1、 2012 上海高考数学试题（理科）答案与解析一填空题1计算： 3-i=+ （ i为虚数单位）.【答案】 2【解析】 -i()1-i24i=-.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2若集合 012|xA， 2|1|xB，则 BA .【答案】 3,【解析】根据集合 A 210x，解得 2x，由 12,3xx得 到 ，所以3,B.【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同 时考查了一元一次不等式和 绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3函数 1sinco2)( xf的值域是 .【答案】
2、3,5 【解析】根据题目 2sin12cosin)( xxxf ，因为 12sinx，所以23)(25f.【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围 、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4若 )1,2(n是直线 l的一个法向量，则 l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】 arct 【解析】设直线的倾斜角为 ，则 2arctn,tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直 线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档 题， 难度较小 .5在 6)2(x的二项展开式中，常数项等于 .【答
3、案】 10 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数 项只有一项，就是 33462C()160Tx .【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 2为公比的等比数列，体积分别记为 ， nV21，则 )(limnnV .【答案】 78 【解析】由正方体的棱长组成以 1为首项， 2为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项， 8为公比的等比数列，因此， 781)(lim21 nnV .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通 项公式、等比数列的定 义.考查知识较综合.7已知函数
4、 |)(axef（ 为常数）.若 )(xf在区间 ),1上是增函数，则 a的取值范围是 .【答案】 1,【解析】根据函数 ,()xaxaef看出当 ax时函数增函数，而已知函数)(xf在区间 ,1上为增函数，所以 的取值范围为： 1, .【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的 单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】 3【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r，母 线长为 l，根据条件得到 21l，解得母线长 2l，
5、1,2rlr所以该圆锥的体积为： 33S1hV圆 锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的 变化；其次， 对空间几何体的体 积公式要记准记牢，属于中低档题.9已知 2)(xfy是奇函数，且 1)(f，若 2)(xfg，则 )1(g .【答案】 1 【解析】因为函数 2)(f为奇函数，所以 ,3)1(,2)( gfg所 以 ，又2)(13f. (1)(.ff【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 )(xfy为奇函数，所以有 )()(xff这个条件的运用，平 时要加强这方面的 训练，本 题属于中档
6、题，难度适中.10如图，在极坐标系中，过点 )0,2(M的直线 l与极轴的夹角 6，若将 l的极坐标方程写成 f的形式，则 )(f .【答案】 )6sin(1【解析】根据该直线过点 )0,2(M，可以直接写出代数形式的方程 为： )2(1xy，将此化成极坐标系下的参数方程即可 ，化 简得 )6sin(1)f.【点评】本题主要考查极坐标系，本部分 为选学内容，几乎年年都有所涉及， 题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常 见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目
7、完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】 32【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的 项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型 .要分清基本事件数和基本事件 总数.本题属于中档题.12在平行四边形 ABCD中， 3，边 AB、 D的长分别为 2、1，若 M、 N分别是边 、 上的点，且满足 |CNM，则 的取值范围是 .【答案】 5,2【解析】以向量 AB所在直线为 x轴，以向量 AD所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，如 图所示，因为 1,D，所以 51(0,)2,(,),.2BD 设
8、15551(,) ,- - ,()sin.2248423NxMCNxMxx则根据题意，有 )832,41(,(Ax.所以 35)82(xNA 5，所以 25.AN 64224610 5 5 10ADCBMN【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13已知函数 )(xfy的图象是折线段 ABC，其中 )0,(、 )5,21(B、 )0,(C，函数 f（ 10）的图象与 x轴围成的图形的面积为 .【答案】 45【解析】根据题意得到，10,2(),xf x从而得到2110,(),xyf x所以围成的面积为 45)
