1、121 微分方程的基本概念112.4 一阶线性微分方程一、 线性方程线性方程 方程 叫做一阶线性微分方程 )(xQyPdx如果 Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程 )( )(xQyPdx下列方程各是什么类型方程？(1) 是齐次线性方程ydx)2( 021yx(2) 3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3) yy cos xesin x 是非齐次线性方程(4) 不是线性方程d1(5) 或 不是线性方程0)(32xy0)1(23yxd32)1(xyd齐次线性方程的解法 齐次线性方程 是变量可分离方程 分离变量
2、后得)(xPy d两边积分 得 1)(|lnCxPy或 ) 1)(dee这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 例 1 求方程 的通解 ydx)2(解 这是齐次线性方程 分离变量得 yd121 微分方程的基本概念2两边积分得ln|y|ln|x2|lnC 方程的通解为yC(x2) 非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u(x) 把dxPeuy)(设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 )()()()()( )()( xQexuPxx dPdxd 化简得 PeQu Cdxx)()(于是非齐次线性方程的通解为 )()(eeydxPdxP或 xQC
3、d)()非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 例 2 求方程 的通解 25)1(xyd解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程 的通解 0xy分离变量得 12xdy两边积分得 ln y2ln (x1)ln C 齐次线性方程的通解为yC(x1)2 121 微分方程的基本概念3用常数变易法 把 C 换成 u 即令 yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得52 )11)()1(xu 两边积分 得 Cxu23)1(再把上式代入 yu(x1)2 中 即得所求方程的通解为 )3)解 这里 1(xP25)(xQ因为 1ln)2)d)1ln()(xedxP2
4、32125)( )()()( xdxQ所以通解为 )1(3)()( 2)( CCdxeeyPdxP例 3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为 EEmsint(Em、 都是常数) 电阻 R 和电感L 都是常量 求电流 i(t) 解 由电学知道 当电流变化时 L 上有感应电动势 由回路电压定律得出dtiL 0iRdtE即 Li把 EEmsin t 代入上式 得 tiRdsn初始条件为121 微分方程的基本概念4i|t00 方程 为非齐次线性方程 其中tLERdmsin tP)(tQi)(由通解公式 得)()()( CdtetetiPdt ) sin(CdteLEeLRmdtR)sinLEtLRt
5、m tLRettR cos (2其中 C 为任意常数 将初始条件 i|t00 代入通解 得 2 ECm因此 所求函数 i(t)为 )cos sin( 22 tLtRLeLREtRm二、伯努利方程伯努利方程 方程(n0 1)yxQPdxy)(叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程？(1) 是伯努利方程4)21(3yxdxy(2) 是伯努利方程55d(3) 是伯努利方程xy 1xy(4) 是线性方程 不是伯努利方程d42伯努利方程的解法 以 yn 除方程的两边 得121 微分方程的基本概念5)()(1xQyPdxynn令 z y1n 得线性方程 )()(z例 4 求方程 的通解 2lnyxady解 以 y2 除方程的两端 得 xl1即 xaydn)(令 zy1 则上述方程成为 zxl这是一个线性方程 它的通解为 )(ln2aCz以 y1 代 z 得所求方程的通解为 1)(lx经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例 5 解方程 yxd解 若把所给方程变形为 y即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 令 xyu 则原方程化为 即 d1udx1分离变量 得 u1121 微分方程的基本概念6两端积分得uln|u1|xln|C| 以 uxy 代入上式 得yln|xy1|ln|C| 或 xCeyy1
