设修正法在障碍物周边选择较优登陆点，然后以登陆点为起始点 （目标点） ，采用同样的方法，寻找与其相邻的登陆点，直到各相邻登陆
4、点之间没有障 碍物。最后对拐角进行修正，本文以 r=10 半径在拐角处（登陆点）做弧，各弧长和直 线长相加为总路径长，进行比较，可得出最短路径。 对于最短时间路径，我们运用穷列举法求出以不同点以不同半径为拐角的行走时间， 然后进行比较，得到最短时间路径。 问题（1）最短路径： A O 最短路径为：471.04 时间：96.0176 B O 最短路径为：853.70 时间：179.3427 C O 最短路径为：1090.80 时间：223.333 O C B A O 最短路径为：2760.52 时间：576.7457 问题（2）最短时间路径： A O 最短时间路径：471.1243 时间：94.
5、2285 关键字：势场法 假设修正法 登陆点 穷列举 2 1 问题的重述 1.1 背景分析 图1是一个800800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该 平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍 物，障碍物的数学描述如下表： 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)，右下顶点坐标(410
6、, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435)，右下顶点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220，宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60，宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300，宽60 在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与 障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机
7、器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中 圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧 组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。 为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单 位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为 5 0 v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为 2 1 . 0 10 0 e 1 ) ( v v v ，其中 是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法 完成行走。 1.2 提出问题 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最
8、短路径和最短时间路径的数学模 型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，OA、OB、OC和OABCO的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器 人行走的总距离和总时间。 3 2 问题的分析 对于一般模型，机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间问题， 首先采用势场法选择合理路径，找到登陆点，在登陆点处进行最小拐弯，求出各路径， 取最短路径。对于时间最短路径障碍，在一
9、定范围内进行穷列举，找到最短时间路径。 问题（1）对于从 A O 、 B O 、 C O 采用同样的方法，运用matlab求出各路径 的长度，然后取最优路径。从 O C B A O 时，由于机器人不能进行折线转弯， 所以在目标点周围寻找一点为圆心，以 r 为半径，使目标点在圆上，从而使机器人在拐 弯时经过目标点，求的最短路径。问题（2迭代的方法，求出一定范围内以不同点为圆 心，不定长半径做弧，求出机器人过弧线的最短时间路径。 3 模型假设与符号说明 3.1 模型的假设 （1）假设机器人是一质点，其大小忽略不计； （2）假设机器人行走时按最大速度匀速前进； （3）假设障碍物的形状是规则的且数据可
10、靠。 3.2 符号的说明 （1）C 机器人到目标的总距离 （2）r 机器人避开障碍物旋转的半径 (3) i L 机器人的行走的第i条路线 （4） j D 机器人在走两个圆弧切点连线的中点 （5） i Z 机器人经过的第i个直线段 （6） i h 机器人经过的第i个圆弧 （7）t 行走路径的总时间 4 模型的准备 4.1当障碍物是多边形时拐弯的处理方法 通过比较图(1)中的路径一和路径二，可以得出结论：当旋转半径r越小时，切线路4 径和弧长越短。所以，我们采用最小转弯方案，即在机器人拐弯时，以 10 r 单位进行 转弯。 4.2障碍物是圆时的行走路径方法 当障碍物是圆时，以障碍物半径增加10单位
