1、高二数学数学归纳法学案学案编号：220017 制作人：马中明 审核人：郭明珍 时间：2012.3.20学习目标：1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。（2）会证明简单的与正整数有关的命题。2、过程与方法：创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。3、情感、态度与价值观：领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。学习重点：借助具体实例了解数
2、学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数 n（n 取无限多个值）有关的数学命题。学习难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。课题：数学归纳法（预习学案）一、复习回顾反证法 假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法二、预习新知证明一个与自然数 n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当 n ( )时命题成立；(2)假设 n=k(k , )时命题成立，
3、证明 命题也成立由以上两个步骤，可以断定命题对从 开始的所有正整数 n都成立这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数 n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具三、知识链接问题 1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决即已知数列 的第 1 项naa1=1，且 ，通过对 n=1,2,3,4前 4项的归纳，猜想出其通项公),321(nan式 n但我们只能肯定对前四项成立，不敢肯定对后续项成立，这个猜想需要证明问题 2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏是所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？课题：数学归纳法（讲授学案）一、情景引入情境 1、法国数学家费马观察到： 6
4、53712,5712,7,512432 归纳猜想：任何形如 （ n ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。2n*N半个世纪以后，数学家欧拉发现，第 5个费马数 不是质数,04652F从而推翻了费马的猜想。“不完全归纳有时是错误的”情境 2 、数列 通过对 前 4 项归纳，猜,1, *1naann 已 ,31n想 “不完全归纳有时是正确的” 。an1二、课内探究1、探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的条件2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境 2中对于通项公式 的猜想。na1“多米诺骨牌”原理 验证猜想 第一块骨牌倒下； 当 时，验证猜想成立n 若第 k块倒下，则使
5、得第 k+1块倒下 如果 时，猜想成立，即 ，ka则当 时， 即 时猜想成n1kan立3、自主概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当 n取_时结论正确；（归纳奠基）(2) 假设当 n_时结论正确, 证明当 n_时结论也正确 （归纳递推）完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数 n都正确这种证明方法叫0做数学归纳法三、例题分析例1.用数学归纳法证明 6)12(3212nn运用数学归纳法的注意事项：1、数学归纳法是一种_归纳的证明方法，它适用于与_有关的问题。2、_个步骤、_个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用_，进行
6、恒等变换。4、完成第 1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。练习 1：用数学归纳法证明：135（2 n1） 2练习 2：用数学归纳法证明 121275131 nn四、巩固提高1用数学归纳法证明 12(2n1) (n1)(2n1)时，在验证 n1 成立时，左边所得的代数式是( )A1 B13C123 D12342.用数学归纳法证明 (nN *)，从“ n k到 n k1”112 123 134 1n(n 1) nn 1时，等式左边需要增添的项是( )A. B. 1k(k 1) 1k(k 1) 1(k 1)(k 2)C. D.1k(k 2) 1(k 1)(k 2)3已知数列 根据计算结果，,43213074 Sn已已已已 猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明。nS五、归纳小结1 本节课学会了什么知识：2 总结本节课主要学习内容:六、作业布置1. 习题 2.3 A组 1.2.32. 思考：平面内有 n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设 f(n)为 n条直线的交点个数，求证： 12)(nf
