1、2.5 圆锥曲线的共同性质,第2章 圆锥曲线与方程,学习目标,1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题. 2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 圆锥曲线的共同性质,思考 圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？,答案 如图，过点M作MHl，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知MM|FMeMH. 取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系.,设直线l的方程为xp，则MH|xp|. ,两边平方，化简得(1e2)x2y22pe
2、2xp2e20. 这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.,梳理 (1)圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比等于 .当 时，它表示椭圆；当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线.其中 是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的 ，定直线l是圆锥曲线的 .,常数e,0e1,e1,e1,e,焦点,准线,1.若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 已知准线求圆锥曲线的方程,解答,c3或c11.a26，b23或a222，b299.,2c
3、213c660，0，此方程无实数解.,解答,解 设F1为左焦点，连结AF1，BF1， 则根据椭圆定义知， AF1BF12aAF22aBF2,再设A，B，N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理，得d1d22d33.,类型二 圆锥曲线统一定义的应用,解答,所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(4,0)为椭圆的左焦点. 因为MAMF2a10， 所以MAMB10MFMB.,解答,由图可知点M到右准线的距离为MM，,反思与感悟 (1)解答此类题时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义. (2)圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化
4、解题过程.,解答,过点B作CB准线l于C，直线BC交抛物线于A，则ABAC为满足题设的最小值.,所以A点的坐标为(x,2).,解答,命题角度2 焦点弦问题 例3 椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线方程为x8，离心率e . (1)求椭圆的方程；,解 设椭圆上任一点P(x，y)，,(2)求过另一个焦点且倾斜角为45的直线截椭圆C所得的弦长.,解答,解 由(1)知椭圆的另一个焦点F2(2,0)， 过F2且倾斜角为45的直线方程为yx2，,ABAF2BF2aex1aex22ae(x1x2),反思与感悟 (1)在此类题中，若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些. (2)对于圆锥曲线
5、焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.,解答,解 设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，,整理得(x3)2(y1)2e2x2. 直线l的倾斜角为60，,联立得(4e2)x224x360. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,2.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的_倍.,9,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,PF115，PF2PF12a15621，,解析,1,2,3,4,5,由统一定义知，2PF即为P到右准线的距离， 因此，要使PA2PF最小，P点除了应在y轴的右侧外，还要使AP垂直于准线，,答案,解析,因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，由此可得a1.,1,2,3,4,5,答案,解析,1.在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性. 2.在已知准线方程时，一般转化为 的数量关系，结合其他条件求出基本量a，b，c.若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型. 3.根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.,规律与方法,