11、作同心圆，机器人沿着同心圆的外环 行走，此时路径最短，如图（2）所示 4.3求路径长度方法： 1、当初始点与目标点有一个障碍物时，如图（3）所示: C D 起始点 A 目标点 B 图（3） O 目标点 图(2) 初始点 起始点 目标点 图 (1) 路径二 路径一5 设起始点坐标和目标点坐标为 A ) , ( 1 1 y x 、 B ) , ( 2 2 y x ,C ) , ( 3 3 y x 和D ) , ( 4 4 y x 分别为机器 人经过拐点时与拐角小圆弧的切点，圆心为O ) ( , o o y x ，圆的半径为r，AB的长度为a， AO的长度为b，BO的长度为c，角度 AOB = ,
12、AOC = , BOD = ， COD .求A B的长度，设为C 解法如下： 如上图可得有以下关系： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( o o o o o y y x x c y y x x b y y x x aAOB 在中 ： 在 Rt AOC ： = arccos r b 在 BOD Rt 中： arccos r c 所以： 2 从而可得： 2222 Lbrcrr 2、当有多个障碍物时，如图4 所示： 图（4） Q 起始点 目标点 M N E 222 arccos( ) 2 bca bc 6 当有多个障碍物时，进行分段求解
13、，分段点分别是两相邻圆切线连线的中点，依次 求出各段路径长度，方法同上。 5 模型的建立与求解 5.1一般模型的求解 针对在问题中的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要达到的目标点，按照规 定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。需要我们建立 一般模型进行求解。 5.1.1机器人从一点到另一点避障最短路径的数学模型： 建立集合 ) , ( | i i i y x v 其中 i v 为各个障碍物的顶点（节点）及起始点和目标点， ) , ( i i y x 是 i v 的坐标； 建立集合 ，其中该集合的初始时只含两个元素，即路径的起始点 1 v 和目标点 s v 具体做法
14、： 第一步： 用直线连接起始点和目标点得到线段 s v v 1 ， 如果 s v v 1 之间没有障碍物， 则 s v v 1 为最短路径，否则转到下一步； 第二步：把 s v v 1 所穿过障碍物的顶点（节点） i v 添加到 中； 第三步：连接目标点与 中距离最近的节点得到线段 i s v v ，用同样的方法连接起始 点与 中距离最近的节点得到线段 j v v 1 ； 第四步：同第二步把线段 i s v v 、 j v v 1 所穿过障碍物的顶点（节点）添加到 ； 依次类推，直到 i s v v 、 j v v 1 中没有障碍物，结束添加节点。 第五步：把添加节点后的集合 作为最佳路径的登
15、陆点，这样会得到有限的行走路 径，然后通过MATLAB计算得到这些路径的距离，从而找到最短路径， 注：在登陆点我们采用了最小转弯半径的方案。 5.1.2机器人从一点到另一点避障最短时间路径的数学模型： 机器人从起始点到目标点所用的时间不仅与路程有关，还与在轨迹上的速度有关时 间速度路程的关系： 时间=路程/速度； 我们依据常识得：机器人的速度 1 v 在直轨迹上和在曲线轨迹上的运行速度是不同，7 一般而言 弯 直 v v . ，并且 弯 v 会受曲线轨迹的半径的影响，总路程也会受曲线轨迹半 径影响。在求解过程中我们一般会将曲线轨迹看作圆形来处理，直线与曲线的交汇点看 作圆的切点来处理。 模型建
16、立：建立全程时间与速度、路程、曲线半径之间的关系；通过改变或迭代可 控变量优化时间。例如对本题分析； 机器人在曲线上速度v= 2 1 . 0 10 0 1 e v 建立曲线时间函数 弯 t 0 1 . 0 10 ) 1 ( 2 v e l t i 弯机器人在直线上速度 0 单位，建立直线上时间函数 直 t 0 i / d t 直分析速度 随圆弧半径 的增大而增大，且圆弧 i l 也会随 的增大而增大，因此建 立总时间t函数 ： 直 弯 t t t ，并通过多次迭代不断优化时间t；模型求解中我们通过改 变圆弧的半径和圆心的位置求解时间t。解模型时，先通过观察目标点、障碍物、起始 点的位置，推测拐
17、点圆弧的圆心的坐标大致方向，并通过几何方法确定圆心横，纵坐标 的关系。然后通过改变半径，圆心位置迭代，不断优化时间t，即解得最短时间路径。 5.2 问题一的解答 针对机器人从O出发， A O , B O ， C O 和 A O BCO 的最短路 径的各种不同情况，对 A O 有两种不同的路径，O B也有两种不同的路径，O C有 三种不同的路径， O C B A O 有一种路径，对于机器人到这四个不同目标点 的情况，我们用模型准备中的4.3求路径长度的方法，利用MATLAB分别计算出各路径 的距离，并给出了模型一，模型二，模型三，模型四,然后代入数据进行实证研究。 5.2.1 模型一 对于 A
