1、2.3数学归纳法同步检测（2）一、基础过关1用数学归纳法证明等式 123(n3) (nN *)，验证 n1 时，左n 3n 42边应取的项是_来源:2用数学归纳法证明“2 nn21 对于 nn 0 的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取_来源:3若 f(n)1 (nN *)，则 f(1)_.ww&w.zzstep.#com12 13 12n 14已知 f(n) 1 (nN )，证明不等式 f(2n) 时，f(2 k1 )比 f(2k)多的项数是12 13 1n n2_来源:5已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a11，S nn 2an (nN *)依次计算出S1，S
2、2，S 3，S 4 后，可猜想 Sn的表达式为_二、能力提升6用数学归纳法证明“5 n2 n能被 3 整除”的第二步中，当 nk1 时，为了使用归纳假设，应将 5k1 2k1 变形为_ 7k(k3，k N*)棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数 f(k1)f(k)_.8对于不等式 n1 (nN *)，某学生的证明过程如下：当 n1 时，n2 n11，不等式成立12 1假设 nk (nN *)时，不等式成立，即 k1，则 nk 1 时，k2 k .假设 nk 时，不等式成立则当122 132 1n 1212 1n 2nk1 时，应推证的目标不等式是_ _来源:z zstep%.c
3、om&10证明：6 2n1 1 能被 7 整除(nN *)11求证： (n2，nN *)www#.zzste&p.co*m1n 1 1n 2 13n5612已知数列 an中，a 1 ，其前 n 项和 Sn满足 anS n 2(n2) ，计算23 1SnS1，S 2，S 3，S 4，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明三、探究与拓展13试比较 2n2 与 n2 的大小(nN *)，并用数学归纳法证明你的结论答案11234253. 中国&教育*%出版网11642 k5S n2nn 165(5 k2 k)32 k7k189. 122 132 1k2 1k 12 1k 2212 1k 310证明
4、 (1)当 n1 时，6 21 17 能被 7 整除(2)假设当 nk(kN *)时，6 2k1 1 能被 7 整除来源:% 中国# 教*育出版网那么当 nk1 时，6 2(k1)1 16 2k12 1来源:36(6 2k1 1)35.6 2k1 1 能被 7 整除，35 也能被 7 整除，当 nk1 时，6 2(k1)1 1 能被 7 整除由(1)，(2)知命题成立11证明 (1)当 n2 时，左边 ，13 14 15 16 56不等式成立(2)假设当 nk(k2，kN *)时命题成立，即 .1k 1 1k 2 13k56则当 nk1 时， ( 1k 1 1 1k 1 2 13k 13k 1
5、 13k 2 13k 1 1k 1 1k 2 13k 13k 1 ) ( ) (3 ) ，13k 2 13k 3 1k 1 56 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1 56 13k 3 1k 1 56所以当 nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切 n2，nN *均成立12解 当 n2 时，a nS nS n1 S n 2.来*源:中国教育&出 版网1Sn Sn (n2)1Sn 1 2则有：S 1a 1 ，来源:23S2 ，1S1 2 34S3 ，1S2 2 45S4 ，1S3 2 56由此猜想：S n (nN *)n 1n 2用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，S
6、 1 a 1，猜想成立 来源:中%国教育出&版网#23(2)假设 nk(kN *)猜想成立，即 Sk 成立，k 1k 2那么 nk1 时，S k1 1Sk 2 1 k 1k 2 2 .k 2k 3 k 1 1k 1 2即 nk1 时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想结论 均成立13证明 当 n1 时，2 124n 21，当 n2 时，2 226n 24， 来 源&:% 中教网当 n3 时，2 3210n 29，由 n4 时，2 4218n 216，由此可以猜想，2 n2n 2(nN *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，左边2 124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当 n2 时，左边2 226，右边2 24，中#国教育出&版*网所以左边右边；当 n3 时，左边2 3210，右边3 29，所以左边右边来源:%中#国 教&育出版网(2)假设 nk(k3 且 kN *)时，不等式成立，即 2k2k 2.ww w.#*那么当 nk1 时，2k1 2 22 k22(2 k2) 22k 22.又因为 2k22( k1) 2k 22k3(k3)(k1)0，即 2k22(k 1)2，故 2k1 2(k1) 2成 立根据(1)和(2)，原不等式对于任何 nN*都成立
