1、2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.二、教学目标1知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生
2、理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行 若 = ,则 .（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交 若 =AB,则
3、 与 相交.两平面平行与相交的图形表示如图 1.图 1（二）导入新课思路 1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使 卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路 2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.（三）推进新课、新知探究、提出问题二面角 的有关概念、画法及表示方法.二面角的平面角的概念.两个平面垂直的定义.用三种语言
4、描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图 2（教师和学生共同动手）.直立式： 平卧式：(1) (2)图 2二面角的表示方法：如图 3 中，棱为 AB，面为 、 的二面角，记作二面角 -AB-.有时为了方便也可在 、 内（棱以外的半平面部分）分别取点 P、Q，将这个二面角记作二面角 P-AB-Q.图 3如果棱为 l，则这个二面角记作 l 或 PlQ.二面角的平面角的概念.如图 4,在二
5、面角 l 的棱上任取点 O，以 O 为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 组成AOB.图 4再取棱上另一点 O，在 和 内分别作 l 的垂线 OA和 OB，则它们组成角AOB.因为 OAOA,OBOB，所以AOB 及A OB的两边分别平行且方向相同,即AOB=AOB.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小 ，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角 概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.图中的AOB,AOB都是二面角 l 的平面角.直二面角的定义.二面角的
6、大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何 里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.直二面角的画法：如图 5.图 5两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为： AB.两个平
7、面垂直的判定定理图形表述为：如图 6.图 6证明如下：已知 AB，AB=B，AB .求证：.分析：要证 ,需证 和 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设 =CD，则由 AB ,知 AB、CD 共面.AB，CD ,ABCD，垂足为点 B.在平面 内过点 B 作直线 BECD,则ABE 是二面角 CD 的平面角.又 ABBE，即二面角 CD 是直二面角,.应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.（四）应用示例思路 1例 1 如图 7,O 在平面 内，AB 是O
8、的直径，PA，C 为圆周上不同于 A、B 的任意一点.图 7求证：平面 PAC平面 PBC.证明：设O 所在平面为 ,由已知条件，PA,BC ,PABC.C 为圆周上不同于 A、B 的任意一点,AB 是O 的直径,BCAC.又PA 与 AC 是PAC 所在平面内的两条相交直线，BC平面 PAC.BC 平面 PBC,平面 PAC平面 PBC.变式训练如图 8，把等腰 RtABC 沿斜边 AB 旋转至ABD 的位置，使 CD=AC，图 8（1）求证：平面 ABD平面 ABC；（2）求二面角 CBDA 的余弦值.（1）证明：由题设,知 AD=CD=BD,作 DO平面 ABC，O 为垂足，则 OA=O
9、B=OC.O 是ABC 的外心，即 AB 的中点.OAB，即 O平面 ABD.OD 平面 ABD.平面 ABD平面 ABC.（2）解:取 BD 的中点 E，连接 CE、OE、OC,BCD 为正三角形，CEBD.又BOD 为等腰直角三角形,OEBD.OEC 为二面角 CBDA 的平面角.同（1）可证 OC平面 ABD.OCOE.COE 为直角三角形.设 BC=a，则 CE= a23，OE= 1，cosOEC= 3CEO.点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例 2 如图 9 所示，河堤斜面与水平面所成二面角为 60，堤面上有一条直道 CD，它与堤角的水平线 AB 的夹角为
10、30，沿这条直道从堤脚向上行走到 10 m 时人升高了多少？（精确到 0.1 m）图 9解：取 CD 上一点 E，设 CE=10 m，过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG，垂足为G，则线段 EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作 EFAB，垂足为 F，并连接 FG,则 FGAB,即EFG 就是河堤斜面与水平面 ABG 所成二面角的平面角,EFG=60,由此,得 EG=EFsin60=CEsin30sin60=10 23514.3（m）.答：沿直道行走到 10 m 时人升高约 4.3 m.变式训练已知二面角 AB 等于 45，CD ，DAB，CDB=45.求 CD 与平面 所成的
11、角.解：如图 10，作 CO 交 于点 O，连接 DO，则CDO 为 DC 与 所成的角.图 10过点 O 作 OEAB 于 E，连接 CE，则 CEAB.CEO 为二面角 AB 的平面角，即CEO=45.设 CD=a,则 CE= a2,COOE，OC=OE，CO= 1.CODO,sinCDO= 21CDO.CDO=30,即 DC 与 成 30角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面 内找一点 C，作另一个半平面 的垂线，垂足为 O,然后通过垂足 O 作棱 AB 的垂线，垂足为 E,连接 AE,则CEO 为二面角 -AB- 的平面角.这一过程要求学生熟记