18、O ,我们通过逆序搜索考虑到有两种行走方案，如下图所示： 8 图 5.2.1 假设当O的起点从编号为5障碍物的左上角经过为方案一，路径为路线 1 L ，经过直 线 2 1 ,Z Z 和圆弧 1 h 。路线的起点从障碍物的右下角经过为方案二，且路径为路线 2 L ，经 过直线 4 3 ,Z Z 和圆弧 2 h 。 利用MATLAB求解，得到方案一机器人行走的总距离C为471.04个单位,求解结果 如下表所示。 表（1） ： A O 方案一的路线和起始点坐标及圆弧圆心 路线名称 起点坐标 终点坐标 圆心坐标 1 Z(0,0) (70.5,213.1) 1 h(70.5,213.1) (76.6,2
19、19.4) (80,210) 2 Z(76.6,219.4) (300,300) 利用MATLAB进行求解，得到方案二机器人行走的总距离为498.42个单位，具体结 果如下表所示。 表（2） ： A O 方案二的路线和起始点坐标及圆弧圆心 路线名称 起点坐标 终点坐标 圆心坐标 3 Z（0,0） （232.1,50.2） 2 h（232.1,50.2） （239.7,57.6） （230,60） 4 Z（239.7,57.6） （300,300） 9 综上所述，经过比较我们可以知道方案一是 A O 的最短路径，其距离是471.04 个单位，总时间为96.0176秒。 5.2.2 模型二 对于
20、B O 我们通过逆序搜索考虑到有两种较短的路径，如图所示： 图 5.2.2 假设当以O为起点从编号为6的障碍物左边路过即从三角形左下顶点经过为方案 一，路径为线路 3 L ,线路为 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 Z h Z h Z h Z h Z h Z 。 假设当以O为起点从编号为6的障碍物右边路过即从三角形右下顶点经过为方案二，路 径为线路 4 L ,线路为: 6 5 5 4 9 7 8 6 7 Z h Z h Z h Z h Z 。如图所示（图 5.2.2） ，利用MATLAB求解，得到方案一机器人行走的总距离C为853.70个单位。方案 二机器人行走的总距离C为877.3
21、8 个单位，求解结果如下两表所示。 表（3） ： B O 方案一的路线和起始点坐标及圆弧圆心 线路名称 起点坐标 终点坐标 圆心坐标 1 Z（0,0） （50.1,301.6） 1 h（50.1,301.6） （51.7,305.6） （60,300） 2 Z（51.7,305.6） （141.7,440.5） 2 h（141.7,440.5） （148,444.8） （150,435） 10 3 Z（148.0,444.8） （222,460.2） 3 h（222,460.2） （230,470） （220,470） 4 Z（230,470） （230,530） 4 h（230,530） （
22、225.5,538.4） （220,530） 5 Z（225.5,538.4） （144.5，591.6） 5 h（144.5,591.6） （140.7,596.3） （150,600） 6 Z（140.7,596.3） （100,700） 表（4） ： B O 方案二的线路和起始点坐标及圆弧圆心 线路名称 起点坐标 终点坐标 圆心坐标 7 Z(0,0) (70.5,213.1) 6 h(70.5,213.1) (76,219.2) (80,210) 8 Z(76,219.2) （239，290.8） 7 h（239,290.8） （245,300.6） （235,300） 9 Z（245,
23、300.6） （230,530.7） 4 h（230,530.7） （225.5,538.4） （220,530） 5 Z（225.5,538.4） （144.5,591.6） 5 h（144.5,591.6） （140.7,596.3） （150,600） 6 Z（140.7,596.3） （100,700） 综上所述，经过比较我们可以知道方案一是 B O 的最短路径，其距离是853.70 个单位,总时间为179.3427秒。 5.2.3 模型三 对于 C O ，我们通过逆序搜索考虑到有三种较短的路径，如图所示： 11 图 5.2.3 假设当以O为起点从5号障碍物左上角出发的为方案一，路径为
24、 5 L ，线路为： 5 4 4 3 3 2 2 1 1 Z h Z h Z h Z h Z 6 5 Z h 。 假设当以O为起点从5号障碍物右下角出发的为方案二，路径为 6 L ，线路为： 5 4 4 3 3 2 8 6 7 Z h Z h Z h Z h Z 6 5 Z h 。 假设当以O为起点从4号障碍物右下顶点出发的路线为方案三， 路径为 7 L ， 线路为： 6 5 5 4 11 8 10 7 9 Z h Z h Z h Z h Z 。如图所示（图5.2.3） ，我们利用 MATLAB求解，得到方案一机器人行走的总距离C为1178.42个单位，方案二机器人行走 的总距离C为1167.
