1、1高等数学课程下期末复习题一参考答案一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题 2 分，共 10 分）1. 方程 的通解为 . 320y1xxyce2. 已知 ，则 。2(,)fx2()(,)yf3. 设 1yz，则 xz.21y4. 交换二次积分的次序 1 0d(,) dfx= .01(,)xfyd5. 函数 的麦克劳林公式中 项的系数是 . xy2n!)2(ln二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 每小题 2 分，共 20 分）1. 20()()ln2,()xtfxffdfx若 连 续 函 数 满 足 关 系 式 则 B.（A） （B）lne
2、 xe（C） （D）2x2ln2非齐次线性微分方程 的特解形式 ( D ).“25sitxex(A) (B) ()sintABe cos2sin2tABtCt (C) ； (D) ttte3. 下列曲面中，( D ) 是平行 x 轴的柱面（A） （B）23xy2xzy（C） （D） .z 314. 在点 处两个偏导数存在是 在 处可微的( A ).(,)fxy0(,)y(,)fxy0,)（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）以上都不是 5. 设方程 确定了函数 ，则 在点 处22xyzz,zfxy,fxy1,0的全微分 （ D ）.d2（A） （B） 2dxy 2dxy（C
3、） （D）6. 在下列级数中，唯有（ C ）是收敛的.（A） （B） 150n 12n（C） （D） 11)(nn 1n7. 设 D 由 x 轴， 围成，则 （ B ）exy,ldxyf),(（A） （B）edfln0),( efln01),(（C） （D）yxd1 yedx8. 设可微函数 f(x, y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是 ( A ) .),(0(A) 在 处的导数等于零 （B） 在 处的导数大于零,(0xf0),(0yxf0(C) 在 处的导数小于零 (D) 在 处的导数不存在)y9. 幂级数 收敛域是 ( A ). 13nx( A ) -3,3) ( B ) -3, 3
4、 ( C ) (3, 3) ( D) (-3, 3 10. ( C )10,xdfy（A） （B） 2 10(,)ydfx（C） （D） 10(,)yfxd三、计算题：（每小题 7 分, 共 56 分）1. 设 ，求 dz . yzxln解：设 (4 分)zxFyzFzFz1,1,l 2, (6 分) 2 2 21= ,-,1()yxz zxxzzy=-3(7 分)2dz=()zxdy2. 求函数 1(,) 0zfxyy的极值 .解 解得驻点 ; (3 分)220, ,xyzx(1,)(6 分)3, A= xz 231, , 30,AxyyBCAB故有极小值 (7 分)(,)z3. 设 ，其中
5、 和 具有二阶连续导数，求 xyyfgfg22zxy解 因为 (2 分)zfx所以 (4 分)2 2223311yyyfggfgxxx(6 分)22222zf fy y于是 (7 分)220zxy4. 计算二重积分 ，其中 是由直线2dDxD,10yx所围成的平面区域.解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于 的一次函数，x“先 后 ”积分较容易，所以 xy(4 分)1220ddyDxx(7 分)31 12200 0d39yyy45. 计算二重积分 ,其中 D: y x 及 1 x2 + y2 2 所围成的平面区域.Ddxy2解：方法一：使用极坐标变换(4 分)452122 sincodxy
6、D= 0 (7 分)145si方法二： 添加辅助线： ，则 D 就可以看做为即与 x 又与 y 轴 对称，故yx1 22220DDDxyddd6. 判断级数 是绝对收敛还是条件收敛还是发散？ 1)(nn解： (2 分) 11 )()(nn nlimli(2321S故级数发散，原级数不绝对收敛。 (4 分)而 是交错级数，且 (6 分)1)(nn 1lim0,1nnu故 条件收敛。 (7 分)1)(nn7. 求级数 的和函数.解: 级数收敛, 所以收敛半径为 1. 1|2|lim21xn当 时都得到级数 ，发散，当 时都得到级数 ，发散. x1n1x12n所以收敛区域为 . (3 分),得-令
7、. (5 分)(xs21n)(xs221nx5所以 （ 1, 1） (7 分)20011()()lnxxxsdd8求一阶常微分方程的特解 .1022yy(2 分)222211 , xxyxpq得(5 分)22() 112 22 1arcsinxxddpxdpxdyeeCeCx 通 解 ： (7 分) 201ri1yCyx代 入 得 ： 。 故 方 程 特 解 ：四、应用题：（本题 8 分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 和 ，销售量分别为1p2和1q，需求函数分别为 ， ；总成本函数为211240.qp220.5q。试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？ 1
8、23540C解 （1）由已知条件先考虑无条件极值：收益函数 2212121, 40.0.5Rpqppp利润函数 (2 分)2122,31395LC于是由： 得唯一驻点 (4 分)112230.4=.p1280,p根据问题的实际意义， 存在最大值，故 是 的最大值点，L,L即：两个市场的售价分别为 和 时，可获最大利润，801最大利润 . (5 分)80,1265L（2）由已知条件考虑条件极值，即在 的条件下求极值：12p6221212121,30.0.5139LpRpCpp代人上式得：把 1,.54L于是令 得唯一驻点11,0.54=pp 8根据问题的实际意义， 存在最大值，故 是 的最大值点
9、，,L即：两个市场的售价统一为 时，可获最大利润，最大利润 (8 分)88,541五、证明题：（本题 6 分）：设 ，求证：yxzarctn0yzx证明： (4 分)2222 )(1,1)( yxyxyx (6 分) 022yxzx高等数学课程下期末复习题二参考答案一、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）: 1、若 ，则 的定义域2(,)ln()1fxyxyx(,)fy.22D2、设 ，则 .2,xyfxye2,f2e3、 1 。2(,0,)ln(1)imarcsixy）4、设函数 可微,且 ,则 在点(1,2)处的全微分为(fu0f24zfxy1,2dd.zxy7解：因为