9、10(10122 dxdS，所以 围成的图形的面 积为 45 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本 题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的 训练，本 题属于中高档试题 ，难度较大.14如图， AD与 BC是四面体 AD中互相垂直的棱， 2BC，若 cAD，且 a2，其中 、 c为常数，则四面体 的体积的最大值是 .【答案】 1322ca 【解析】据题 aCDAB2，也就是 说， 线段 CDABA与 线 段 的长度是定值，因为棱 与棱 互相垂直，当 DB平 面时，此时有最大值，
10、此时最大值为： 1322ca.【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空 间中点线 面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决 问题的关键，本 题综合性强 ，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20 分）15若 i21是关于 x的实系数方程 02cbx的一个复数根，则（ ）A 3,2cb B 3,2cb C 1,2cb D1,【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点 12i也是该方程的另一个根，所以bii212，即 ， ci3)21(，故答案选择 B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考
11、 查，复 习时要特别注意 .16在 ABC中，若 CBA222sinisin，则 AB的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得 ,sin2,si,sin2RcBbARa代入得到 22abc，由余弦定理的推理得2co0C，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用 .主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦 值就选择正弦定理，如果出 现 角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17设 4321100xx， 5，随机变量 1取值 5432xx、 的概率均为
12、.，随机变量 取值 221543xx、 的概率也均为 ，若记 21D、 分别为 1、 的方差，则（ ）A 1 B 2D C 2 D 1与 的大小关系与 4321xx、 的取值有关【答案】 A【解析】 由随机变量 21,的取值情况，它们的平均数分别为：12345(),5xx，2345112 ,52xxxx 且随机变量 21,的概率都为 .0，所以有 1D 2. 故 选择 A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18设 25sin1a， nnaaS21，在 1021,S 中，正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D100【答案
13、】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）19如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC 的中点.已知 AB=2，AD=2 ，PA=2.求：（1）三角形 PCD 的面积；（6 分）（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.（6 分）解（1）因为 PA底面 ABCD，所以 PACD，又 ADCD，所以
14、 CD平面 PAD，从而 CDPD. 3 分因为 PD= 32)(2，CD=2，所以三角形 PCD 的面积为 1. 6 分（2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2, 0, 0)，C (2, 2 ,0)，E (1, , 1)，),1(AE， )0,(. 8 分设 与 的夹角为 ，则224|cosBC， = 4.由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4 12 分解法二取 PB 中点 F，连接 EF、AF，则EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线BC 与 AE 所成的角 8 分在 AE中，由 EF= 2、AF= 、AE=2知 是等腰直角三角形，所以AEF= 4. 因此
15、异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4 12 分AB CDPExyzAB CDPEF【点评】本题主要考查直线与直线、直 线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力综合考查空间中两条异面直 线所成的角的求解，同 时考 查空间几何体的体积公式的运用.本题源于必修 2立体几何章节复习题，复 习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题20已知函数 )1lg()xf.（1）若 0f，求 x的取值范围；（6 分）（2）若 是以 2 为周期的偶函数，且当 10时，有 )(xfg，求函数)(xgy),的反函数.（8 分）解（1）由 01，得 1x.由 lg)
16、l()2l(2x得 102x. 3 分因为 x，所以 0， 3.由 312得 312. 6 分（2）当 x1,2时，2-x0,1，因此 )3lg()2()()() xfxggy . 10 分由单调性可得 l,0y.因为 13，所以所求反函数是 y10， 2l,. 14 分【点评】本题主要考查函数的概念、性 质、分段函数等基 础知 识考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度） ，则救援船恰在失事船的正南方向 12海里 A 处，如图.