25、42个单位，方案三机器人行走的总距离C为1090.80个单位,求解 结果如下表所示。 表（5） C O 方案一的线路和起始点坐标及圆弧圆心坐标 线路名称 起点坐标 终点坐标 圆弧圆心 1 Z（0,0） （70.5,213.1） 1 h（70.5,213.1） （76.5,219.4） （80,210） 2 Z（76.5,219.4） （396.5,339.4） 2 h（396.5,339.4） （398.2，339.8） （400,330） 3 Z（398.2,339.8） （564.9,371.4） 12 3 h（564.9,371.4） （612.6,400.1） （550,450） 4
26、Z（612.6,400.1） （725.1,511.4） 4 h（725.1,511.4） （730,520） （720,520） 5 Z（730,520） （730,600） 5 h（730,600） （727.7,606.4） （720,600） 6 Z（727.7,606.4） （700,640） 表（6） C O 方案二的线路和起始点坐标及圆弧圆心坐标 线路名称 起点坐标 终点坐标 圆弧圆心 7 Z（0,0） （232.1,50.2） 6 h（232.1,50.2） （238.8,55.2） （230,60） 8 Z（238.8,55.2） （391.2,334.8） 2 h（391.
27、2,334.8） （398.2,339.8） （400,330） 3 Z（398.2,339.8） （564.9,371.4） 3 h（564.9,371.4） （612.6,400.1） （550,450） 4 Z（612.6,400.1） （725.1,511.4） 4 h（725.1,511.4） （730,520） （720,520） 5 Z（730,520） （730,600） 5 h（730,600） （727.7,606.4） （720,600） 6 Z（727.7,606.4） （700,640） 13 表（7） ： C O 方案三的线路和起始点坐标及圆弧圆心坐标 线路名称 起
28、点坐标 终点坐标 圆弧圆心 9 Z（0,0） （412.1,90.2） 7 h（412.1,90.2） （418.3,94.5） （410,100） 10 Z（418.3,94.5） （491.7,205.5） 8 h（491.7,205.5） （492.1,206.1） （500,200） 11 Z（492.1,206.1） （728,514） 4 h（728,514） （730,520） （720,520） 5 Z（730,520） （730,600） 5 h（730,600） （727.7，606.4） （720,600） 6 Z（727.7,606.4） （700,640） 综上所述，
29、经过比较我们可以知道方案三是 C O 的最短路径，其距离是 1090.80 个单位，总时间为223.333秒。 5.2.4模型四 对于 O C B A O 我们通过逆序搜索考虑到有一种较短的路径。 如图所示： 图 5.2.4 14 此模型的路径为 8 L ，具体线路为： 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 h Z h Z h Z h Z h Z h Z h Z 14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 8 8 Z h Z h Z h Z h Z h Z h Z 15 14 Z h 。 如图所示， 我们利用MATLAB求解， 得到机器人从起点到目标点的总距
30、离C 为2760.52 个单位。求解结果如下表所示。 表（8） ： O C B A O 的路线和起始坐标及圆弧圆心坐标 线路名称 起点坐标 终点坐标 圆弧圆心 1 Z（0,0） （70.5,213.1） 1 h（70.5,213.1） （76.9,219.5） （80,210） 2 Z（76.9,219.5） （293.1,290.5） 2 h（293.1,290.5） （299.6,302.9） （290,300） 3 Z（299.6,302.9） （229.6,532.9） 3 h（229.6,532.9） （225.5,538.4） （220,530） 4 Z（225.5,538.4）