10、，2(1,2) (1,2)484zfxyx，(1,2) (1,2)fy所以 .1,21,21,2dd4dzzxyx5、若 ，且 ，则 = 2 . xyf),(0),(efxy6、二次积分 . 210xde17、设 连续，且 , 其中 ，(,)fy(,)(,)Dffuvd 2(,)Dxyx则 . ,fx8、设 ，则 = . 1|:yD()Dxyd43解： 11004()88()3xDxdxd 9、若级数 的部分和数列为 ，则 . 1nu2ns,1,23,()nun1()nnuS10将函数 展为 的幂级数为 . 2xfe2xe0()!nx二、选择题（共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）:
11、1、方程 是（ C ） 。 dyxdyxy3(A) 变量可分离方程 (B) 齐次方程 (C) 一阶线性方程 (D) 以上均不正确 2、设 u(x, y)在平面有界闭区域 D 上具有连续的二阶偏导数，且满足20,uxy，则 u(x, y)的（ B ） 。20(A) 最大值点和最小值点必定在 D 的内部 8(B) 最大值点和最小值点必定在 D 的边界上 (C) 最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上 (D) 最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上 3、设 f (x , y)在 处偏导数存在，则 f (x , y)在该点（ D ） 。0,)(A) 极限存在 (B) 连续(C) 可
12、微 (D)以上结论均不成立4、 ( D ） 。2120()xdfyd(A) (B) r 10()8rfd(C) (D) 120()f 245、下列结论正确的是（ C ） 。(A) 若 收敛，则 必收敛 21nu1nu(B) 若 收敛，则 必发散 21n1n(C) 若 收敛，则 不一定收敛 1nu21nu(D) 若 收敛，则 必发散 1n21n三、计算题（共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分）1、设直线 与抛物线 所围成图形的面积为 ，它们与直线 所围2yx2yx1S1x成的图形面积为 . (1) 求面积 的值；（ 2）求 所对应的平面图形S12S12,绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积之
13、和。x解：(1) （2 分）1122210()()xdxd？11223320 5()()()62x 故 的面积和为 . （4 分）12S51()629（2） 所对应的平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积之和为12,Sx（5 分）124420()()xVxdxd1124420()()x（7 分）1123553021()()()66052x2求 . “yx微 分 方 程 的 通 解解：所给方程对应的齐次方程为 “0y特征方程为 ，特征根为 （2 分）10i所以对应齐次方程的通解为 （4 分）*12cosnCx设非其次方程的特解形式为 0Ay代入原方程解的 , 于是非齐次方程的一个特解为 （6
14、 分）2A2yx故原方程的通解为 . （7 分）12cosinyxCx3. 设 ，求 . zarctnzy解： （6 分）2222 )(1,1)( yxyxzxyx （7 分）220yzxx4. 设 ，验证 . (,)abzcyd1dzbcyax解： 1 2,()()0xxz（2 分）()yycbdz（6 分）1221,aczzxd10故 （7 分）2112dbdzbcyax5. 设 , 讨论 在点(0,0) 处的连续性, 并求其偏22, 0(,) 0yyfx(,)fxy导数. 解：因为 1,201)(limlim),(li 20200 kxkxyxyfyx 令所以 不存在, 所以 在点(0,
15、 0) 处不连续 , （4 分）li0fyx),(f但 ，则 (,)(,)ff0,0xyff故 在点(0,0) 处偏导数存在. （7 分）,x6求二重积分 ，其中 D 由 y = x2，y =1 及 y 轴所围成. Dyd解: （3 分）210x（5 分）2310|xyd（7 分）31()47. 计算二重积分 ，其中积分为 2sinDxyd 2(,)|14.Dxyy解：积分区域如图.（1 分）使用极坐标变换 , 由对称性，可只考虑第一象限部分，即cos,inxryr=4 （4 分）2sin()Ddy12()Dxyd（7 分）201sin4r41yx118、求幂级数 的收敛域，并求其和函数。0(
16、21)nnx解： （1 分）1limli1()nnaR当 时， 发散x12nn故收敛域为 。 （3 分）(,)（5 分）21212000(21()()nnnn txttt （7 分）22 (,)()()tx四、应用题（8 分）某公司通过电台及报刊两种方式做某种产品的推销广告，根据统计资料，销售收入 R（万元）与电台广告费用 x1（万元）及报刊广告费 x2（万元）之间的关系有如下经验公式：R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x12-10x22 (1) 求在广告费用不限情况下的最优广告策略；(2) 求在限定广告费用为 1.5 万元的情况下的最优广告策略。（2 分）2121211211 12
17、122(),)53803840.75 LRxxxxxxL解 : 是 无 条 件 极 值 此 时 的 利 润 函 数 为由 极 值 存 在 的 必 要 条 件 得 方 程 组（4 分）21122124,8,060.75,. .LLABCxxxCA由 知利 润 函 数 在 处 达 到 极 大 值 即 为 最 大 值12（7 分）121221112211 12212(),(.5)54380(.5)0 380.5FxRxxLxxx当 广 告 费 用 限 定 为 万 元 时 问 题 转 化 求 条 件 极 值利 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 有又 由 极 值 存 在 的 必 要 条 件 得 方 程 组.5（8 分）五、证明题（6 分）： 已知 f(x)在0,a 上连续，利用二重积分证明：200 2()()()aaaxfdfyfxd解 : 更 换 积 分 次 序 可 得（3 分）00000()()() ()()aaayx axfdfydfxdffyd（6 分）0020 0 2()() ()()()aaxx xa axfyfyfdddffx利 用 积 分 区 间 的 可 加 性
