1、数学归纳法(2),一、复习回顾：什么是数学归纳法？,对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立;【归纳奠基】 （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做 数学归纳法,数学归纳法,【归纳递推】,框图表示,(1) 第一步，是否可省略？,不可以省略。,(2)第二步，从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？,这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。,想一想：,特别
2、提示: 数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.,例2 已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明.,点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,例4 比较 2n 与 n2 (
3、nN*)的大小,注：先猜想，再证明,解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2nn2当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9, 2nn2当n=6时，2n=64,n2=36, 2nn2 猜想当n5时，2nn2(证明略),1、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*),证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+22+2k-1 =2k-1 那么， 1+2+22+2k-1 +2k=2k-1 + 2k=22k-1=2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。,因此,根据(1)和(2)可断
4、定,等式对于任何nN*都成立。,练习：,练习2下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,3、求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学
5、方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。,课堂小结：,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：, 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并 用上假设。,可明确为：,（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学 命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:,【归纳奠基】,（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确,（3）由（1）、（2）得出结论,【归纳递推】,再见!,