31、（144.5,591.6） 4 h（144.5,591.6） （140,599.3） （150,600） 5 Z（140,599.3） （102.1,693.8） 5 h（102.1,693.8） （111.5,709.9） （110,700） 6 Z（111.5,709.9） （368.5,670） 6 h（368.5,670） （370,670） （370,680） 7 Z（370,670） （430,670） 7 h（430,670） （427.4,689.7） （430,680） 8 Z（427.4,689.7） （534.4,738.3） 8 h（534.4,738.3） （540,
32、740） （540,730） 15 9 Z（540,740） （670,740） 9 h（670,740） （679.9,731.4） （670,730） 10 Z（679.9,731.4） （692.9,641） 10 h（692.9,641） （696.1,635） （702.8,642.4） 11 Z（696.1,635） （726.7,607.4） 11 h（726.7,607.4） （730，600） （720,600） 12 Z（730，600） （730,520） 12 h（730,520） （728,514） （720,520） 13 Z（728,514） （492.1，206
33、.1） 13 h（492.1，206.1） （491.7,205.5） （500,200） 14 Z（491.7,205.5） （418.3,94.5） 14 h（418.3,94.5） （412.1,90.2） （410,100） 15 Z（412.1,90.2） （0,0） 综上所述，我们得到机器人 O C B A O 的行走路线最短路径是距离为 2760.52个单位,总时间为576.7452秒。 5.3问题二的解答 由5.12的一般最短时间路径的思路来解求从O点到A点最短时间路径。 分析速度 随圆弧半径 的增大而增大，且圆弧 i l 也会随 增大而增大，因此建立 总时间t函数 ： 直 弯
34、 t t t ，并通过多次迭代不断优化时间t；模型求解中我们通过改变 圆弧的半径和圆心的位置求解时间t，通过观察目标点、障碍物、起始点的位置，可得 圆弧的圆心处于曲线内部，对障碍物5号分析，可确定圆弧的圆心坐标：y=K-x；圆弧 的半径r在每个确定圆弧的圆心上不断变化， 直到半径r超出范围为止， 再沿函数y=K-x， 改变圆心位置并重复r变化，解得该K值下的最优解t。然后改变K值观察总时间t的变 化趋势，推出优化值t，即时间优化路径。 通过MATLAB（附录二）圆心坐标关系:y=K-x,解得不同K值下的时间t(路径在障碍 物左上方)如表（9） 16 表（9）:不同 K 值下机器人行走的时间（路
35、径在障碍物左上方） K 拐点圆心坐标 圆心半径 圆 O 切点 圆 A 切点 时间 总路程 270 （109，161） 66.94 (44.039,177.15) (162.11,120.25) 95 475.04 280 （93，187） 36.42 (58.06,197.28) (80.7,224.28) 94.58 472.89 290 （82，208） 12.83 (69.82,212.01) (77.66,220.07) 94.23 471.12 300 （103，197） 36.42 (69.397,208.59) (91.64,231.6) 94.54 472.70 310 （12