12、.思路 2例 1 如图 11，ABCD 是菱形，PA平面 ABCD，PA=AD=2，BAD=60.图 11（1）求证：平面 PBD平面 PAC；（2）求点 A 到平面 PBD 的距离；（3）求二面角 APBD 的余弦值.（1）证明：设 AC 与 BD 交于点 O，连接 PO,底面 ABCD 是菱形,BDAC.PA底面 ABCD,BD平面 ABCD,的 PABD.又 PAAC=A,BD平面 PAC.又BD 平面 PBD,平面 PBD平面 PAC.(2)解：作 AEPO 于点 E,平面 PBD平面 PAC,AE平面 PBD.AE 为点 A 到平面 PBD 的距离.在PAO 中,PA=2,AO=2c
13、os30= 3,PAO=90,PO= 72OP,AE= 721POA.点 A 到平面 PBD 的距离为 1.3）解：作 AFPB 于点 F,连接 EF,AE平面 PBD,AEPB.PB平面 AEF,PBEF.AFE 为二面角 APBD 的平面角.在 RtAEF 中,AE= 721,AF= ,sinAFE= 4AFE,cosAFE= 7)42(1.二面角 APBD 的余弦值为 7.变式训练如图 12，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：MN平面 PAD；（2）求证：MNCD；（3）若二面角 PDCA=45，求证：MN平面 PDC.图 12 图 13证明：
14、如图 13 所示,（1）取 PD 的中点 Q，连接 AQ、NQ,则 QN 21DC,AM DC,QN AM.四边形 AMNQ 是平行四边形.MNAQ.又MN 平面 PAD,AQ平面 PAD,MN平面 PAD.（2）PA平面 ABCD，PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面 PAD.又AQ 平面 PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.（3）由（2）知，CD平面 PAD,CDAD,CDPD.PDA 是二面角 PDCA 的平面角.PDA=45 .又PA平面 ABCD,PAAD.AQPD.又MNAQ,MNCD.又MNPD,MN平面 PDC.例 2 如图 14,已知直四棱柱 ABCDA1B1C1
15、D1的底面是菱形，且DAB=60,AD=AA 1，F 为棱BB1的中点，M 为线段 AC1的中点.图 14（1）求证：直线 MF平面 ABCD；（2）求证：平面 AFC1平面 ACC1A1；（3）求平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的大小.（1）证明：延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N，连接 AN.F 是 BB1的中点，F 为 C1N 的中点，B 为 CN 的中点.又 M 是线段 AC1的中点，故 MFAN.又MF 平面 ABCD,AN平面 ABCD,MF平面 ABCD.（2）证明：连接 BD，由直四棱柱 ABCDA1B1C1D1,可知 AA1平面 ABCD,又BD 平面 ABC
16、D，A 1ABD.四边形 ABCD 为菱形，ACBD.又ACA 1A=A,AC、A 1A 平面 ACC1A1,BD平面 ACC1A1.在四边形 DANB 中，DABN 且 DA=BN，四边形 DANB 为平行四边形.故 NABD，NA平面 ACC1A1.又NA 平面 AFC1,平面 AFC1平面 ACC1A1.（3）解：由（2）,知 BD平面 ACC1A1，又 AC1平面 ACC1A1，BDAC 1.BDNA，AC 1NA.又由 BDAC,可知 NAAC，C 1AC 就是平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角.在 RtC 1AC 中，tanC 1AC= 3CA，故C 1AC=
17、30.平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30或 150.变式训练如图 15 所示，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 SDC底面 ABCD，且AB=2，SC=SD=2.图 15（1）求证：平面 SAD平面 SBC；（2）设 BC=x，BD 与平面 SBC 所成的角为 ，求 sin 的取值范围.（1）证明：在SDC 中，SC=SD= 2，CD=AB=2,DSC=90,即 DSSC.底面 ABCD 是矩形,BCCD.又平面 SDC平面 ABCD,BC面 SDC.DSBC.DS平面 SBC.DS 平面 SAD,平面 SAD平面 SBC.（2）解：由（1）,知 D
18、S平面 SBC,SB 是 DB 在平面 SBC 上 的射影.DBS 就是 BD 与平面 SBC 所成的角，即DBS=.那么 sin= DBS.BC=x,CD=2 DB= 24x,sin= 24x.由 0x+,得 0sin .（五）知能训练课本本节练习.（六）拓展提升如图 16，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60，N 是 PB 中点，过 A、D、N 三点的平面交 PC 于 M，E为 AD 的中点.图 16（1）求证：EN平面 PCD；（2）求证：平面 PBC平面 ADMN；（3）求平面 PAB 与平面 A
19、BCD 所成二面角的正切值.(1)证明：ADBC,B C面 PBC,AD面 PBC,AD面 PBC.又面 ADN面 PBC=MN,ADMN.MNBC.点 M 为 PC 的中点.MN 21BC.又 E 为 AD 的中点，四边形 DENM 为平行四边形.ENDM.EN面 PDC.（2）证明：连接 PE、BE,四边形 ABCD 为边长为 2 的菱形，且BAD=60,BEAD.又PEAD,AD面 PBE.ADPB.又PA=AB 且 N 为 PB 的中点,ANPB.PB面 ADMN.平面 PBC平面 ADMN.（3）解：作 EFAB，连接 PF，PE平面 ABCD,ABPF.PFE 就是平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的平面角.又在 RtAEB 中，BE= 3，AE=1，AB=2,EF= 23.又PE= ,tanPFE= EFP=2,即平面 PAB 与平面 ABCD 所成的二面角的正切值为 2.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题 2.3 A 组 1、2、3.
