1、第 2章 推理与证明 章末检测 2 一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分)1在 ABC中， E、 F分别为 AB， AC的中点，则有 EF BC，这个问题的大前提为_答案 三角形的中位线平行于第三边解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提： EF为 ABC的中位线；结论： EF BC.2对大于或等于 2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若 m213511， n3的分解中最小的正整数是 21，则m n_.答案 11解析 m213511 636，1 112
2、 m6.2 335,3 37911，4313151719，5 32123252729， n3的分解中最小的数是 21， n35 3， n5， m n6511.3用反证法证明命题“ 是无理数”时，其反证假设是_2 3答案 是有理数2 3解析 应对结论进行否定，则 不是无理数，即 是有理数2 3 2 34已知 f(x1) ， f(1)1( xN *)，猜想 f(x)的表达式为_2f(x)f(x) 2答案 2x 1解析 当 x1 时， f(2) ，2f(1)f(1) 2 23 22 1当 x2 时， f(3) ；2f(2)f(2) 2 24 23 1当 x3 时， f(4) ，2f(3)f(3) 2
3、 25 24 1故可猜想 f(x) .2x 15对“ a， b， c是不全相等的正数” ，给出下列判断：( a b)2( b c)2( c a)20； a b与 b c及 a c中至少有一个成立； a c， b c， a b不能同时成立其中判断正确的个数为_答案 1解析 若( a b)2( b c)2( c a)20，则 a b c，与“ a， b， c是不全相等的正数”矛盾，故正确 a b与 b c及 a c中最多只能有一个成立，故不正确由于“a， b， c是不全相等的正数” ，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确6我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大
4、小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有_个两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥答案 2解析 类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体7数列 an满足 a1 ， an1 1 ，则 a2015等于_12 1an答案 1解析 a1 ， an1 1 ，12 1an a21 1， a31 2， a41 ，1a1 1a2 1a3 12a51 1， a61 2，1a4 1a5 an3 k an(nN *， kN *) a2015 a23671 a21.8若数列 an中， a11， a235， a37911， a413151719，则a8_.
5、答案 512解析 由 a1， a2， a3， a4的形式可归纳：12347 28，7(1 7)2 a8的首项应为第 29个正奇数，即 229157. a85759616365676971 512.8(57 71)29在数列 an中， a11，且 Sn， Sn1, 2S1成等差数列( Sn表示数列 an的前 n项和)，则S2， S3， S4分别为_，猜想 Sn_.答案 ， (nN *)3274 158 2n 12n 1解析 由 Sn， Sn1, 2S1成等差数列，得 2Sn1 Sn2 S1，因为 S1 a11，所以2Sn1 Sn2.令 n1，则 2S2 S12123 S2 ，32同理，分别令 n
6、2， n3，可求得 S3 ， S4 .74 158由 S11 ， S2 ， S3 ，21 120 32 22 121 74 23 122S4 ，猜想 Sn .158 24 123 2n 12n 110黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n个图案中有白色地面砖的块数是_答案 4 n2解 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第 n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6为首项，公差是 4的等差数列的第 n项” 故第 n个图案中有白色地面砖的块数是 4n2.11观察下列等式：(11)21(21)(22)2 213(31)(32)(33
7、)2 3135按此规律，第 n个等式可为_答案 ( n1)( n2)( n3)( n n)2 n135(2n1)12 f(n)1 (nN *)，经计算得 f(2) ， f(4)2， f(8) ， f(16)12 13 1n 32 523， f(32) ，推测当 n2 时，有_72答案 f(2n) (n2)2 n2解析 观测 f(n)中 n的规律为 2k(k1,2，)不等式右侧分别为 ， k1,2，2 k2 f(2n) (n2)2 n213已知 2 ， 3 ，2 23 23 3 38 38 4 4154 ，若 6 (a， b均为实数)，推测 a_， b_.415 6 ab ab答案 6 35解析
8、 由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减 1，由此推测 中，6 aba6， b6 2135，即 a6， b35.14在平面几何中， ABC的内角平分线 CE分 AB所成线段的比为 ，把这个结论类AEEB ACBC比到空间：在三棱锥 ABCD中(如图所示)，面 DEC平分二面角 ACDB且与 AB相交于 E，则得到的类比的结论是_答案 AEEB S ACDS BCD解析 CE平分 ACB，而面 CDE平分二面角 ACDB. 可类比成 ，故结论为 ACBC S ACDS BCD AEEB.S ACDS BCD二、解答题(
9、本大题共 6小题，共 90分)15(14 分)已知 a、 b、 c是互不相等的非零实数求证三个方程ax22 bx c0， bx22 cx a0， cx22 ax b0 至少有一个方程有两个相异实根证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则 14 b24 ac0， 24 c24 ab0， 34 a24 bc0.相加有a22 ab b2 b22 bc c2 c22 ac a20，(a b)2( b c)2( c a)20.由题意 a、 b、 c互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根16(14 分)设数列 an是公比为 q的等比数列， Sn是它的前 n项和(
10、1)求证：数列 Sn不是等比数列；(2)数列 Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列 Sn是等比数列，则 S S1S3，2即 a (1 q)2 a1a1(1 q q2)，21因为 a10，所以(1 q)21 q q2，即 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列 Sn不是等比数列(2)解 当 q1 时， Sn na1，故 Sn是等差数列；当 q1 时， Sn不是等差数列，否则 2S2 S1 S3，即 2a1(1 q) a1 a1(1 q q2)，得 q0，这与公比 q0 矛盾17(14 分)请你把不等式“若 a1， a2是正实数，则有 a1 a2”推广到一般情形，a21a2 a2a1并证明
11、你的结论解 推广的结论：若 a1， a2， an都是正实数，则有 a1 a2 an.a21a2 a2a3 a2n 1an a2na1证明： a1， a2， an都是正实数， a22 a1； a32 a2；a21a2 a2a3 an2 an1 ； a12 an，a2n 1an a2na1 a1 a2 an.a21a2 a2a3 a2n 1an a2na118(16 分)已知 a， b， c为正数，且 f(n)lg ，an bn cn3求证：2 f(n) f(2n)证明 要证 2f(n) f(2n)只需证 2(an bn cn3 ) a2n b2n c2n3即证( an bn cn)23( a2n
12、 b2n c2n)即 2anbn2 cnbn2 ancn2( a2n b2n c2n) a2n b2n2 anbn， a2n c2n2 ancn，b2n c2n2 bncn2 anbn2 cnbn2 ancn2( a2n b2n c2n)原不等式成立19(16 分)正实数数列 an中， a11， a25，且 a 成等差数列证明数列 an中有无2n穷多项为无理数证明 由已知有： a 124( n1)，2n从而 an ，取 n124 2k1 ，1 24(n 1)则 an (kN *)1 242k用反证法证明这些 an都是无理数假设 an 为有理数，则 an必为正整数，且 an24 k，1 242k故 an24 k1， an24 k1，与( an24 k)(an24 k)1 矛盾，所以 an (kN *)都1 242k是无理数，即数列 an中有无穷多项为无理数20(16 分)设 a， b， c为一个三角形的三条边， s (a b c)，且 s22 ab，试证：12s2 a.证明 要证 s2 a，由于 s22 ab，所以只需证 s ，s2b即证 b s.因为 s (a b c)，所以只需证 2b a b c，即证 b a c.12由于 a， b， c为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命题成立
