1、2.3.2 双曲线的几何性质一、基础过关1 双曲线 2x2y 28 的实轴长是_2 双曲线 3x2y 23 的渐近线方程是_3 双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为_x24 y2124 双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m_.5 双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别是 F1、F 2，过 F1 作倾斜角为 30的直x2a2 y2b2线，交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为 _6 已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x 2y 26x 50 相切，且x2a2 y2b2双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为_7 已
2、知双曲线 C： 1 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数 m 的取值范围x24 y2m是 _二、能力提升8 已知圆 C 过双曲线 1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心x29 y216到双曲线中心的距离是_9.如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以 F、C 为焦点，且经过 A、E、D、B 四点的双曲线的离心率为_10根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线 1 有共同的渐近线，且过点(3,2 )；x29 y216 3(2)与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 ，2)x216 y24 211已知双曲线的一条渐近线为 x y0，且与椭圆 x24y 264 有相同的焦距，求双
3、曲3线的标准方程12求证：双曲线 1 (a0 ，b0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值x2a2 y2b2三、探究与拓展13已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(c, 0)、F 2(c,0)若双曲线上x2a2 y2b2存在点 P，使 ，求该双曲线的离心率的取值范围sin PF1F2sin PF2F1 ac答案1 4 2y x 32 4 5 6 13 314 3 x25 y247(4，) 8 9 1163 310解 (1)设所求双曲线方程为 (0)，x29 y216将点(3,2 )代入得 ，314所以双曲线方程为 ，x29 y216 14即 1.4x29 y24(2)设双曲
4、线方程为 1 ( a0，b0)由题意易求 c2 .x2a2 y2b2 5又双曲线过点(3 ，2)，2 1.322a2 4b2又a 2b 2(2 )2，a 212，b 28.5故所求双曲线的方程为 1.x212 y2811解 椭圆方程为 1，可知椭圆的焦距为 8 .x264 y216 3当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 1 (a 0，b0)，x2a2 y2b2Error! 解得Error!双曲线的标准方程为 1.x236 y212当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1 (a 0，b0)，Error! 解得Error!y2a2 x2b2双曲线的标准方程为 1.y212 x23
5、6由可知，双曲线的标准方程为 1 或 1.x236 y212 y212 x23612证明 设 P(x0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为 bxay0 和bxay0，可得 P 到 bxay0 的距离 d1 ，|bx0 ay0|a2 b2P 到 bxay0 的距离d2 .|bx0 ay0|a2 b2d 1d2 |bx0 ay0|a2 b2 |bx0 ay0|a2 b2 .|b2x20 a2y20|a2 b2又 P 在双曲线上， 1，x20a2 y20b2即 b2x a 2y a 2b2，d 1d2 .20 20a2b2a2 b2故 P 到两条渐近线的距离之积为定值13解 如图，设 PF1m，PF 2n，由题意及正弦定理得 ，nm acn m.又 mn2a，acm m2a，ac即 m2a，m .(1 ac) 2acc a又 mca， ca，2acc a即 c22aca 21，1e1 .2