17、 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线 2491xy；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 t小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当 5.0时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分）解（1） .t时，P 的横坐标 xP= 27t，代入抛物线方程 2491xy中，得 P 的纵坐标 yP=3. 2 分由|AP|= 294，得救援船速度的大小为 94海里 /时. 4 分由 tanOAP = 30712，得OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东 arcta
18、n 弧度. 6 分（2）设救援船的时速为 v海里，经过 t小时追上失事船，此时位置为 )12,7(t.由 22)()ttv，整理得 3)(14212tv.10 分因为 21t，当且仅当 =1 时等号成立，所以 25374，即 .xOyPA因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 14 分22在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 12:1yxC.（1）过 1C的左顶点引 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积；（4 分）（2）设斜率为 1 的直线 l 交 1于 P、Q 两点，若 l 与圆 2yx相切，求证：OPOQ ；（6 分）（3）设椭圆 4:
19、22yx. 若 M、N 分别是 1C、 2上的动点，且 OMON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值 .（6 分）解（1）双曲线 12C，左顶点 )0,(2A，渐近线方程： xy2.过点 A 与渐近线 平行的直线方程为 )(xy，即 1.解方程组 xy，得 214y. 2 分所以所求三角形的面积 1 为 82|OAS. 4 分（2）设直线 PQ 的方程是 b.因直线与已知圆相切，故 12|b，即 2. 6 分由 yx，得 012x.设 P(x1, y1)、Q(x 2, y2)，则 21b.又 2，所以21221)(xxO 0)(b，故 OPOQ . 10 分（3）当直线 ON 垂直于 x 轴
20、时，|ON|=1，| OM|= 2，则 O 到直线 MN 的距离为 3.当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 ky（显然 2|） ，则直线 OM 的方程为 xyk1.由 142xky，得 241k，所以 241|kN.同理 2|kOM. 13 分设 O 到直线 MN 的距离为 d，因为 222 |)|(| ONMdO，所以 31|1|1222 kONd ，即 d= 3.综上，O 到直线 MN 的距离是定值. 16 分【点评】本题主要考查双曲线的概念、 标准方程、几何性 质及其直 线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，
21、最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2，它的 渐近线为 xy，并且相互垂直， 这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题 属于中档题 23对于数集 ,12nxX，其中 nxx210， 2，定义向量集),(|tstaY. 若对于任意 Ya，存在 ，使得 01a，则称 X具有性质 P. 例如 ,具有性质 P.（1）若 x2，且 ，求 x 的值；（4 分）（2）若 X 具有性质 P，求证：1X，且当 xn1 时， x1=1；（6 分）（3）若 X 具有性质 P，且 x1=1，x 2=q（q 为常数） ，求有穷数列 nx,21 的通项公式.（8 分）解（1）选取 )2,(1a，Y 中与 a垂直的元素必有
22、形式 ),(b. 2 分所以 x=2b，从而 x=4. 4 分（2）证明：取 ,1.设 Yts),(2满足 021a.由 0)(1ts得 ts，所以 、 异号.因为-1 是 X 中唯一的负数，所以 、 中之一为-1，另一为 1，故 1X. 7 分假设 kx，其中 nk，则 nx0.选取 Yan),(1，并设 Ytsa),(2满足 021a，即 01ntxs，则 s、 t异号，从而 s、 t之中恰有一个为-1.若 =-1，则 2，矛盾；若 =-1，则 nnxx，矛盾.所以 x1=1. 10 分（3）解法一猜测 1iiq，i=1, 2, , n. 12 分记 ,2kkA ，k=2, 3, , n.
23、先证明：若 1k具有性质 P，则 kA也具有性质 P.任取 ),(1tsa， 、 t .当 s、 t中出现-1 时，显然有 2a满足 021；当 且 时， 、 1.因为 k具有性质 P，所以有 ),(2a， s、 1t kA，使得 ，从而 1s和 t中有一个是-1，不妨设 1=-1.假设 kA且 k，则 kxt.由 0),(,kx，得 1kxts，与 矛盾.所以 1t .从而 A也具有性质 P. 15 分现用数学归纳法证明： 1iiq，i=1, 2, , n.当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时， ,2kkx 有性质 P，则 1iiqx，i=1, 2, , k；当 n=k+1 时，若
24、 ,11k 有性质 P，则,12kkxA也有性质 P，所以 ,kkqA .取 ),(1qak，并设 )(2tsa满足 021a，即 01qtsxk.由此可得 s与 t 中有且只有一个为-1.若 ，则 1，不可能；所以 s， kkqtx1，又 1k，所以 k1.综上所述， 1iiqx1i，i=1, 2, , n. 18 分解法二设 ),(tsa， )(22tsa，则 021a等价于 21stts.记 |XBts，则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于原点对称. 14 分注意到-1 是 X 中的唯一负数， ,),(32nxxB共有 n-1 个数，所以 ),0(也只有 n-1 个数.由于 221 xxnn ，已有 n-1 个数，对以下三角数阵1221 xnnn 312xn1x注意到 211xn ，所以 12211xxnn ，从而数列的通项公式为11)(2kkxkq，k =1, 2, , n. 18分【点评】本题主要考查数集、集合的基本性 质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“ X具有性 质 P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力综合考查集合的基本运算，集合问题 一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视