36、5，185） 61.48 (66.55,204.06) (172.36,145.798) 94.92 474.58 320 （145，175） 83.82 (65.279,200.9) (220.2,137.965) 95.35 476.73 通过MATLAB标关系:y=K-x,解得不同K值下的时间t(路径在障碍右下方)如表（10） 表(10)：不同K 值下机器人行走的时间（路径在障碍物右下方） K 拐点圆心 圆心半 径 圆 O切点 圆 A切点坐标 时间 总路程 250 103.91 260 101.841 270 （192,78） 52.048 （198.85,26.405） （242.55
37、,65.61） 100.8598 504.3 280 (211,69) 31.0238 (216.43,38.45) (241.12,61.56) 100.2366 501.1832 290 （228,62） 12.83 （230.69,49.46） （240.454,58,92） 99.722 498.587 300 （220,80） 32,36 （226.75,48.35） （251.6491,73.25）100.19 500.93 310 （212,98） 52.05 （222.76,47.08） （263.276,89.07） 100.745 502.7268 330 102.101
38、350 103.907 综上所述，对表格中的时间趋势进行比较分析得：当通过障碍物上方时，k=290时 间 1 t =94.23取最小值，同样，在障碍物下方时 2 t =99.722取最小值；然后比较两个最小 值 2 1 t t ，因此机器人从O（0，0）到A（300,300）绕障碍物左上方，其中拐点圆弧的 圆心 （82,208） ，半径r=12.83,从O相切点 (69.82,212.01)从点A相切点 (77.66,220.07)，时间t=94.23，总的路线长为C=471.12。 6 模型结果的分析与检验 本文建立了在一个800 800的平面场景图中，一个在原点O(0,0)的机器人在该平
39、面内活动，不能与平面场景中的障碍物发生碰撞的情况下从区域中的一点到达另一点的 避障最短路径和最短时间的数学模型。 对题中给出的具体4个点 C B A O , , , 利用最优化模 型，对机器人从O出发到目标点的所有路径进行优化，得到从17 O , A O C B A O C O B O , , 的最短路径长度，然后判断路线是否安全、 无碰撞，检验结果符合要求。 7 模型的推广与改进方向 7.1 模型推广 本文运用了路径优化数学模型， 设计出了机器人在这个800 800的平面场景中不与 障碍物发生碰撞时从区域中一点到达另一点的避障最短路径和计算出了最短时间的路 程。此模型用到了场势法、假设与修正
40、法及拐角处曲线化等，该模型同样可以推广适用 于航天航空、爬山、航海岛礁规避问题、山间道路规划问题等障碍物规划化，第二 问的障碍物规避且最优时间路径模型优于比赛问题例如：足球比赛，篮球比赛等群体赛 事，同时该模型也是机器人足球比赛必考虑的模型。 7.2改进方向 （1）该在选着登陆点时，可用人工势场法的函数的来确定。 （2）该模型在优化中用优化软件可更快，更方便求解； 8 模型的优缺点 8.1 模型的优点 （1）本模型在对问题的求解过程中运用多条路径多种方案进行求解，在相对优化 之中取得最优解。 （2）本模型在优化后的路径求长度时用了解析几何的方式，结果的精确度较高。 （3）本模型简单易懂，便于实
41、际中运用于操作。 8.2模型的缺点 （1）该模型只是对现场情况已知条件下解求，不能在模糊的条件下用。 （2）该模型求解复杂，需要大量的迭代计算。 （3）模型型中对路径的选择，确定困难，没有普遍的方法。 18 参考文献 1张法荣.障碍物群中近似最短路径的搜索算法.计算机工程，第 25 卷第三期.1999 年 3 月. 2 霍迎辉，张连明.一种移动机器人的路径规划算法.电子工程师世界网.2010,8. 3 朱向阳，宁汉，熊有伦.凸多边形之间的为最小平移距离机器人运动规划.中国科学（E） ，第 31 卷，第 3 期，2011,6. 4 王景存，张晓彤，陈彬,陈和平，一种基于 Dijkstra 算法的启发式最有路径搜索算法.北京科技 大学学报.第29 卷第 3 期，2007,3.
